基于時間相依Cox回歸的動態財務預警模型及實證

李鴻禧, 宋 宇

(1.中央國債登記結算有限責任公司 博士后科研工作站,北京 100033; 2.中國人民銀行 金融研究所博士后流動站,北京 100800; 3.中國東方資產管理股份有限公司 博士后科研工作站,北京 100034; 4.清華大學 經濟管理學院博士后流動站,北京 100084)

0 引言

財務預警是通過挖掘企業數據和財務風險之間的關聯關系，預測企業發生財務危機的概率。對企業財務風險進行監控預警，一方面能夠提前給出風險信號，便于企業管理者及早改善經營，避免破產違約事件的發生。另一方面，能夠為銀行、基金等機構進行投資提供決策參考，避免信用風險給投資者帶來的巨額損失。

財務預警模型的現有研究大致可分為三類：

一是基于統計計量方法，代表性的有判別分析、聚類、邏輯回歸等方法。鮑新中利用粒子群的K均值聚類算法將企業的財務風險分成了四類，得到每個企業的綜合財務得分[1]。顧海峰基于偏好信息熵和物元可拓理論，對信用突變下商業銀行信用風險進行預警[2]。謝赤等利用CfaR模型識別期望現金流，并以此作為預警變量構建二元Logistic財務困境預警模型[3]。孫曉琳基于狀態空間模型構建財務危機的動態預警模型，計算出模型的時變參數[4]。方匡南等利用網絡機構Logistic模型，通過懲罰方法同時實現變量選擇和參數估計，從而構建企業信用風險預警模型[5]。Fabio Comelli對比了邏輯回歸和probit模型的精度，構建新興市場上的財務危機預警模型[6]。Babecky J等利用面板矢量自回歸模型，研究了銀行、債務危機以及貨幣危機之間的關系，建立了危機預警模型[7]。

二是基于機器學習方法，代表性的有決策樹、支持向量機、神經網絡、貝葉斯估計等。鮑新中等將公司財務狀況分為5個等級，先后利用變精度加權平均粗糙度決策樹方法、神經網絡方法建立財務預警模型[8,9]。黃超等利用主成分分析和支持向量機的方法，構建企業財務危機預警模型[10]。葉煥倬等采用自適應貝葉斯網絡模型進行財務危機預警和危機原因診斷[11]。吳沖等利用粒子群算法優化了概率神經網絡平滑參數，構建企業財務危機預警模型[12]。Koyuncugil A S等利用CHAID決策樹算法，以土耳其銀行的中小企業為實證樣本，構建財務風險預警模型[13]。Sevim C等利用決策樹、神經網絡、邏輯回歸三種模型建立一個預測貨幣危機的預警系統[14]。

三是基于多種方法的集成，將多個預警模型的結果融合在一起，形成一個最終的預警結果。張亮等在支持向量機和邏輯回歸模型的基礎上利用信息融合方法構建財務預警模型，解決不同挖掘方法得到結果不一致的問題[15]。符剛等利用全局主成分分析法，構建了融合神經網絡與卡爾曼濾波法的財務風險預警模型[16]。Javier De Andrés等將模糊聚類和多元自適應回歸模型結合起來，對企業的破產概率進行預測[17]。Chen M Y基于決策樹和邏輯回歸的對比遴選最優的模型，構建公司財務狀況的預警模型[18]。

Cox模型是在1972年由Cox提出的一種半參數生存分析模型[19]，最早用于生物醫學研究，近些年來被引入到企業財務危機預測中。相比于現有大多預警研究僅預測某一個時間點上危機概率，Cox回歸模型的優點在于可以得到未來一段時間內動態的預警結果，而且對于自變量沒有假設分布的限制。鮑新中等利用變量聚類和Cox回歸的方法，構建A股上市的制造業企業財務預警模型[20]。盧永艷利用Cox回歸模型分析行業差異對于上市公司財務困境風險的影響[21]。

上述基于Cox回歸的財務預警模型，均是采用固定協變量的Cox模型，即通過某一期的預警指標數據(協變量)來預測未來一段時間的危機概率。然而事實上，包括企業的財務指標、外部的宏觀指標等因素均是隨著時間而變化的面板數據，若僅用一期的截面數據建模，涵蓋的數據不足以覆蓋歷史數據的變動，必然導致預警結果不夠準確。故本研究采用時間相依的Cox回歸模型[22]，即預警指標(協變量)是隨時間而變化的面板數據，考慮了企業信息、外部影響等因素在時間維度上的變化，涵蓋了更多的歷史信息，達到提高預警精度的目的。

