以探索性數學實驗為抓手培養學生創新能力

黃 平， 趙澤藩， 楊啟貴， 劉小蘭

（華南理工大學數學學院，廣州510640）

0 引 言

習近平總書記強調：“創新是引領發展的第一動力”。“抓住了創新，就抓住了牽動經濟社會發展全局的牛鼻子”，培養創新性人才是高等教育的當務之急。數學作為現代理性文化的核心，是科技創新必不可少的一種資源，是一種普遍適用并賦予人以能力的技術，高技術本質上是一種數學技術正在成為共識［1-7］。因此，如何更好地發揮數學在創新人才培養中的驅動作用意義重大。實踐表明，以探索性數學實驗為抓手，培養學生創新能力是一種有效手段。

1 探索性實驗的內涵及其意義

探索性實驗是人們從事開創性研究工作時，為探尋未知事物或現象的性質以及規律所進行的實踐活動。探索性實驗作為實驗課的組成部分，是讓學生接受一個開放性的問題、自己不斷探索解決方案的一類項目，其難度要高于常規的驗證性、綜合性與設計性實驗，并具有如下一些特征：①對未知事物進行的探索實踐，其結果具有更大的不確定性，不能要求一定成功，實驗過程允許失敗；②針對開放性問題，由學生自行設計實驗方案，探尋未知結果，適用于對問題感興趣的同學分小組開展；③實驗內容大多來源于教師的科研領域（或其他應用領域），能夠反映最新科研成果，緊跟學科發展前沿，并引導教師將科研成果逐步轉化為實驗教學內容。

就其意義而言，至少包括如下幾個方面：①探索性實驗不同于其他類實驗教學，更加具有個性化，開放性等特點。在實驗過程中，學生可以充分發揮自己的主觀能動性，大膽設想，彰顯個性發展，使自己在知識、能力上得到充分展現；②有助于培養學生的科研和自學能力。在探索性實驗中，學生可以按自己擬定的方案開展實驗，這對提高實驗的挑戰性、協作性和興趣有極大的幫助。并且探索性實驗過程需要接觸更多新知識和新技術，培養學生自學能力。實驗結果的多樣性也能激發學生的好奇心和求知欲，促進學生持續研究，這種模擬科學研究的實驗方法可以為今后的科研工作打下扎實基礎；③教師的跟蹤指導有利于將教師的科研經驗和工作方法融入實驗過程中，潛移默化對學生產生影響，促進學生全面發展。此外，探索性實驗對培養學生的觀察能力、思維能力、探索精神以及良好的學習方法均具有重要意義［8-11］。

2 探索性數學實驗開設的基本要求與實施過程

基于數學與應用數學問題研究特點與探索性實驗基本特征，提出了如下開設要求［12-16］：①選題力求新穎性、先進性與應用性，能夠反映學科研究新方向和本質特點、激發學生學習興趣；②查閱相關文獻資料，弄清問題的來龍去脈及研究的主要方法；③在文獻閱讀的基礎上，識別要研究的具體問題，獲取有關數據，并初步擬定實驗方案；④根據問題特點、編寫實驗程序，開展實驗觀察，取得實驗結果，繪制相關圖表；⑤分析實驗結果，提煉創新性成果，寫出總結報告；⑥開展討論、交流經驗，分享實驗成果。

具體實施過程如下：①征集問題。向全院教師征集探索性實驗問題，并提供問題研究背景、意義及重要參考文獻；②公布選題、實驗要求及評價指標。由學生自由組隊（每隊3 人）、選擇感興趣的問題并與出題教師建立聯系（如QQ 群、微信群等）；③查閱相關文獻資料，擬定實驗方案并與教師討論、修改、確定；④進行多次反復實驗、討論、對比分析實驗結果，實驗圖形力求完美，取得創新性成果；⑤撰寫實驗報告：要求圖、文、程序并茂，突出新發現、新設計、新應用、新認識；⑥經驗交流與集中討論。組織全班同學公開報告實驗過程、學習方法、實驗結果及相關問題，分享實驗成果與體會。

3 實驗案例

通過公開向全院教師征集探索性實驗問題的方法，共征集到廣義b-方程的孤立波分支、分形設計與應用、神經網絡結構與學習算法、廣義-Lü 系統混沌吸引子及混沌加密等13 個問題，基于學生自主選擇進行組隊，組成15 個小組開展探索性實驗，并以項目形式加以支持和推進。以下針對廣義-Lü 系統混沌問題為例介紹。

