測量誤差分析及數據處理若干要點系列論文（五）——移動平均式數據處理

林洪樺

特約論文

測量誤差分析及數據處理若干要點系列論文（五）——移動平均式數據處理

林洪樺

（北京理工大學，北京 100081）

移動平均式數據處理具有廣泛的應用領域，不僅可作為緩變型三非性數據處理的一般方法，還可作為常量測量的數據處理方法。闡述移動平均式算法基本思想，介紹動態測試和常量測量的移動平均式算法處理方法。

數據處理；誤差分析；移動平均式算法

0　引言

在前系列論文已論述，現實的測量數據多屬小樣本，本質上均具有三非性（非線性、非高斯、非平 穩）[1-4]。移動平均式自適應數據處理有其廣泛的應用領域，不僅可作為緩變型（緩時變性或無急劇變化，如，脈沖型、階躍型等）三非性數據處理的一般方法，還可作為常量測量（實質上長過程常量測量數據也屬于緩變型）數據處理方法。總之，當樣本容量較大時，任何基本算法均可運用移動平均式數據處理。

在高準確度的動態測量中，尤其是納米級測量、長過程測量（無論變量或常量）、在線測量等都存在不易確切掌握時變統計特性的測量數據，急需具有自動顯示及判別統計特性的自適應數據處理方法。以往多用各種遞推算法，卻存在初始滯后、擬合誤差累積、數值欠穩定等問題，難以滿足高準確性要求。筆者自1987年開始采用一系列移動式成批算法、移動式遞推平均算法及兩者結合的算法，在算法參數選擇合適情況下，可克服單純遞推算法的不足。對于非急劇變化的緩變型動態測試數據處理，可取得高準確度跟蹤數據時變特性的效果[5-8]。即便是應用現代智能算法，由于多基于隨機性全局搜索方法，計算結果具有隨機性，予以平均精確化更佳。

移動平均式算法既具有跟蹤緩時變的能力，又可充分利用樣本信息，并能發揮成批算法數值穩定性及移動平均精確化效應等高準確度效果，但在計算速度上略遜于遞推算法或原基本算法。上世紀九十年代初，已將移動算法歸納為自適應濾波的又一類算法。因此，探討高準確度自適應數據處理方法已成為當前測試技術關注的問題。樣本容量較大或長過程的常量測量存在緩變影響因素，易被忽視，本文著重說明在常量測量中的應用。

1　移動平均式算法基本思想

經典移動平均（moving average, MA）算法具有跟蹤緩時變特性的能力，將其擴展應用于基本算法（basic algorithm, BA）（也稱基礎算法，含成批算法、遞推算法及兩者結合的算法）的移動平均算法，總稱為移動平均式算法（BAMA），基本設想如圖1所示。

圖1　BAMA基本設想

由圖1可見：直接對樣本數據作MA算法，對樣本數據先作分段BA，再對其進行BAMA。BAMA有分段數據量和重疊數據量兩個主要參數。

的選擇取決于BA的數據處理目的，若要表述數據所含確定性變化規律，則該個數據中應含有其確定性變化成分的主要信息；若要表述其隨機性成分，則該個數據應體現出統計特性且近似具有平穩性。通常樣本數據時變特性較復雜、較劇烈時，相應地取大些，但應受限于保持接近平穩性。由于BAMA能體現過程的緩時變特性，因而在滿足上述BA的數據處理目的下，宜盡量偏小選擇。至于的具體值取決于BA的需求及總數據量。通常要求移動5次以上，方能體現BAMA的效果，即<5。一般要求50~100。

的選擇決定了BAMA的平均效果或準確性，還需兼顧時變的連續性與移動算法的最佳速度。通常宜選得偏大些，如，10~20。

至于BA有關參數的選擇，則視樣本數據模型化及所選定的具體算法而異，不在此贅述。筆者將其歸納為動態測試算法和常量測量算法2種類型。動態測試算法又可分為以回歸或自回歸為主構成的移動平均式成批算法；以各種遞推算法為主且作移動平均精確化者為移動平均式遞推算法。無論何種具體算法均涉及選擇或自動識別階數（或次數、項數等）這一重要參數，且因有移動平均形式體現緩時變性而可選得盡量偏小些。常量測量主要對多數據量或長測量過程而言。常量測量樣本及測量誤差均有緩變因素影響，采用BAMA處理更佳。其參數選擇主要取決于測量誤差的類型是隨機變量還是平穩過程。若屬后者，則無異于移動平均式成批算法，需建自回歸模型，其階數同前選。