1 動態財務預警模型的構建

1.1 基于共線性檢驗的冗余指標剔除

預警模型中指標過多、指標之間存在較高的共線性，會造成信息冗余重復，影響模型的判別精度。所以首先要對冗余指標進行剔除。

共線性檢驗是通過構建指標之間的線性回歸方程，利用回歸方程的方差膨脹因子VIFj，檢驗一個指標可以被其它指標線性替代的程度，刪除共線性程度大的指標，達到剔除冗余信息的目的。

(1)構建指標之間的線性回歸方程

以任意一個指標Zj作為檢驗變量。以指標Zj為因變量，以其他指標為自變量構建線性回歸方程，其中a0,a1,…,am-回歸方程的待估參數，則[23]：

Zj=a0+a1Z1+…+aj-1Zj-1+aj+1Zj+1+…+amZm

(1)

通過最小二乘法對回歸方程進行參數估計。

對式(1)進行擬合后得到指標Zj的估計值，計算回歸方程的可決系數[23]:

(2)

(3)計算方差膨脹因子VIF

(3)

將海選指標體系中每一個指標都作為檢驗變量，重復上述過程，計算每個指標的方差膨脹因子，刪除方差膨脹因子VIFj大于10的冗余指標，避免信息反映重復。

1.2 基于時間相依Cox模型的財務危險強度擬合

1.2.1 基本模型

Cox模型研究危險因子(協變量)與生存時間之間的關聯關系。時間相依Cox模型是含時間相依協變量的Cox回歸模型、也稱擴展Cox模型。一般的Cox模型中協變量是固定的、不隨時間而變化；而時間相依Cox模型考慮了協變量隨時間的動態變化，可以對協變量為面板數據的情況進行分析。在財務預警模型中，評價因素多為企業的財務指標，例如資產負債率、ROE等，這些指標均是隨時間而變化的。所以，利用時間相依Cox模型更能刻畫企業財務因素的動態變化對于財務危機的影響。

生存時間T是時間起點到終點之間的時間，終點是感興趣事件的發生或者是觀測期結束。由于本文研究的是財務危機預警，我們關心的是企業何時發生財務危機。那么，對于發生財務危機的企業，生存時間是從上市日到財務困境發生的時間。對于正常健康的企業，生存時間是從上市日到觀察期結束的時間。

時間相依Cox回歸模型中：左端是因變量危險強度h(t)，反映在時刻t時發生財務困境的瞬時概率。在實證樣本擬合時，右端h(t)代入的是“實際危險狀態(發生財務危機即為1、否則為0)”與“生存時間T”的比值，表示樣本企業發生財務危機的平均強度。右端是兩個部分因素的乘積，一是隨時間推移而變化的基準危險強度h0(t)，反映由于時間而累積的財務風險。二是與企業自身經營管理相關的風險因素exp[β1Z1(t)+βqZq(t)]。其中，βi是回歸系數，Zk(t)是企業在t時刻的各評價指標數據、也協變量。則[19]:

h(t)=h0(t)exp[β1Z1(t)+β2Z2(t)+…+βqZq(t)]

(4)

式(4)中，h0(t)是基于Breslow估計量進行估計，詳見下文式(5)。βi是基于極大似然估計得到，詳見下文式(6)。

由指數函數性質，式(4)中指標Zk(t)每增加一個單位，相應地財務危險強度h(t)會變化exp(βk)倍。因此，可以根據回歸系數βk的正負判斷指標的風險屬性，判斷標準如下：

①數值越大企業財務風險越低的指標稱為保護因素：當回歸系數βk<0，說明指標Zk(t)每增加一個單位，財務危險強度h(t)變化exp(βk)倍，exp(βk)在0和1之間，故企業的財務風險變低了，則回歸系數βk<0的指標為保護因素。

②數值越大企業財務風險越高的指標稱為危險因素：當回歸系數βk>0，說明指標Zk(t)每增加一個單位，財務危險強度h(t)變化exp(βk)倍，exp(βk)大于1，故企業的財務風險變高了，則回歸系數βk>0的指標為危險因素。

式(4)即為基于時間相依Cox回歸的財務危險強度擬合模型，相比于一般的Cox回歸模型。其特色在于模型中的協變量數據Zk(t)是隨時間變化的面板數據，而非某一時刻的固定值，反映在各個時間上自身財務因素、非財務因素、外部宏觀因素的變化對于企業發生財務危機的影響，能夠對財務危機進行動態預測。