3.1 廣義-Lü系統混沌吸引子及混沌特性

混沌是近代科學的一個分支，主要研究非線性動力系統某種復雜的動力學特性，也是復雜性科學新思想的一個典型代表。從第一個混沌系統Lorenz 系統發現以來，混沌學獲得了長足發展，進一步發現了Chen 系統和Lü 系統等，而且證明了Chen 系統是Lorenz系統的對偶系統，Lü 系統則刻畫了它們之間的過渡，其極度復雜性和豐富性超乎人們的想象［17-18］。以廣義-Lü系統進行探索性實驗，有助于激發學生學習興趣、開拓視野、培養學生創新思維。所研究的廣義-Lü系統為：

該系統與Lü系統有相近的形式，但多了一個二次項x2，具有更復雜的動力學特性。

3.1.1 系統平衡點

%利用Matlab符號運算求平衡點：

clear all

syms x y z a b c；

［x，y，z］＝solve（a*（x -y）＝＝0，x*z -c*y ＝

＝0，x＾2 ＋x*y-b*z ＝＝0，x，y，z）

求得3 個平衡點為：

在非零平衡點s1、s2處的雅可比矩陣：

3.1.2 系統的相圖與奇異吸引子發現

利用Matlab 編程繪制系統的三維、二維相圖及狀態隨時間的變化曲線，改變參數a，b，c的值，觀察其相圖變化，當a ＝20，b ＝8，c ＝32 時，出現如下奇異引子（見圖1 ～4）。

圖1 系統xyz三維吸引子

圖2 系統xy二維吸引子

圖3 系統xz二維吸引子

圖4 x隨時間t的變化

程序如下：

clear all

clc

a ＝20；b ＝8；c ＝32；

flu ＝＠（t，x）（［a*（x（1）-x（2））；-c*x（2）＋x（1）*

x（3）；x（1）＾2 ＋x（1）*x（2）-b*x（3）］）；x0 ＝［10，

10，10］；

［t，x］＝ode45（flu，［0，30］，x0）；figure

plot（x（：，1），x（：，2））；xlabel（＇x＇）；

ylabel（＇y＇）；figure

plot（x（：，1），x（：，3））；xlabel（＇x＇）；

ylabel（＇z＇）；figure

plot（x（：，2），x（：，3））；xlabel（＇y＇）；

ylabel（＇z＇）；figure

patch（x（：，1），x（：，2），x（：，3），x（：，3），＇edgecolor＇，＇flat＇，＇

facecolor＇，＇none＇）；

view（3）；xlabel（＇x＇）；ylabel（＇y＇）；zlabel（＇z＇）；

figure

plot（t，x（：，1））；

xlabel（＇t＇）；

ylabel（＇x＇）；

利用Matlab計算對應s1，s2的特征值如下：

clear all

a ＝20；b ＝8；c ＝32；J ＝［a，-a，0；c，-c，sqrt（b*c／2）；

3*sqrt（b*c／2），sqrt（b*c／2），-b］；［V，D］＝

eig（J）；

得λ1＝-31.402 9，λ2，3＝5.701 5 ±17.134 1i。

注意到特征值λ2，3具有大的正實部，意味著，非零平衡點在吸引平面方向上對狀態具有大的排斥力，致使螺旋發散的運動步伐加大，使系統在一個運動周期內發生多次模態轉換，并在不同模態之間來回跳轉，產生圖1 ～3 中所展示的奇異吸引子。實驗觀察表明雅可比矩陣存在較大的正實部特征值是非線性系統出現混沌的內在條件之一。

