基于APL的EWMA控制圖經濟統計優化設計

王海宇， 喬百豪， 瞿博陽

(1.鄭州大學 商學院，河南 鄭州 450001; 2.中原工學院 電信學院，河南 鄭州 450007)

0 引言

作為過程質量控制的主要技術方法，控制圖已經在工業生產中得到了廣泛的應用。控制圖設計好壞的主要評價指標可以分為統計特性與實施成本兩種，即統計性和經濟性，因此其優化設計主要包括統計性設計、經濟性設計、經濟統計性設計三種方法[1]。統計性設計的參數主要由控制圖的兩類錯誤確定，通?？刂茍D的設計是在將誤發報警的概率維持在一個較小的值的基礎上盡可能地減小漏發報警的概率[2]。平均運行長度(ARL, Average Run Length)是目前最為普遍使用的控制圖效率評價指標，它比較容易計算，便于被人們接受并使用[3]。由于ARL是樣本數的平均值，受抽樣頻率等的影響較大，往往不能完全反映不同的控制圖方案在監控效率上的差異[4]。

從經濟層面上看，控制圖設計同樣會影響抽樣、檢驗、異常來源查找及消除等的成本。因此，Duncan首先構建了X-bar控制圖監控生產過程的費用函數，為控制圖經濟設計的研究奠定了基礎[5]；Lorenzen和Vance考慮生產過程在尋找異常因素以及修復系統的時候是否停止運行，構建了通用的費用函數模型[6]。后續大多數控制圖經濟性設計的研究都是在這兩篇文獻的基礎上發展來的。

為了兼顧控制圖的統計性能與經濟性能，人們又提出了過程質量控制的經濟統計設計，綜合考慮經濟性和統計性，一些學者們在經濟性設計上增加了統計性約束，使控制圖在達到統計性能情況下成本最低[7]。對于控制圖的經濟統計設計來說，帶有統計約束的經濟設計并不是一種非常有效的方法，在很多實際應用中，統計特性都具有和經濟特性同等重要的地位，因此成本和統計特性都應該作為設計目標同時進行優化[8,9]。Evans和Emberton提出了具有成本函數和統計指標兩個設計目標的均值-極差控制圖的優化設計，首次將控制圖優化設計轉化為多目標決策問題[10]；Safaei等提出了考慮田口質量損失函數的控制圖經濟統計優化設計模型[11]；Yang等以成本和ATS為經濟統計多目標函數，以ARL作為統計約束，構造X和 S控制圖的經濟統計設計模型，并采用改進粒子群優化算法對該模型進行求解[12]。

由于休哈特常規控制圖對小偏移不是很敏感，EWMA圖被廣泛地用于對過程中出現的較小波動進行質量監測。SEREL基于損失函數提出了EWMA圖的經濟性設計方法[13]；AMIRIA等基于成本和過程參數的不確定性構造了穩健的EWMA圖經濟設計和經濟統計設計[14]；常志遠等采用差分進化式煙花算法研究了自適應EWMA圖的經濟統計設計[15]。然而在這些已有的研究中，大都采用ARL、ATS等不夠精確的性能評價指標作為統計性和經濟性目標函數的計算依據，難以獲得更準確的控制圖性能評價結果和最佳的控制圖優化設計方案。針對這一問題，本文采用更為精確的產品長度作為計算依據來討論EWMA圖的經濟統計多目標優化設計的具體方法。

1 EWMA控制圖的經濟統計設計

(1)

其中，Z0=μ0，0<λ≤1，i=1,2,…。

(2)

控制圖應用的一個質量周期是從生產過程開始到消除過程異常波動，包括過程處于受控狀態、失控狀態、排查異常、消除異常等多個階段，如圖1所示。

圖1 控制圖應用的質量周期示意圖

在對EWMA圖進行優化設計時，通常需要確定樣本容量n、抽樣間隔h、控制線參數k、平滑系數λ等參數，參數的選擇既要考慮過程的統計性能，也要考慮其經濟性，即控制圖的經濟統計設計。