1.2.2 參數擬合

Cox回歸模型中基準危險強度h0(t)是利用Breslow估計量對基準危險強度h0(t)進行估計。設：t1

式(5)的含義：在危險時刻ti上基準危險強度為發生危機的企業個數與該時刻存活企業風險因素總和的比值。在非危險時刻上基準危險強度為0。

Cox回歸中回歸參數βi是通過極大似然估計的方法進行估計的。構建似然函數[22]:

(6)

在似然函數式(6)最大值時，求得的系數βi為最終的回歸系數擬合結果。

1.3 生存函數

根據生存分析模型，生存概率S(T)定義為生存時間大于等于T的概率，危險概率F(T)定義為生存時間小于T的概率，危險強度h(t)定義為在時刻t時發生財務困境的瞬時概率，有如下關系[19]:

(7)

F(T)=Pr(t≤T)=1-S(T)

(8)

本研究利用時間相依Cox回歸模型擬合危險強度函數h(t)，然后利用式(7)和式(8)求解企業健康經營的生存概率S(T)和發生財務危機的危險概率F(T)。根據生存概率S(T)的大小，與危險閾值的對比關系，對企業進行財務危機預警。

1.4 財務危機預警

在利用時間相依Cox回歸模型進行風險預警時，必須先確定一個閾值K。當一個企業的生存概率S(T)小于閾值K時，將該企業判定為財務危機企業，發出財務預警；反之，判定為健康企業。因此，閾值K是財務預警模型中的重要參數，關系到模型精度的高低。而現有研究利用Cox回歸模型時較少涉及到判別閾值的確定。

本文采用反推的思路，以判別錯誤成本最低為目標反推一個最優的閾值K。由于第一類錯誤“將財務危機企業錯判為健康企業”給投資者帶來的傷害要大于第二類錯誤“將健康企業誤判成財務危機企業”，故在錯誤率的基礎上考慮了不同錯誤帶來的損失程度、即“成本”，從而構造了判別錯誤成本。通過遍歷法找到判別錯誤成本最低的預警閾值。具體步驟如下。

Step1選取任意一個樣本的生存概率Sj(T)作為閾值K。利用該閾值K對全部樣本判定“是否為財務困境企業”。

Step2將Step1的判定結果與真實的財務狀態進行比較，得到四個指標：“實際困境企業被判為困境企業的個數a”、“實際困境企業被判為健康企業的個數b”、“實際健康企業被判為困境企業的個數c”、“實際健康企業被判為健康企業的個數d”。

Step3構造錯誤成本。第一類錯誤“實際困境企業被判為健康企業”給投資人造成的損失要大于第二錯誤“實際健康企業被判為困境企業”。應該對第一類錯誤賦予更大的權重w(w>1)。則錯誤成本r:

r=wb/(a+b)+c/(c+d)

(9)

本研究中將權重w設置為3，表示第一類錯誤與第二類錯誤的錯誤成本比為3∶1。

Step4將全部樣本的生存概率Sj(T)逐一作為閾值K，重復Step1～Step3，得到不同閾值下的錯誤成本r。選取判定錯誤成本r最小的那個閾值K*作為最終的預警閾值。

2 實證分析

2.1 樣本的選取

本研究以中小企業為實證對象，選取2008～2017年中小企業板上市的701家中小企業作為實證樣本，以2008～2017年的企業數據作為訓練集、以2018年的企業數據作為測試集。本研究中協變量數據Z(t)采用2008～2017年10年的面板數據，數據來自于Wind數據庫。

本研究以企業被證監會發出退市預警“*ST”作為發生財務危機的標志。被*ST的企業是已連續虧損兩年或存在重大的報表造假，具有退市風險。這說明該企業的財務狀況嚴重惡化，投資該企業會造成虧損。

對于生存時間的界定，本文的觀測起點是企業的上市日期。對于財務困境的企業，觀測終點是被*ST的時間。對于正常健康的企業，觀測終點是2017年12月31日。總的來說，生存時間即為企業上市日至被*ST或觀測期結束(2017/12/31)的時間。

2.2 預警指標選取和初篩

借鑒中誠信、聯合資信等權威評級機構及經典文獻中的高頻指標，選取了反映償債能力、盈利能力、經營能力、企業規模21個財務指標。如表1中Z1～Z21。

根據大量的研究表明，公司治理水平與企業業績成正相關，與企業違約概率呈顯著的負相關系[24]。所以本文在經典的財務預警指標基礎上，參考了MSCI[25]、南開公司治理課題組[26]的公司治理評價方法，增加了反映關聯交易、薪酬激勵、股權結構、董監高信息、研發投入等13個公司治理評價指標。如表1中Z22～Z34。