3.1.3 李雅普諾夫指數計算

李雅普諾夫指數（lyapunov exponents）是用于識別混沌運動的主要數值特征之一。用定義法進行廣義Lü系統的李雅普諾夫指數計算實驗（見圖5）。

圖5 3個Lyapunov指數隨演化次數的變化

程序如下：

%廣義Lü系統及其偏差向量

function dx ＝flf（t，x）

globala；globalb；global c；

dx ＝zeros（12，1）；

%Y的3個列向量為相互正交的單位向量

Y ＝［x（4），x（7），x（10）；x（5），x（8），x（11）；x（6），x（9），x（12）］；

%原系統方程

dx（1）＝a*（x（1）-x（2））；

dx（2）＝x（1）*x（3）-c*x（2）；

dx（3）＝x（1）＾2 ＋x（1）*x（2）-b*x（3）；

（4）%jacobi矩陣

J ＝［a，- a，0；x（3），- c，x（1）；2*x（1）＋x（2），x（1），-b］；

dx（4：12）＝J*Y；%偏差向量

end

% Lyapunov指數計算程序

function Lyapunov

globala；globalb；global c；

b ＝8；c ＝32；a ＝20；

y ＝［1；1；1；1；0；0；0；1；0；0；0；1］；

tstart ＝0；%計算公式中的T

tstep ＝1e-3；%步長

wholetimes ＝1e3；%循環總次數

steps ＝10；%每次演化的步數

iteratetimes ＝wholetimes／steps；%演化次數

mod ＝［0，0，0］；lp ＝［0，0，0］；

%3個Lyapunov指數的初值

Lyapunov1 ＝zeros（iteratetimes，1）；

Lyapunov2 ＝zeros（iteratetimes，1）；

Lyapunov3 ＝zeros（iteratetimes，1）；

fori ＝1：iteratetimestspan ＝tstart：tstep：（tstart ＋tstep *steps）；

［t，Y］＝ode45（＠flf，tspan，y）；

y ＝Y（size（Y，1），：）；

tstart ＝tstart ＋tstep*steps；

y0 ＝［y（4），y（7），y（10）；y（5），y（8），y（11）；y（6），y（9），y（12）］；

y0 ＝GS（y0）；%施密特正交化

for j ＝1：3

mod（j）＝norm（y0（：，j））；

y0（：，j）＝y0（：，j）／mod（j）；%標準化

end

lp ＝lp ＋log（abs（mod））；%計算Lyapunov指數

Lyapunov1（i）＝lp（1）／（tstart）；

Lyapunov2（i）＝lp（2）／（tstart）；Lyapunov3（i）＝lp（3）／（tstart）；

y（4：12）＝y0＇；

end

i ＝1：iteratetimes；

%求出最大的3個指數

max（Lyapunov1）；max（Lyapunov2）；max（Lyapunov3）；

plot（i，Lyapunov1，i，Lyapunov2，i，Lyapunov3）；

%畫出指數隨演化次數的變化圖

xlabel（＇a ＝20 b ＝8 c ＝32＇），

ylabel（＇lyapunov exponents＇）

title（＇Lyapunov exponents of廣義Lü系統’）；grid on

end

從圖5 中可見，3 個指數中有1 個為正、2 個為負，表明系統出現混沌吸引子而非超混沌吸引子。

3.2 混沌加密

混沌所固有的隨機性、遍歷性、確定性和對初始條件的敏感性等基本特征為密碼學領域設計簡單、高效、安全的加密算法提供了新途徑。將新系統和Logistic系統的混沌、分岔特性有機結合，分別用于加密設計的置亂與擴散過程，其基本流程見圖6。構造新的加密算法并對加密性能進行實驗分析，以彩色圖像加密為例，結果如圖7 所示。

