時滯變質品供應鏈的數量折扣協調模型

張云豐，龔本剛，桂云苗

(安徽工程大學 管理工程學院，安徽 蕪湖 241000)

0 引言

易變質品是指在持有期間會發生腐爛、干燥、氣化、揮發、衰減、蒸發等物理化學現象而致使利用價值降低的一類物品，如水果、蔬菜、藥品、時尚服裝、電子產品等。Ferguson和Ketzenberg[1]指出企業生產的產品擺上貨架進入銷售環節后由于變質或損耗而造成的價值損失達到15%以上。董坤祥等[2]認為我國的果蔬等農產品在流通過程中由于腐爛變質而造成的貶值損失更是高達20%～30%。聯合國糧農組織和國家糧食局公布的統計數據則表明，中國每年浪費的糧食占到生產量的35%，其中有350億千克損失在儲存、運輸和加工環節。因此，易變質品的庫存管理問題關乎著國計民生，成為國內外學者廣泛關注的研究領域。

Ghare和Schrader[3]首次研究了易變質品的訂貨決策，指出具有常系數變質率的易變質品在庫存期間因變質而發生的損耗與時間的負指數相關。在隨后的幾十年時間里，眾多學者們結合易變質品的需求函數類型、變質率服從的分布形式、供應商的補貨方式及零售商的支付約束等對Ghare和Schrader[3]的模型進行拓展[4～11]。早期的研究文獻多數默認易變質品從進入存儲系統便開始變質，而Wu和Ouyang等[12]認為部分易變質品進入庫存系統后會先維持原有特性和功能一段時間后才開始發生變質，并將這類易變質品稱之為“時滯變質品”。實際生活中的許多物品都是時滯變質品的例子，如蔬果、鮮花、牛奶等。Chang和Teng等[13]建立需求依賴庫存、允許缺貨且貨架展示空間存在約束的時滯變質品訂貨決策模型。Shah和Soni等[14]研究了需求依賴于廣告和銷售價格、變質率和持有成本時變的時滯變質品庫存與營銷策略。Dye[15]探討了儲存技術投資對庫存決策影響的時滯變質品庫存系統，并利用投資資本的廣義生產率、變質率和依賴于時間的拖后率對庫存系統進行建模。Chung和Cárdenas-Barrón 等[16]建立了上下游皆存在信用支付且變質率服從指數分布的三級時滯變質品供應鏈系統的EPQ庫存模型。Palanivel和Uthayakumar[17]考慮通貨膨脹的影響，研究有限計劃時期內短缺量部分拖后的時滯變質品EOQ模型。李貴萍和段永瑞等[18]假定庫存水平影響需求、持有成本和變質率隨時間變化、允許缺貨，設計了時滯變質品的庫存策略。

供應鏈中的成員企業在決策時往往獨立進行，各自以收益最大化作為唯一追逐目標，雙邊際效應的存在使得供應鏈處于失調狀態，降低了供應鏈系統的效率。這種傳統的決策模式顯然已不能適應當今社會激烈的市場競爭環境。供應鏈中各參與方若肯彼此相互合作，實施集中決策將能夠有效提升供應鏈整體績效。然而，集中決策在優化渠道利潤的同時，卻不能保證各參與方的利潤都大于分散決策情形，且利潤分配問題不易解決。這時，選擇有效的協調機制對供應鏈及時進行協調則非常必要，而數量折扣契約是實踐中常用且有效的協調方式之一。Shin和Benton[19]對數量折扣協調契約實施過程中面臨的風險分擔問題展開討論。Duan和Luo等[20]的研究表明，數量折扣契約可以使具有固定生命周期的產品供應鏈系統達到最優和成員企業雙贏的狀態。劉浪和鞏玲君等[21]建立了價格隨機條件下突發事件的應急數量折扣契約三級供應鏈協調模型。張云豐和王勇等[22]研究了非瞬時補貨下基于數量折扣的即時變質品供應鏈協調。Nie和Du[23]分析了基于數量折扣契約的雙重公平關切供應鏈協調機制。

