基于廣義WOWA算子的Pythagorean模糊決策方法

李 鵬， 沈志杰

(江蘇科技大學 經濟管理學院，江蘇 鎮江 212003)

0 引言

Yager基于直覺模糊集提出了Pythagorean模糊集(PFS)的概念[1,2]，并指出Pythagorean模糊集在描述模糊信息時具有更強的表現能力，引起了大量專家學者的關注。Zhang和Xu[3]定義了Pythagorean模糊數(PFN)的基本運算法則及距離公式。Ren等[4]考慮了決策者的“有限理性”，將Pythagorean模糊集與TODIM方法結合。Peng和Yang[5]將Choquet積分引入到Pythagorean模糊信息環境中，定義了Pythagorean模糊Choquet積分算子。Garg[6]將一些幾何聚類算子推廣到Pythagorean模糊環境中。劉衛鋒等[7]在Pythagorean模糊環境下定義了諸多有序加權幾何算子。

集結算子在信息集結方面具有諸多優勢，目前已有大量的集結算子被應用于解決多屬性決策問題[6～10]。有序加權(OWA)算子[11]是對數據進行從大到小重新排序，根據數據的位置進行加權再集結，現已被用于多目標生成樹[12]、投資組合選擇[13]、信息融合[14]等領域。加權有序加權(WOWA)算子[15,16]是在OWA算子基礎上進一步考慮了信息本身的重要性，即屬性權重融合了位置權重和客觀權重。廣義加權有序加權(GWOWA)算子[17]在保留WOWA算子優點的同時引入人工變量，增加了決策者對信息集結的控制能力。

然而，GWOWA算子在Pythagorean模糊環境下的研究尚不多見。因此，本文定義了廣義Pythagorean模糊加權有序加權(PF-GWOWA)算子，討論了PF-GWOWA算子的相關性質，并基于PF-GWOWA算子提出了決策方法。本文提出方法的優勢在于：①綜合考慮多屬性決策矩陣中屬性的位置權重和客觀權重；②引入參數使得決策者掌握主動權，可以根據實際情況變動參數，調整決策模型；③將GWOWA算子拓展到Pythagorean模糊環境中，擴展了GWOWA算子的應用范圍。

1 基本概念

為方便起見，稱β=P(μβ,υβ)為Pythagorean模糊數。

定義2[3]設β=P(μβ,υβ)為任意Pythagorean模糊數，則稱s(β)=(μβ)2-(υβ)2,h(β)=(μβ)2+(υβ)2，為β的得分函數與精確函數。

定義3[3]設Pythagorean模糊數βi=P(μβ,υβ)(i=1,2)，則以下結論成立:

1)如果s(β1)>s(β2)，則β1>β2；

2)如果s(β1)=s(β2)，h(β1)

3)如果s(β1)=s(β2)，h(β1)=h(β2)，則β1～β2。

定義4[3]設βi=P(μβ,υβ)(i=1,2)為Pythagorean模糊數，則兩者之間距離定義為:

|(πβ1)2-(πβ2)2|)

(1)

定義5[3]設Pythagorean模糊數β1=P(μβ1,υβ1)，β2=P(μβ2,υβ2)，β=P(μβ,υβ)，則以下運算法則成立：

2 基于Pythagorean模糊數的GWOWA算子

GWOWA算子是一種廣義的WOWA算子，它在保留WOWA算子特性的基礎上引入參數λ，決策者可根據實際情況進行調節。本文將該算子推廣到Pythagorean模糊環境中，提出廣義Pythagorean模糊加權有序加權平均(PF-GWOWA)算子。

(2)

定理1設Pj=P(μj,υj)(j=1,2,…,n)為任意個Pythagorean模糊數，則通過式(2)進行集結仍為Pythagorean模糊數，并且滿足

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

v1(Pσ(1))λ+v2(Pσ(2))λ

因此，n=2時成立；

2)假設n=k時成立，即

因此，n=k+1時成立。

顯然，根據1)和2)可知，對于任意的n，定理1均成立。

例1設P1=P(0.8,0.2)，P2=P(0.7,0.4),P3=P(0.6,0.5),v=(0.3,0.5,0.2)T,λ=2，根據定理1可得：

=P(0.7,0.3)

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

=ωσ(j)

進而可得：

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

定理3設(P1,P2,…,Pk)為任意一組Pythagorean模糊數，Pj=P(μj,υj)，j∈[1,k]。當λ=1時，式(2)退化為PF-GWOWA算子，即:

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

由于PF-GWA算子、PF-WOWA算子和PF-WA算子是PF-GWOWA算子的特殊情況，因此Pythagorean模糊數通過PF-GWA算子、PF-WOWA算子和PF-WA算子集結之后仍為Pythagorean模糊數。

3 基于PF-GWOWA算子的決策模型

3.1 決策問題描述

設某決策問題，備選方案集為X={X1,X2,…,Xm}，屬性集為C={C1,C2,…,Cn}，決策矩陣為G=(Pij)m×n(如表1所示)，其中Pij=P(μij,υij)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)為Pythagorean模糊數。

表1 Pythagorean模糊數多屬性決策矩陣

3.2 基于PF-GWOWA算子的信息融合

(1)位置權重確定模型

設屬性Cj的位置權重為wj(j=1,2,…,n)，根據文獻[11，21]可構建最大熵規劃模型求解：

(3)