圖6 置亂與擴散基本流程

圖7 實驗仿真結果

3.2.1 關鍵代碼

%1加密程序

clear all；clc；

［filename，pathname，filter］＝uigetfile（＇*.*＇，＇選擇圖像＇）；

if filter ＝＝0

return；end

img ＝fullfile（pathname，filename）；

A ＝imread（img）；subplot（1，3，1）；imshow（A）；

title（＇原圖像＇）；%導入原圖像

n ＝size（A，1）*size（A，2）；

%設置加密參數

%flu混沌系統參數與初值

a ＝20；b ＝8；c ＝32；h ＝0.001；

z0 ＝［10.001，10.002，10.003］；

x0 ＝0.23；u ＝3.97；%Logistic參數

Z ＝flu（z0，a，b，c，h，n）；%flu系統迭代生成混沌序列

Z ＝1000*Z-round（1000*Z）；%對混沌序列預處理

［Z1，sx］＝sort（Z，2）；%排序并輸出索引sx

A1 ＝reshape（A，1，［］，3）；

for j ＝1：3

%置亂加密：利用索引sx

B1（：，：，j）＝A1（1，sx（j，：），j）；

end

x ＝logistic1（n，u，x0）；% Logistic迭代序列

%擴散加密：按位異或

C ＝zeros（1，n，3）；

for i ＝1：n

for j ＝1：3

C（1，i，j）＝bitxor（x（i），B1（1，i，j））；

end

end

C ＝reshape（C，size（A，1），size（A，2），3）；

C ＝uint8（C）；subplot（1，3，2）；imshow（C）；

title（＇加密圖像＇）；

imwrite（C，＇彩色加密圖.bmp＇，＇bmp＇）；

%2解密程序

I ＝imread（＇彩色加密圖.bmp＇）；

n ＝size（I，1）*size（I，2）；

xx0 ＝0.23；u ＝3.97；

%解密端logistic迭代

xx ＝logistic1（n，u，xx0）；

xx ＝uint8（xx）；II ＝reshape（I，1，n，3）；

I1 ＝zeros（1，n，3）；

fori ＝1：n

for j ＝1：3

%反擴散解密：按位異或

I1（1，i，j）＝bitxor（xx（i），II（1，i，j））；

end

end

%解密端flu系統迭代

ZZ ＝flu（z0，a，b，c，h，n）；

ZZ ＝1000*ZZ-round（1000*ZZ）；

［ZZ1，sx］＝sort（ZZ，2）；

for j ＝1：3

A2（1，sx（j，：），j）＝I1（1，1：n，j）；%反置亂解密

end

B2 ＝reshape（A2，size（I，1），size（I，2），3）；

B2 ＝uint8（B2）；subplot（1，3，3）；imshow（B2）；

title（＇解密圖像＇）；

imwrite（B2，＇彩色解密圖.bmp＇，＇bmp＇）；

3.2.2 性能測試分析

（1）密鑰空間大小。以上混沌加密算法主要包括置亂與擴散兩個環節：其中置亂環節，將廣義Lü 系統的3 個參數a，b，c、步長h及初值z0作為密鑰；擴散環節，將logistic系統的參數u 及初值x0作為密鑰，密鑰維數為9，且各維相互獨立，密鑰空間足夠大。

（2）密鑰的敏感性測試。密鑰敏感性測試結果表明，僅給予某一初值z0或x0微小擾動（10-12），足以使解密結果面目全非，完全無法辨識（見圖8）。

圖8 兩個不同初值小擾動的解密結果

（3）直方圖測試。直方圖測試表明，加密后圖像三基色直方圖呈均勻分布，對于統計攻擊具有很強的抵御能力（見圖9）。

圖9 圖像加密前后直方圖比較

（4）相鄰像素的相關性測試。由表1 ～3 可見，加密后圖像三基色分量在垂直、水平、對角線方向上相鄰像素的相關系數均接近于0，遠遠小于原圖像對應相關系數，說明加密算法具有良好的置亂效果，有效地破壞了原圖像的統計特征。

表1 R分量相鄰像素相關性

表2 G分量相鄰像素相關性

表3 B分量相鄰像素相關性

4 實踐效果

探索性實驗是創新能力培養的有效途徑，自2014年以來，我校將探索性實驗作為培養“三創型”人才的重要舉措。每年組織專家從眾多最新實驗項目中遴選出若干優質項目，進行立項管理，給予適當的政策與經費支持，引導教師將科研成果向實驗教學內容轉化，進一步促進實踐教學改革，達到了預期效果［19］。學生的學習能力（尤其是自學能力）與科研實踐能力、問題思考能力與探索精神、協作意識與行動實現能力、系統學習與問題發現能力、大膽設想與實驗求證能力、綜合表達與概括陳述能力均得到較大程度的提高。

正如許多同學在實驗報告及其他場合中所言：“在這個探索的過程中我覺得自己對‘科創’兩個字漸漸地不再感到陌生遙遠，掌握研究領域的基本知識，才能運用自己的思維實現創新”。“用問題去驅動自己探索和學習始終是一種高效可行的學習模式，一點一滴的積累，終究可以匯聚成淵”。“探索性實驗無疑是對我們學習能力的最大考驗和培養，整個心路歷程是很波動的，有過抗拒、挫敗、崩潰，也有想到放棄，但當因為克服了種種困難，最終取得了好的結果，這對我們的學習能力是一種極大的提升與肯定”。“探索性實驗充分開發了自己的自學能力和鉆研精神，非常贊同這種學習模式”。“探索性實驗中感觸最深的是所做出的混沌圖形，將它們打包發到朋友圈，結果所有人都對混沌圖像十分感興趣，被它的絢爛美麗所吸引，線條變幻莫測，盡顯混亂而又不失層次的美感，非常欣慰親手做出的混沌圖像能得到大家的認可”。“探索性實驗使我體會到小組共同攻克難題的樂趣，也讓我明白一個看起來很難的問題，只要肯去揭開它的面紗，一切都會變得容易起來”。

探索性實驗不僅培養了學生多方面能力，受到學生的好評，而且也由此收獲了不少可喜成果和獎項。如部分學生的實驗成果以論文形式發表在IEEE、SCI和核心期刊上；項目“廣義b-方程的孤立波分支”獲大學生課外學術科技作品廣東省特等獎等。正因為學校一貫重視學生實踐能力培養，發揮探索性實驗在創新能力培養中的關鍵作用，促進實踐教學改革，教學質量得到穩步提升，畢業生深受社會的廣泛歡迎。

5 結 語

探索性實驗是創新能力培養的重要抓手，也是發揮數學在創新人才培養中驅動作用的一種很好方式，對于培養學生的學習、思維、協作與行動等多方面能力具有獨到作用。在實施過程中應更加重視選題、組隊、重要文獻和適當引導，讓學生逐漸進入科研角色，充分發揮他們的積極性和創造性，鼓勵學生敢于挑戰困難，敢想敢試，不僅有新想法，而且要做出結果來，做得好，讓青春在探索過程中經受磨練、得到綻放，成為人生中最難忘的記憶。