1.1 統計性評價指標:APL的計算

對于控制圖的統計性能，通常使用平均運行長度(ARL, Average Run Length)，即過程出現異常波動到該異常波動被控制圖發現之間的平均樣本數，作為評價指標。當過程處于受控狀態時，希望有盡量少的虛發報警，即ARL0越大越好；當過程處于失控狀態時，希望能夠盡快發出異常報警，即ARL1越小越好。而ARL0和ARL1不可能同時達到最優，因此在控制圖的統計優化設計中，往往將ARL0保持為一個較大的固定值，然后進行參數優化選擇以使ARL1達到最小。但ARL往往存在度量不夠精確，無法在樣本容量、抽樣間隔等有差異時有效進行控制圖監控效率的衡量和比較，因此本文采用更為精確的平均產品長度(APL, Average Product Length)，即過程出現異常波動到該異常波動被控制圖發現之間的平均產品數，作為評價指標。

首先，如圖1中段所示，從過程出現異常波動到該波動被控制圖發現之間生產的總產品數，即產品長度L可以表示為：

L=D+h(S-1)+nS

(3)

其中，n為樣本容量；S為從過程出現異常波動到被發現之間抽樣的樣本個數；h表示樣本之間間隔的產品數；D表示從過程出現異常波動到之后的第一個樣本之間的產品數。

產品長度L的期望，即APL就可以表示為:

APL=E(D)+(n+h)E(S)-h

(4)

而EWMA圖的ARL可以采用Markov鏈的方法進行求取。將EWMA圖的控制限區間[UCL,LCL]等分成2m+1個子區間，其中，均值附近為一個小的子區間，上下控制限分別到均值子區間之間都等分為m份，這樣每個子區間的寬度均為：

(5)

第i個子區間的中心位置為

(6)

當m足夠大時，若EWMA統計量Z落入第i個子區間，則可以近似認為Zi=Yi。

pjk=P(到狀態k│在狀態j)

j,k=-m,-m+1,…,-1,0,1,…,m

(7)

(8)

將式(8)代入式(4)中可得：

(9)

1.2 經濟性評價指標：成本模型的計算

在以往的控制圖經濟性優化設計模型中，通常采用單位時間內產生的費用來衡量一個質量周期內的費用大小，即一個質量周期內的平均費用除以一個質量周期的平均時長。但這種評價方法同樣存在不夠精確甚至不能夠很好反映生產現場真實情況的問題，比如當控制圖出現報警，在確認該報警是否為誤報警、查找異常原因、消除異常原因等階段中，若過程處于停止狀態，則這些停止狀態的時間越長，一個質量周期的總時長也越長，單位時間內產生的費用就可能會減小，這顯然與實際生產過程中要減少停機，盡可能保證連續生產的要求是不相符的。因此，本文提出了更精確的成本模型，單位產品的質量費用，即一個質量周期內的平均費用除以一個質量周期內生產的總產品數，進行控制圖的經濟性評價和設計。

(10)

其次，已有的控制圖經濟性優化設計模型通常假設受控和失控狀態下單位時間內不合格產品的質量損失分別為固定的常數，這與生產過程的實際情況是不相符的，因此可以采用Taguchi二次損失函數來分別計算受控和失控狀態下單位時間內的質量損失：

(11)

(12)

其中，γ2可以分別取0或者1，分別代表修復異常波動時生產過程停止或者繼續；F表示每次誤報警的平均費用；W為每次查找和消除異常波動的平均費用；a為一次抽樣的平均固定成本；b為抽取一個樣品的平均可變成本。

(13)

其中，N表示自然數集，控制限參數k的取值限定在0到4之間，EWMA平滑系數λ限定在0到1之間。

2 算例分析

取B=5000和B=10000兩種情況，分別對偏移量δ=0.25、0.50和1.00三種不同的偏移程度，對EWMA控制圖進行優化設計，其非劣解解集構成的帕累托前沿見圖2所示。

圖2 不同偏移量對應的帕累托前沿

由于APL1表示的是失控時發現異常波動需要經過的產品個數，其取值為整數，因此通過取整和近似解的合并，得到不同的B值和偏移量δ組合下的非劣解各20組，結果如表1～6所示。

表1 EWMA控制圖經濟統計優化的帕累托解集(B=5000，δ=0.25)

表2 EWMA控制圖經濟統計優化的帕累托解集(B=5000，δ=0.50)

表3 EWMA控制圖經濟統計優化的帕累托解集(B=5000，δ=1.00)