綜上所述，現有文獻對時滯變質品的訂貨決策及數量折扣契約下的即時變質品供應鏈協調都展開了較為深入的研究，但有關時滯變質品供應鏈協調的成果尚較少見到。因此，本文在已有時滯變質品和數量折扣契約文獻研究的基礎上，構建基于數量折扣契約的單一批發商與單一零售商時滯變質品供應鏈協調模型，并通過收益共享合同來合理分配協調后的利潤增量，使批發商和零售商的利潤比協調前都有所改善，實現時滯變質品供應鏈的完美協調。與現有研究相比，本文的創新點在于：首先，本文根據部分物品在庫存期間的實際變質特點，構建了一個兩級時滯易變質品供應鏈協調模型；其次，在運用數量折扣契約對時滯變質品供應鏈實施完美協調后，本文提出一種基于雙方相對風險規避系數和討價還價能力的利潤增量分配方法，該分配方法可實現利潤增量在雙方之間的合理分配。

1 基本假設與參數說明

1.1 基本假設

本文建立時滯變質品供應鏈協調模型主要基于以下基本假設：

(1)兩級時滯變質品供應鏈由單一批發商和單一零售商組成；

(2)時滯變質品市場為完全競爭市場，銷售價格和市場需求率保持不變；

(3)供貨模式為批量對批量，只考慮批發商的訂貨成本和采購成本；

(4)訂貨提前期為零，零售商的訂貨必須瞬時補充到位，不允許缺貨；

(5)物品在銷售期間經歷時滯期和變質期兩個階段，在時滯期沒有變質發生，在變質期以恒定速率變質；

(6)變質的物品被及時處理，因而不占有庫存，但需承擔相應的處理成本，且殘值為零；

(7)研究的計劃期無限長，因此只需分析一個訂貨周期的情形。

1.2 參數說明

本文在建立時滯變質品供應鏈協調模型過程中所使用的主要參數說明如下：

2 時滯變質品訂貨策略

如圖1所示，在一個完整訂貨周期內時滯變質品的庫存水平劃分為時滯期和變質期兩個階段。在0～td階段，時滯變質品維持其原有特性，沒有發生變質，庫存水平在需求的影響下，從最大庫存量Q0下降到開始變質時的Q1，任意時刻t的庫存水平I1(t)滿足如下微分方程

(1)

在td～T階段，時滯變質品以恒定的變質率θ持續變質，庫存水平在需求率與變質率的共同作用下從開始變質時刻的Q1逐漸下降到零，任意時刻t的庫存水平I2(t)滿足如下微分方程

(2)

結合邊界條件I1(0)=Q0及I2(T)=0，解得

I1(t)=Q0-Dt,0≤t≤td

(3)

(4)

為了便于式(4)中指數函數的計算，此處采用與文獻[3]相同的處理方式，當產品的生命周期(1/θ)遠大于訂貨周期T時，可對指數函數進行泰勒展開，并保留到二次項而忽略更高次項。經過處理后，式(4)化簡為

(5)

將I1(td)=I2(td)代入式(3)～(5)，分別得到

(6)

圖1 時滯變質品的庫存水平

2.1 分散決策

當供應鏈各成員企業采取分散決策時，零售商在一個訂貨周期內的所有成本包括訂貨成本、采購成本、庫存持有成本及變質處理成本四部分。其中：

(1)訂貨成本OC=K1;

因此，當零售商和批發商采取分散決策時，可以得到零售商在一個訂貨周期內的單位時間利潤函數表達式如下:

(7)

式(7)分別對T求一階、二階導數，有

(8)

(9)

(10)

將式(10)代入式(7)，得到分散決策下零售商的單位時間利潤函數表達式為

(11)

考慮到批發商對零售商采用批量對批量的供應模式，因此批發商無需保留庫存。在分散決策下，批發商的單位時間利潤函數可以表示為

D(ω-c)(1-θtd)

(12)

(13)

由此得到分散決策下時滯變質品供應鏈的單位時間利潤為

(14)

由上述分析過程得到如下命題1。

2.2 集中決策

若供應鏈各成員企業進行集中決策，則時滯變質品供應鏈的單位時間利潤函數記為

+D(p-c)+Dθ(c+htd+κ)td

(15)

式(15)分別對T求一階、二階導數，有

(16)

(17)