在BAMA具體應用中，數學模型擬定是至關重要環節，且影響BAMA參數選定。BAMA處理方法的邏輯框圖如圖2所示。

圖2 BAMA處理方法的邏輯框圖

2　動態測試的BAMA處理方法

BAMA處理方法主要應用于動態測試數據處理，可分為移動平均式成批算法和移動平均式遞推算法。文獻[5]～文獻[10]對這些算法已有闡述，故在此僅簡要略述及補充其與BAMA處理方法的有關要點。

2.1　預處理

分解方法可采用MA中心平滑方法，即

2.2　時變規律性{}和隨機性{}的模型化

大多數現實問題應用這種線性化處理方法可滿足準確度要求。僅當某些強非線性度問題不得已需采用非線性模型。總之，模型化遵從線性化優先原則。

同理，隨機性模型遵從線性化-平穩化優先原則。

2.3　動態測試的BAMA

動態測試的BAMA決定于對現實問題的樣本數據進行模型化及最佳性原則的需求。詳見文獻[5]及此系列論文的論述，具體處理方法的示例可參考文獻[6]~文獻[10]。本文僅涉及現代數據處理方法的要點。

SVD：=ΣT，Σ= diag（1,2,…,σ,σ+1,…,σ)，=+1

式中，和分別為左和右奇異矩陣；和分別為的行數和列數；1≥2≥…≥σ為的奇異值。其中大于σ者對應于顯著性變量，且σ+1/1≤ 0.05或0.1即可判定階數為；而σ+1,…,σ均對應著噪聲或隨機誤差。如此判定階數較為穩定、可靠。

2）時變分布統示法的應用：十多年前筆者對云南滇池某種水質指標兩年的四季樣本數據剔除異常數據后，做分布分段擬合（靜態），估計結果分布參數有多處較劇烈變動。后改進采用BAMA處理方法（動態），估計分布參數呈平穩的緩變性。此即時變分布統示法的實際應用示例。另，由于其樣本數據雖剔除異常數據后仍不時有所起伏，再改進為運用中位值濾波式BAMA處理方法將更佳。

時變分布統示法的具體BAMA處理方法，即將樣本總數據量按<5分段，在數據量為分段內以本系列論文（三）中述及的分布矩估計方法為BA[3]，再予以移動進行MA處理的方法。要點在于：

①簡捷識別緩時變性：盡管有擬合優度檢驗、熵差異識別等較復雜的方法常用于概率分布檢驗。然而這里所需的是識別各分段分布參數(,,,)差異性的簡捷方法。既然各分段的偏態-峰態系數均需估計，建議運用偏態-峰態系數差異性的識別概率分布不同的近似方法。這樣兼有識別對稱性而運用對稱性優先原則與識別隨機性分布差異性之優越性和簡捷性。具體處理方法如下：

利用文獻[5]中式(5.512)所得偏態-峰態系數估計的置信界限識別對稱性與隨機性分布差異性，即2個以上相鄰分段的偏態-峰態系數估計超出此范圍就視為有差異。對分布參數(,,,)需做緩時變性處理。

②若分布無時變性，在分段中按樣本前四階矩估計分布參數(,,,)時，其中(,) = (min-N,max-N)應恒按樣本整體數據中的最小值和最大值估計。這樣準確性、可靠性更高。同時，可用各分段分布參數(,,,)估計的均值作為其估計結果進行后續處理。顯然這樣可彌補按全樣本數據一次估計分布參數(,,,)的不足。

