互反判斷矩陣一致性指標研究

徐迎軍，尹世久，陳 默，吳林海

(1.曲阜師范大學 經濟學院，山東 日照 276826; 2.江南大學 江蘇省食品安全研究基地，江蘇 無錫 214122)

0 引言

隨著社會的不斷發展以及人們需求的不斷提高，決策分析中的問題變得日益復雜；知識更新的速度而往往會超過人們的認知速度；鑒于此，在決策分析中，如果讓專家一次性直接給出所有備選方案的排序結果可能具有很大難度[1]。但若對決策問題進行分解，讓專家一次只對兩個備選方案進行比較并給出其重要性評價，則相對要容易得多。因此，在決策分析過程中，需要對多個備選方案進行綜合排序時，可要求專家每次任意選取兩個方案進行比較，在對所有方案對進行重要性比較之后，相應判斷矩陣隨即得到。緊接著的工作是，研究者選擇適當方法，求得一組備選方案的綜合排序結果。判斷矩陣中的元素可取精確數字、區間數、三角模糊數等。若取精確數字，構造的判斷矩陣稱為數字判斷矩陣，其主要有兩種形式：互反判斷矩陣[2～5]和互補判斷矩陣[4～8]。徐澤水首次給出了互反判斷矩陣和互補判斷矩陣的概念，并把評估標度劃分為互反性標度和互補性標度，給出了兩類標度之間的密切聯系，研究得出了兩類標度之間的轉換公式并對兩類標度之間的關系進行了深入研究[5]。

如果基于問題的復雜性和專家認知的局限性，讓專家每次只對兩個方案進行比較，而我們最終需要求出所有方案的綜合排序結果。由于專家能力的局限以及方法本身的局限性，得到的判斷矩陣中部分元素可能會存在互相矛盾的現象，即存在不一致性問題。而若由不一致性判斷矩陣或相互矛盾的判斷矩陣出發，得到一組方案的綜合排序，從而進行相關決策是不能令人滿意的。因此，什么是一致性，如何判斷一個矩陣是否滿足一致性要求，對于不滿足一致性的矩陣如何提高其一致性水平是一個重要的研究課題[9～15]。

對于未達到一致性要求的互反判斷矩陣，徐澤水和魏翠萍等提出了一新穎的方法來提高其一致性程度[16]。即首先求取初始判斷矩陣的排序向量，把求取的排序向量分量與初始判斷矩陣的相應元素進行加權從而構建修正的判斷矩陣，依次迭代進行下去。給出的定理顯示修正判斷矩陣的一致性水平高于初始判斷矩陣，如果修正判斷矩陣的一致性水平未達到事先給定的閾值要求，則只需要再進行此操作，使得修正判斷矩陣的一致性水平繼續提高，經過幾次修正，修正判斷矩陣的一致性水平一定能滿足一致性要求。對于不滿足一致性要求的互反判斷矩陣，徐澤水提出了一個新的迭代方法，迭代方法利用原始判斷矩陣特征向量對判斷矩陣中偏差最大的列及其相應的行進行修正，以便提高原始判斷矩陣的一致性水平[17]。提出的迭代方法易于計算機操作，且能盡可能多地保留原始判斷矩陣的信息。田志友等利用原始判斷矩陣的最大特征值及其Frobenius范數，給出了互反判斷矩陣可能度和滿意度的定義及其計算公式，并進一步把可能度和滿意度集成為一個綜合指標，稱之為互反判斷矩陣的可能滿意度[18]。基于此，提出了提高互反判斷矩陣一致性程度的修正算法。針對互反判斷矩陣，Peláez等提出用三階行列式的均值作為一致性指標，并把此思想推廣到了互補判斷矩陣中[19]。Stein等對互反判斷矩陣進行了研究，基于一致性互反判斷矩陣各列之和的性質，提出了新的互反判斷矩陣一致性指標[20]。

對于另一種常見的判斷矩陣互補判斷矩陣，楊靜等基于傳統定義，構建了互補判斷矩陣的模糊一致性指標；用來衡量互補判斷矩陣的一致性程度；對于不滿足一致性要求的互補判斷矩陣，提出了修正算法。專家可根據此算法程序對不滿足一致性要求的互補判斷矩陣進行修正，此算法的優點在于其針對性強[21]。對于模糊判斷矩陣，孫昭旭等提出了一新穎的互補一致性水平修正算法，此算法的基本原理是將三個極小化的最優化問題轉化為一個目標規劃問題，然后對此目標規劃問題進行求解[22]。對于三角模糊數互補判斷矩陣，楊莉等通過構建基于最小方差的多層次非線性規劃模型對其加性一致性及其排序問題進行了初步研究[23]。