(18)

將式(18)代入式(15)，由此得到集中決策下時滯變質品供應鏈的單位時間利潤為

(19)

由此可以得到如下命題2。

2.3 兩種決策模式比較

對集中決策和分散決策下的時滯變質品供應鏈單位時間利潤作差比較，得到

(20)

顯然，如果有ΔΠSC>0成立，則表明集中決策優于分散決策，集中決策能夠獲得更多單位時間利潤。由于ΔΠSC的表達式比較復雜，難以直接確定ΔΠSC的符號，因此本文假定在滿足ΔΠSC>0條件下，引入數量折扣契約來對時滯變質品供應鏈進行協調。

3 數量折扣契約

假定批發商向零售商提供一份數量折扣契約d(Q)，而由式(6)知零售商的訂貨數量與其訂貨周期之間存在著相互對應關系，故可以將數量折扣契約轉換為d(T)。因此，批發商提供的最優數量折扣契約等同于求解如下規劃的解。

(21)

(22)

根據式(21)，當批發商提供數量折扣契約時，對于給定的T，需保證：

(23)

式(23)表明，批發商提供給零售商的數量折扣份額需大于等于零售商調整訂貨參數后的利潤損失。為使批發商獲得集中決策下的最大單位時間利潤，需滿足批發商提供給零售商的單位時間數量折扣總量正好等于零售商的單位時間利潤損失，因此，式(23)應該取等號，并將其代入式(21)，規劃問題轉換為

(24)

將式(7)、式(11)和式(12)代入式(24)，有

(25)

(26)

可見，若零售商將訂貨周期調整到與集中決策下的最優訂貨周期相同時，并將協調后所增加的利潤增量全部分配給批發商，則對批發商而言，此時的數量折扣契約是最優的。最優數量折扣契約d(T)表示為

(27)

從而在最優數量折扣契約下，零售商、批發商、供應鏈的單位時間利潤分別為

=D(p-ω)+Dθ(ω+htd+κ)td-

(28)

(29)

=D(p-c)+Dθ(c+htd+κ)td-

(30)

上述數量折扣契約對時滯變質品供應鏈的協調是一種理想化的狀況，它將協調后獲得的利潤增量全部分配給批發商，零售商只能被動的接受協調。然而，在貿易實踐中，當零售商在供應鏈中具有一定的話語權時，零售商會要求與批發商共享協調后的利潤增量，具體分享的比例取決于零售商在供應鏈中的地位。在這里，我們用雙方在交易中的討價還價能力及其相對風險規避程度來描述各自在供應鏈中的地位。首先，借助常相對風險規避型效用函數來刻畫批發商和零售商的風險規避程度，假設雙方的效用函數如下

(31)

其中，ρ1和ρ2依次為零售商和批發商的相對風險規避系數，ρ1,ρ2>0且ρ1,ρ2≠1；ΔΠR和ΔΠS分別代表零售商與批發商從單位時間利潤增量中分享的份額，滿足ΔΠR+ΔΠS=ΔΠSC。其次，再設零售商與批發商的討價還價能力權重分別為σ1和σ2(σ1+σ2=1)，根據納什討價還價理論，將時滯變質品供應鏈協調后的單位時間利潤增量分配規劃如下:

maxUSC(ΔΠR,ΔΠS)

=σ1UR(ΔΠR)+σ2US(ΔΠS)

(32)

s.t.ΔΠR+ΔΠS=ΔΠSC

(33)

(34)

4 算例分析

4.1 參數設置與模型求解

4.2 敏感性分析

下面分別考察時滯期、變質率、相對風險規避系數和討價還價能力發生變化時對訂貨周期及利潤參數產生的影響。

表1顯示了時滯期td對訂貨周期及利潤參數的敏感性分析過程。從表1數據可以看出，隨著時滯期td的增大，兩種決策模式下的訂貨周期都逐漸延長，零售商的單位時間利潤快速增加，而批發商的單位時間利潤呈現出先緩慢下降后又逐漸上升的勢頭。零售商在集中決策下的單位時間利潤要比分散決策下低，但批發商的情況剛好相反，總體上集中決策的系統單位時間利潤更高。就時滯變質品供應鏈而言，無論是分散決策還是集中決策，整個系統的單位時間利潤與時滯期td的變化趨勢一致，且集中決策始終優于分散決策，但優勢卻隨著時滯期的增大而減小，零售商和批發商分配的單位時間利潤增量也隨之減少。