其中α為人工變量，可根據決策者實際的樂觀程度進行調節，滿足0≤α≤1；disp(w)∈[0,ln(n)]。

(2)客觀權重確定模型

離差最大化[22]方法是一種用于計算屬性權重的有效方法。本文將離差最大化方法推廣到Pythagorean模糊多屬性決策矩陣中，進而求得客觀權重。

在Pythagorean模糊決策矩陣G=(Pij)m×n中，屬性Cj下，方案Xi和其它所有方案的離差值記為Tij:

|(υij)2-(υij)2|+|(πij)2-(πlj)2|)

進而，屬性Cj下所有方案和其它方案的離差值為Tj:

|(υij)2-(υlj)2|+|(πij)2-(πlj)2|)

基于此，建立以下規劃模型計算客觀權重:

(4)

(5)

(6)

(3)基于WOWA算子權重方法的客觀權重確定模型

通過WOWA權重算子[15]集結位置權重和客觀權重，可得屬性Cj在方案Xi下的綜合權重vij：

(7)

(8)

(4)決策步驟

綜上所述，可得到基于PF-GWOWA算子的模糊決策方法決策步驟：

Step1根據式(3)求得屬性Cj的位置權重wj(j=1,2,…,n)；

Step2根據式(4)～(6)計算屬性Cj的客觀權重ωj(j=1,2,…,n)；

Step3根據式(7)～(8)得到屬性Cj的綜合權重vij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n);

Step4根據式(2)確定各方案的綜合屬性值Vi(i=1,2,…,m)；

Step5根據得分函數s(Vi)對方案進行排序擇優。

4 算例分析

某地區發生地震，有4個受影響地區(X1,X2,X3,X4)需要支援[23]，專家根據四個屬性(C1,C2,C3,C4)對該4個地區進行評估，得到決策矩陣(如表2所示)，其中C1指遇難人群的年齡、性別、身體健康情況，C2指遇難人員的傷殘情況，C3指遇難人群所處的環境情況，C4指遇難的人數和地震發生的時間。

表2 決策矩陣

4.1 決策過程

Step1利用式(3)算出位置權重，如表3所示。

表3 α取不同值時的位置權重

顯然，當α=0.5時，各位置權重都為0.25，即數據排序后不受順序的影響。同時，以α=0.5為分界線，上下兩部分呈現出斜對稱的規律。為消除各屬性位置權重差距過于懸殊影響最終結果，分別選取α等于0.3、0.4、0.5、0.6、0.7時的位置權重進行計算。

Step2使用離差最大化的方法求出C1、C2、C3、C4的客觀權重。根據式(4)建立二次規劃模型如下所示:

ωj≥0,(j=1,2,3,4)

Step3根據式(7)～(8)求得屬性的綜合權重如表4至表8。

表4 α=0.3時綜合權重情況

表5 α=0.4時綜合權重情況

表6 α=0.5時綜合權重情況

表7 α=0.6時綜合權重情況

表8 α=0.7時綜合權重情況

表9 各方案的綜合屬性值

Step4計算λ分別取1和2時，各方案綜合屬性值如表9所示。

Step5根據精確函數和得分函數對四個方案進行排序，如表10。

表10 方案優劣排序情況

顯然，受參數的影響，PF-GWOWA在不同情況下會退化成其他算子。總體而言，當α取0.3和0.4時，方案X4為最優方案。當α取0.5、0.6和0.7時，方案X2為最優方案。可見，決策者的樂觀程度影響著最終的最優方案，樂觀程度越高，最優方案更趨向于方案X2，反之則更趨向于方案X4。

4.2 方法比較分析

TOPSIS法[3]是對備選方案進行排序的常用決策方法。為了驗證PF-GWOWA算子的有效性，本文用TOPSIS法對上述案例進行再次求解。

首先，求出正、負理想解分別為:

X+={(C1,P(0.9,0.2)),(C2,P(0.7,0.4)),(C3,P(0.8,0.4)),(C4,P(0.7,0.3))}X-={(C1,P(0.3,0.8)),(C2,P(0.4,0.9)),(C3,P(0.5,0.7)),(C4,P(0.5,0.8))}

然后，算出各方案與正負理想解之間的距離，進而算出Xi與X+的接近程度RC(Xi)(i=1,2,3,4)，最后根據RC(Xi)對個方案進行排序，如表11所示。

表11 各個方案與最優、最劣方案的距離、接近程度及排序

可以看出，用TOPSIS法求得的最佳方案為X1，但是它與排名二、三方案(X4和X2)的接近程度相差特別小。相反，根據表9與表10可知用PF-GWOWA算子及其退化算子求得的排名第二和第三方案之間的優劣差明顯比TOPSIS法大，且排名前二的方案優劣差距也明顯較大，但兩方法算得的最劣方案皆為方案。綜上所述，PF-GWOWA算子在處理優劣程度相似的方案時，擴大了方案之間的優劣差距，使決策者更易選出最優方案，使最終的結果相對更具說服力。

5 結論

本文主要解決權重未知的Pythagorean模糊多屬性決策問題。首先，提出了基于Pythagorean模糊數的GWOWA算子，并證明了該算子的一些性質；其次，根據OWA算子權重算法和離差最大化思想分別設計了該算子中位置權重與客觀權重的計算模型，并基于該算子提出了決策方法；最后，通過算例分析和方法比較，說明了該模型的可行性。