相較于大型上市企業，中小企業規模小、抗風險的能力差，所以比較容易受到外部宏觀環境的影響，所以在海選指標中引入了8個反映宏觀環境的指標，如表1中Z34～Z42。

加之，反映企業行業地區信息的兩個指標Z43、Z44。總共形成了涵蓋財務因素、公司治理、宏觀環境等維度共44個海選預警指標體系，如表1所示。

表1 財務預警的海選指標

利用上文1.1的共線性檢驗方法，對海選的44個指標計算方差膨脹因子VIF，刪除方差膨脹因子VIF>10的7個指標“速動比率”、“現金比率”、“管理層年度薪酬總額”、“社會消費品零售總額”、“人均地區生產總值”、“全社會固定資產投資”、“M2”，避免指標之間的共線性。經過共線性檢驗的初篩，剩余37個評價指標進入下一步的Cox回歸模型。

2.3 預警模型構建

將“是否發生被標記*ST(是為1、否為0)”、“生存時間T”作為因變量，“生存時間T”的界定如前3.1所述。將共線性檢驗后篩選后的37個指標2008～2017年的面板數據作為協變量Zi(t)代入時間相依Cox回歸模型式(4)中。其中，指標“董事長和總經理是否兼任”、“薪酬彈性系數(正為1、負為0)”、“所屬行業”、“所在省份”作為啞變量，其余指標作為定量變量。利用式(5)、(6)分別對基準危險強度h0(t)和回歸系數βi進行擬合。

本文采用“向后法”進行Cox回歸，先將共線性檢驗后剩余的37個變量一起放入Cox回歸中進行擬合，再逐一刪除不顯著的指標，每步刪去對回歸方程F值影響最小的指標。最終剩余指標為表2中的10個指標，均對因變量“是否發生財務危機”有顯著影響。采用“逐步向后”的方式，最終保留的指標及擬合結果如表2所示。上述過程通過R軟件編程，程序見附件。

表2 時間相依Cox回歸參數擬合結果

表2中的10個指標的顯著性Sig.值小于0.1，說明這10個指標對于中小企業的財務風險具有顯著影響。

判斷10個指標的風險屬性：保護因素是回歸系數為負的指標，其數值越大企業財務風險越低；危險因素是回歸系數為負的指標，其數值越大企業財務風險越高的指標。因此，投資者應該更為關注保護因素數值的下降，以及危險因素數值的上升，說明企業的財務風險正在增加。

表2最后一列為10個指標的風險屬性，具體分析如下：

(1)盈利能力維度包含三個指標：“凈資產收益率ROE”、“銷售毛利率”的回歸系數顯著為負，說明企業的利潤率越高財務狀況越好，均為保護因素；“銷售期間費用率”的回歸系數顯著為正，是危險因素，企業的成本費用率越高財務風險越高。因此，盈利能力是對中小企業財務風險影響最為顯著的維度。

(2)公司治理維度包含兩個指標：“研發支出總額占營業收入比例”的回歸系數顯著為負，說明提高研發投入提升研發能力有助于企業財務優化，是保護因素;“赫芬德爾指數”的回歸系數顯著為正，說明中小企業中其他股東對于第一大股東的股權制衡度越大、股權過于分散會使中小企業面臨更大的財務風險，是危險因素。因此，公司治理水平的提高對中小企業財務狀況優化有促進作用。

(3)“所屬行業”分類變量下：“所屬行業_9(屬于電力、熱力、燃氣及水生產和供應業)”的回歸系數顯著為負，說明電力、熱力、燃氣及水生產和供應業的企業相對于其他行業財務風險更低，是保護因素。“所屬行業_10(住宿和餐飲業)”的回歸系數顯著且為正，說明住宿和餐飲業相對于其他行業財務風險更高，是危險因素。因此，中小企業的財務風險具有行業差異性。

(4)現金流、資產周轉能力等其他維度包含：指標“經營活動產生的現金流量凈額/負債合計”、“所有者權益合計”、“總資產周轉率”的回歸系數均顯著為負，說明經營性現金流越大、資產規模越大、資產周轉能力越強，中小企業的財務風險越低、信用狀況越好，均是保護因素。因此，現金流、資產規模、資產周轉能力對于中小企業的財務狀況都有顯著的正向影響。

根據式(5)對基準危險強度h0(t)進行測算，進而計算基準危險強度h0(t)的累計值，即累積基準危險強度H0(t)，結果如圖1所示。

圖1 累積基準危險強度H0(t)