鑒于決策分析中問題的復雜性以及人們認知能力和決策方法的局限性，單一專家的建議難免存在不足之處，因此重大問題的決策中往往是專家團的集體參與，因此群決策問題是一個重要的研究領域。在群決策中，對于一組互反判斷矩陣，徐澤水證明了若它們均具備可接受一致性要求，則由這組互反判斷矩陣經過加權幾何平均得到的集成判斷矩陣仍滿足一致性要求[24]，這個重要結論為群決策的廣泛應用奠定了重要基礎。Dong等的研究表明若一組專家給出的所有個體判斷矩陣的相容性指標均小于某個臨界值，那么由此組個體判斷矩陣經過加權代數平均集成獲得的群體判斷矩陣仍然滿足可接受一致性要求[25]。Fedrizzi等考慮了個體偏好強度對互反判斷矩陣一致性程度的影響，并構建了互反判斷矩陣的新的一致性指標，并認為在群決策中在對個體專家的信息進行集成時，應該充分考慮到每個專家給出的個體互反判斷矩陣的一致性水平[26]。本文基于互反判斷矩陣與一致性互反判斷矩陣集之間的距離，定義了一新的一致性指標。給出了一致性指標的度量方法。對于不滿足一致性要求的互反判斷矩陣，借鑒徐澤水和魏翠萍的思想[16]，提出了一迭代方法來提高其一致性水平，并證明經過一定次數的迭代后得到的修正互反判斷矩陣一定能滿足設定的一致性水平。得出了群體互反判斷矩陣一致性指標的下界。最后給出的數值例子顯示了算法的可行性。

1 互反判斷矩陣的若干定義

定義2稱互反判斷矩陣A=(aij)n×n是傳遞互反判斷矩陣，若對任意aik≥1,akj≥1，有aij≥1成立，i,j,k=1,2,…,n。

定義3稱互反判斷矩陣A=(aij)n×n是一致性互反判斷矩陣，如果aik×akj=aij，對任意i,j,k=1,2,…,n成立。

命題1一致性互反判斷矩陣A=(aij)n×n一定是傳遞互反判斷矩陣。

證明由定義2以及定義3易證命題1成立。

2 一致性指標的定義

定義4設A=(aij)n×n和B=(bij)n×n為兩個互反判斷矩陣，定義判斷值aij與bij之間的距離如下：

(1)

命題2d(aij,bij)滿足距離測度的三個條件：

(1)0≤d(aij,bij)<1;

(2)d(aij,bij)=0?aij=bij;

(3)d(aij,bij)=d(bij,aij)。

(2)證明：

?aij=bij

(3)由d(aij,bij)的定義知d(aij,bij)=d(bij,aij)成立。

定義5設A=(aij)n×n和B=(aij)n×n為兩個互反判斷矩陣，定義判斷值aij與bij之間的相似度如下：

s(aij,bij)=1-d(aij,bij)

(2)

易知，0≤s(aij,bij)≤1。

定義6令A=(aij)n×n和B=(bij)n×n為兩個互反判斷矩陣，定義A和B之間的距離如下：

(3)

同樣可得，d(A,B)滿足：0≤d(A,B)<1。

定義7令A=(aij)n×n和B=(bij)n×n為兩個互反判斷矩陣，定義A和B之間的相似度如下：

(4)

易知，0≤S(A,B)≤1。

定義8設A=(aij)n×n為互反判斷矩陣，SMn為n階一致性互反判斷矩陣集。定義A=(aij)n×n與SMn之間的距離如下：

(5)

易知，0≤d(A,SMn)<1。

定義9設A=(aij)n×n設為互反判斷矩陣，SMn為n階一致性互反判斷矩陣集。令1-d(A,SMn)為互反判斷矩陣A的一致性指標(CI)，即:

CI(A)=1-d(A,SMn)

(6)

3 單人決策情形下的一致性改進算法

證明對任意i,j,k=1,2,…,n

定理2

對上式兩邊取對數，并根據AHP中對數最小二乘排序法的相關理論得[3]:

推論1

(7)