表1 時滯期對訂貨周期及利潤參數的敏感性分析

表2顯示了變質率θ對訂貨周期及利潤參數的敏感性分析過程。從表2數據可以看出，隨著變質率θ的增大，兩種決策模式下的訂貨周期都逐漸縮短，零售商和批發商的單位時間利潤慢慢下降，導致時滯變質品供應鏈系統的單位時間利潤也持續下降。零售商在分散決策時獲得的單位時間利潤比集中決策時高，但批發商的集中決策下得到的利潤增量比零售商的損失更多。就整個供應鏈系統而言，集中決策比分散決策時的單位時間利潤更大，且隨著變質率θ的增大，單位時間利潤差值也越來越大，從而零售商和批發商分配的單位時間利潤增量也逐漸增多。

表2 變質率對訂貨周期及利潤參數的敏感性分析

表3考察了在時滯期td=0.1、變質率θ=0.1情形下，相對風險規避系數和討價還價能力變化對單位時間利潤增量分配的影響。從表3數據可以看出：(1)在相對風險規避系數相同時，批發商與零售商從單位時間利潤增量中分配的份額取決于雙方各自的討價還價能力。討價還價能力越強，則分配的單位時間利潤增量也越多。若雙方討價還價能力相同，大家將平分單位時間利潤增量。極端地，當一方完全沒有話語權時，則另一方將獨享協調后的全部單位時間利潤增量。(2)在雙方的討價還價能力確定時，雙方對風險持有的態度也會影響單位時間利潤增量的分配。在同一組討價還價能力系數下，相對風險規避系數越大對討價還價能力較弱的一方越有利(討價還價能力為零的特殊情況除外)。因此，在討價還價中處于劣勢的一方，若能夠對待風險持有較為謹慎的態度，將有利于自己獲得更大的收益。

表3 相對風險規避系數與討價還價能力對利潤增量分配的影響

5 結束語

本文研究了基于數量折扣契約的時滯變質品供應鏈協調問題，分別建立分散決策與集中決策下時滯變質品供應鏈的單位時間利潤函數并進行作差比較。為了獲取集中決策下較大的單位時間利潤，又不至于讓零售商遭受損失，文中設計了基于數量折扣契約的協調機制對零售商的損失進行補償。此外，考慮到供應鏈系統中成員企業所處的地位，借助收益共享合同，給出一種單位時間利潤增量的分配方法，并討論了雙方相對風險規避系數和討價還價能力對分配結果的影響。通過數值算例對文中相關結論進行驗證，并模擬了時滯期、變質率、相對風險規避系數和討價還價能力等發生變化時對訂貨周期及利潤參數產生的影響。

本文在文獻[22]研究的基礎上進行了進一步的拓展。首先，鑒于諸如水果、蔬菜等物品在保質期內能基本維持其原有特性的事實，考慮了時滯變質品供應鏈的協調問題，這使得本文的研究工作更有實際意義；其次，文獻[22]中所設計的數量折扣契約，在補償集中決策造成的銷售商成本增加后，將余下的成本節約值全部分配給供應商。如此，零售商在供應鏈中的地位沒有得到體現，特別是在買方市場，零售商的影響力更大，因而不會滿足于這種分配方式。基于此，本文根據納什討價還價理論，給出一種基于雙方相對風險規避系數和討價還價能力的利潤增量有效分配方法。本文研究的局限性在于：首先，文中假設需求率和變質率皆恒定不變，還可以拓展到時變需求率及時變變質率的情形，如需求依賴于庫存水平、兩參數威布爾變質率等；其次，文中的模型沒有考慮缺貨的影響，而缺貨在供應鏈中也比較常見；最后，文中只討論了“批發商—零售商”組成的二級時滯變質品供應鏈協調問題，尚可推廣到“生產商—批發商—零售商”構成的三級時滯變質品供應鏈情形。當然，這些拓展研究也將極大增加模型分析的復雜程度。