③BA求解分布參數(,,,)算法探討

求解分布參數(,,,)算法：現代BA多強調用基于全局優化隨機搜索的智能化算法，求解分布參數(,,,)，其結果具有隨機性。樣本數據量較大時，建議運用②所述具有平均效果的處理方法，以提高準確性和可靠性。若樣本數據量不大，(,)不宜按數據中的最小值和最大值估計。建議按(μ,σ,3,4)與(,,,)關系的聯立方程求解分布參數。

3）時變粒子濾波（PF）的應用：文獻[10]中已闡述卡爾曼濾波（KF）作移動平均式處理的方法，并得出具有抑制隨機誤差即噪聲的較顯著效果；可適應緩時變性；具有平均效果等優點。然而，除計算速度略低外，還受制于高斯性。在現代數據處理中要求不能受制于線性和高斯性，顯然可應用對粒子濾波（PF）作移動平均式處理的方法，即緩時變PF方法，取得上述優點。

3　常量測量的BAMA處理方法

多數據、長過程的常量測量有緩變，宜用BAMA處理，即使無緩變也具有平均效果。

示例：采用正偏態分布仿真數據作為長過程常量測量數據，如圖3所示。整體數據200，取分段數據= 100，重疊數= 50（可有更佳選擇），進行BAMA處理，處理結果如表1所示。對長過程常量測量數據的BAMA處理結果表明：經驗證分段的相鄰均值之間并無差異，即無時變性；BAMA處理方法優于一般的整體數據處理。對BAMA參數選擇合適可取得更佳平均效果。還需指出，該例對重疊部分尚未作處理，顯然還會有其平均效應。

圖3 正偏態分布仿真數據作為長過程常量測量數據

表1　長過程常量測量數據BAMA處理方法分析

4 結語

不論何種基本算法均可運用移動平均式處理方法，可體現緩時變特性，得到平均效應，其重點在于合理設置參數()。

[1] 林洪樺.測量誤差分析及數據處理若干要點系列論文（一）——現代數據處理基本觀念與四字要訣[J].自動化與信息工程,2020,41(1):1-4,9.

[2] 林洪樺.測量誤差分析及數據處理若干要點系列論文（二）——隨機性分布統示法綜論[J].自動化與信息工程,2020, 41(2):1-7.

[3] 林洪樺.測量誤差分析及數據處理若干要點系列論文（三）——隨機性分布統示法推薦應用[J].自動化與信息工程,2020,41(3):1-6,16.

[4] 林洪樺.測量誤差分析及數據處理若干要點系列論文（四）——統計學習理論及支持向量機方法統用于形位誤差評定[J].自動化與信息工程,2020,41(4):1-5.

[5] 林洪樺.動態測試數據處理[M].北京:北京理工大學出版社,1995.

[6] 林洪樺,王曉巖.應用自適應濾波抑制動態測試隨機誤差[J].計量學報,1992,13(3):176-183.

[7] 林洪樺,趙曉光.應用移動Marple法擬合動態測試數據的時變AR模型[J].計量學報,1994,15(2):92-98.

[8] 林洪樺,仲琇.動態測試數據自動處理方法[J].北京理工大學學報,1995,15(1): 67-74.

[9] 林洪樺.巧用移動式自適應數據處理[D].香港: Nano-metrology in Precision Engineering 精密工程中的納米測量技術,135-138 .

[10] 林洪樺,荀燁.抑制動態測試隨機誤差的移動自適應濾波平均方法[C].全國現代誤差理論及應用學術交流研討會論文集,1997.

[11] 張賢達.現代信號處理[M].北京:清華大學出版社,1995.

Some Key Points of Measurement Error Analysis and Data Processing Series Papers (5)——Moving Average Data Processing

Lin Honghua

(Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Moving average data processing has a wide range of applications. It can be used not only as a general method of data processing of slowly varying three non properties, but also as a data processing method of constant measurement. This paper expounds the basic idea of moving average algorithm and introduces the processing method of moving average algorithm for dynamic test and constant measurement.

data processing; error analysis; moving average algorithm

林洪樺，男，1932年生，教授，主要研究方向：測試誤差分析及數據處理。

TP274

A

1674-2605(2020)05-0001-06

10.3969/j.issn.1674-2605.2020.05.001