由(6)和定理2得推論1成立。

定義10如果CI(A)≥0.9，則稱互反判斷矩陣A為可接受一致性互反判斷矩陣；否則，為不可接受一致性互反判斷矩陣。

迭代算法(A1)：

第三步：計算判斷矩陣A(k)的一致性指標CI(A(k))，如果CI(A(k))≥0.9，轉第五步；否則，轉第四步；

下面的定理3保證了算法(A1)的可行性。

定理3令A為不可接受一致性判斷矩陣。設{A(k)}為算法(A1)產生的矩陣序列，CI(A(k))為其相應的一致性指標。則有：CI(A(k+1))>CI(A(k))對任意k成立，而且：對任意給定的α0∈[0,1)，存在k0，當k≥k0時，CI(A(k))≥α0。

對(8)兩邊取對數，得:

CI(A(k))序列單調遞增，且極限為1，因此，存在k0，當k≥k0時，CI(A(k))≥α0。

定理3保證了對任意不具有可接受一致性的判斷矩陣A，均可通過算法(A1)在有限步迭代后得到具有可接受一致性的判斷矩陣。

4 群決策情形下群體判斷矩陣一致性指標的下界

證明用數學歸納法易證命題成立。

定理4若CI(Ak)≥α0(k=1,2,…,m)，則CI(Ac)≥(α0)n。

上式兩邊取對數，得:

定理5假設A1，A2，…，An,B為n+1個判斷矩陣。若S(Ak,B)≥α0,k=1,2,…,n，則S(Ac,B)≥(α0)n。

對上式兩邊取對數，可得:

所以，S(Ac,B)=1-d(Ac,B)≥(α0)n。

5 示例

假設某位專家給出的判斷矩陣A如下：

5.1 基于算法(A1)的修正

經過計算，得

取臨界值α0為0.9. 一致性指標CI(A)=0.7928<0.9，為不可接受一致性判斷矩陣。因此需要對判斷矩陣A進行一致性修正。

第三步：計算判斷矩陣A(0)的一致性指標，得CI(A(0))=0.7928<α0；轉第四步；

轉第二步：構造

計算判斷矩陣A(1)的一致性指標，得CI(A(0))

轉第四步，對判斷矩陣A(1)進行修正……經過9次迭代，得：

構造一致性矩陣

5.2 基于Xu和Wei方法[16]的修正

第一步：首先令A0=A，CI*=0.1，λ=0.95。

經過17次迭代，得

求得修正判斷矩陣A17的最大特征值λmax為4.2538，從而一致性指標CI17為0.0950，小于0.1，滿足一致性要求。因此，修正過程結束。得到最終的判斷矩陣為A17。

算法(A1)與Xu和Wei方法得到的結果有所差別，這主要是一致性指標的設定原理不同造成的。兩種一致性指標的比較分析需要進行更深入的研究。這也是作者下一步的努力方向。

5.3 群決策情形

5.3.1 定理4的數據示例

首先設有四位專家針對某決策問題給出了判斷矩陣如下[24]:

假設可接受一致性指標臨界值為α0=0.9。由(7)計算得四位專家給出的判斷矩陣的一致性指標分別為：

CI(A)=0.9668>0.9，CI(B)=0.9428>0.9
CI(C)=0.9706>0.9，CI(D)=0.9594>0.9

用(7)式求得群體判斷矩陣的一致性指標為CI(A)=0.9494>0.9。這是定理4的一個數據例子。

5.3.2 定理5的數據示例

假設四位專家關于某問題給出的判斷矩陣A1,A2,A3,A4分別為5.3.1中的A,B,C,D，第五位專家給出判斷矩陣為：

6 結束語

文中首先定義了互反判斷矩陣與一致性互反判斷矩陣集之間的距離及相似度，并基于此距離和相似度定義了一個新的關于互反判斷矩陣的一致性指標。給出了新一致性指標的度量方法。對于不滿足一致性要求的互反判斷矩陣，給出了一個迭代方法來提高判斷矩陣的一致性水平，定理保證了經過一定次數的迭代后得到的修正的判斷矩陣一定能滿足預先給定的一致性要求。得出了群體互反判斷矩陣一致性指標的下界，為新的一致性指標應用于群決策提供了理論基礎。數值例子部分把提出的算法與Xu和Wei方法進行了比較，顯示出文中提出的一致性指標和一致性修正算法的有效性和可行性。另外，對于群決策中定理4和定理5的結論也給出了數據示例。