表4 EWMA控制圖經濟統計優化的帕累托解集(B=10000，δ=0.25)

表5 EWMA控制圖經濟統計優化的帕累托解集(B=10000，δ=0.50)

表6 EWMA控制圖經濟統計優化的帕累托解集(B=10000，δ=1.00)

表1～6分別給出了B和δ的不同取值組合下構造的多目標優化設計方案的多個非劣解，從這些解之間的變化可以發現，樣本容量n的取值與成本C的變化成正比關系，與APL1的變化成反比關系；抽樣間隔h正好相反，與成本的變化成反比關系，與APL1的變化成正比關系，這表明樣本容量n對成本的影響比較顯著，n越大，抽樣檢測成本、誤報警成本等都會隨之增大；而抽樣間隔h對APL1的影響比較明顯，h的增加必然會導致APL1的增大。控制線參數k和平滑系數λ的變化并無顯著規律，這并不意味著這兩個參數對成本C和APL1的影響不大，而是隨著樣本容量n和抽樣間隔h的變化進行相應的調整，以實現兩個控制目標的優化。

3 靈敏度分析

這里對控制模型中的三個主要設定參數：損失函數的系數K、單位時間生產的產品數ρ、過程處于受控狀態的時間服從的指數分布的參數θ，分別進行靈敏度分析。將三個參數的設定值分別在第三節算例分析中表4(B=10000，δ=0.25)的取值的基礎上增減20%，重新進行優化計算，結果見圖3～5所示。

圖3 參數K的變化對優化設計的影響

圖4 參數ρ的變化對優化設計的影響

圖3為參數K的取值分別為1、1.2、0.8時獲得的多目標優化非劣解解集構成的帕累托前沿。由圖可知，參數K的變化對該多目標優化設計的非劣解影響比較顯著，隨著參數K的增大，控制圖的質量損失成本也將隨之增大，這在圖3中的帕累托前沿的前半部分(APL1<1000)的比較中體現的比較明顯，在APL1的取值相同時，參數K越大的優化設計方案的非劣解的成本C越大；而對于帕累托前沿的后半部分(APL1>1000)，非劣解逐步趨向于成本降到最低限，這時候非劣解對參數K的變化逐步變得不靈敏，除非參數K出現成倍的增大或減小。

圖4為參數ρ的取值分別為300、360、240時獲得的多目標優化非劣解解集構成的帕累托前沿。由圖可知，參數ρ的變化對該多目標優化設計的影響是不顯著的，參數ρ的增大或減少并沒有導致多目標優化設計的非劣解解集的分布曲線發生明顯的變化，這說明該多目標優會設計方案對產品生產的速度快慢是比較穩健的，生產過程中出現生產速度的輕微變化將不會影響優化設計方案的具體應用。

圖5 參數θ的變化對優化設計的影響

圖5為參數θ的取值分別為0.02、0.024、0.016時獲得的多目標優化非劣解解集構成的帕累托前沿。由圖可知，參數θ的變化對該多目標優化設計的非劣解影響也是較為明顯的，隨著參數θ的增大，受控狀態下的平均時長將縮短，一個質量周期的平均長度也會縮短，導致單位產品的平均質量成本將隨之增大，這在圖5的帕累托前沿的中間部分的比較中體現的較為明顯。

4 比較分析

為了說明本文提出的經濟統計設計方法的先進性，可分別與Serel等提出的EWMA圖經濟設計方法[13]、王海宇提出的基于APL的EWMA圖統計設計方法[16]進行比較，見表7～9所示。

表7 三種EWMA圖的優化設計方案比較(B=10000，δ=0.50)

表8 三種EWMA圖的優化設計方案比較(B=10000，δ=1.50)

表9 三種EWMA圖的優化設計方案比較(B=10000，δ=2.50)

5 結論

本文提出一種EWMA控制圖的經濟統計優化設計方法，經濟性方面以單位產品平均質量費用為目標函數，統計性方面以失控狀態下的平均產品長度為目標函數，在給定足夠大的受控狀態下的平均產品長度為約束的前提下，建立經濟統計多目標優化模型來尋找更加合理的EWMA控制圖控制參數優化設計解集。在實際應用中，相關人員可根據在統計性和經濟性方面的偏好選擇解集中的任意一個非劣解對應的參數設計結果作為EWMA圖監控方案。