圖2 在協變量均值處的生存函數

由圖2可見，生存函數是一個分段函數，圖中橫軸是生存時間(年)、縱軸是生存概率S(T)。中小企業一般在3年后生存概率開始緩慢下降，達到9年左右開始急劇下降。

2.4 財務預警效果檢驗

2.4.1 財務預警閾值的確定

利用上文1.4的反推最優閾值的思路，得到預警的閾值K=0.996，當企業的生存概率S(T)低于0.996時發生財務預警。在預警閾值K=0.996下樣本內判別的加權正確率最高達到89%。

2.4.2 樣本外檢驗

上文利用701家中小企業2008～2017的數據作為訓練集建模，本部分是利用訓練出的模型對2018年的企業財務風險(是否*ST)進行判別，并與真實是否發生財務風險進行對比，結果如表3所示。

從表3中，實際發生財務困境的企業被正確識別的概率78%，實際正常企業被正確識別的概率為66%，模型的加權正確率達到75%。說明本文建立的基于時間相依Cox回歸的財務預警模型精度較高，尤其是對財務危機企業的正確識別率超過70%，具有較好的財務風險識別能力。

表3 模型的判別結果

2.5 對比分析

將本研究的基于時間相依Cox回歸的預警模型與Cox回歸、邏輯回歸進行對比分析。對比模型的構建僅是將本研究的“時間相依Cox模型”分別替換成“一般的Cox模型”、“邏輯回歸”，而其他步驟包括樣本的選取范圍、指標選取初篩、閾值的確定均不變。

本文采用三折交叉檢驗的方式，進行三組對比分析。將全部701個樣本分成三份，取任意兩份樣本作為訓練集、另一份樣本作為檢驗集。在檢驗集上得到對財務風險判別的加權正確率，如表4所示。

表4 對比結果

由表4可以看到，本模型相比對比模型“一般的Cox模型”、“邏輯回歸”的加權正確率更高。將本模型的三組正確率(表4第1行)分別與兩個對比模型的三組正確率(表4第2、3行)進行t檢驗，得到：在5%的顯著性水平下，本模型的正確率高于對比模型“Cox回歸”(p值=0.037)；在10%的顯著性水平下，本模型的正確率高于對比模型“邏輯回歸”(p值=0.098)。因此，本模型“基于時間相依Cox回歸的預警模型”的判別正確率顯著高于對比模型“一般的Cox模型”、“邏輯回歸”，說明本模型對于財務風險的判別精度更高、高危企業的識別能力更強。

3 結論

3.1 主要結論

(1)通過預警精度檢驗和對比分析，本文建立的基于時間相依Cox回歸的財務預警模型精度較高，尤其對財務危機企業的正確識別率達到75%。相較于傳統的Cox回歸、邏輯回歸模型，財務危機企業的正確識別率更高、且財務風險識別的錯誤成本更低。說明本模型對于財務風險高危的企業識別能力更強。

(2)經過實證，盈利能力是對中小企業財務風險影響最為顯著的因素。主要包含三個影響顯著的指標：“凈資產收益率ROE”、“銷售毛利率”是保護性因素，企業的利潤率越高財務狀況越好；“銷售期間費用率”是危險因素，企業的成本費用率越高財務風險越高。

(3)經過實證，公司治理水平的提高對中小企業財務狀況優化有促進作用。主要包含兩個顯著的指標：“研發支出總額占營業收入比例”是保護因素，提高研發投入提升研發能力有助于企業財務優化；“赫芬德爾指數”是危險因素，赫芬德爾指數越高、股權分散度越大，說明股權過于分散會使中小企業面臨更大的財務風險。

(4)經過實證，中小企業的財務風險具有行業差異性。“電力、熱力、燃氣及水生產和供應業”的回歸系數顯著且為負，說明電力、熱力、燃氣及水生產和供應業的企業相對于其他行業財務風險更低。“住宿和餐飲業”的回歸系數顯著且為正，說明住宿和餐飲業相對于其他行業財務風險更高。

3.2 創新特色

(1)通過時間相依Cox回歸模型，構建隨時間而變化的預警指標數據與財務危機之間的函數關系。利用偏似然估計、Breslow估計量分別擬合回歸系數和基準危險強度，構建財務預警模型，預測企業在未來一段時間內每個時間點上的財務危機概率。相比于基于傳統Cox模型的預警研究僅用一期的截面數據建模，本研究考慮了預警指標的動態變化對財務風險的影響，涵蓋了更多的歷史信息，達到提高預警精度的目的。

(2)考慮第一類錯誤“危機企業判為正常”與第二類錯誤“正常企業判為危機”給投資者造成的損失差異，衡量預警的“錯誤成本”，以錯誤成本最低為目標，反推出財務正常和財務危機之間的預警閾值，實現了對財務危機發生與否的提前預警功能。