全概率公式教學探究

王江

摘?要：全概率公式具有廣泛的應用和豐富的內涵.通過兩個問題，從條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性入手，導出全概率公式的定義，挖掘全概率公式的內涵，找到應用全概率公式的關鍵所在是完備事件組，化解全概率公式的教學難點.

關鍵詞：全概率公式;完備事件組

概率論是高職院校公共基礎課《高等數學》中重要的一章，也是與生活最為密切相關的.全概率公式應該是從高中到大學在概率論中遇到的第一個難點和重點，因為全概率公式是以條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性為基礎建立的，同時又是貝葉斯公式的基礎.教材所給的定義和公式相對簡單，一目了然，難在如何應用全概率公式解決實際問題，因此，在全概率公式的教學中，應重點引導學生去理解全概率公式的內涵.

一、實例引入，提出問題

新知識的產生必定以實際問題為背景，以已有知識為基礎，全概率的學習可通過以下兩個問題為出發點.

問題1?一個盒子中裝有10個球，其中有4個白球，6個黑球，采取不放回抽樣，每次取一個，求第二次取到白球的概率.

問題2?一個盒子中裝有10個球，其中有3個白球，2個黑球，5個紅球，采取不放回抽樣，每次取一個，求第二次取到白球的概率.

說明：這兩個問題在有相似性，在教學中應該預留足夠的時間讓學生分組討論，在討論過程中教師應幫助學生回憶條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性相關知識.實際上，問題1中設 “第一次取到白球”， “第二次取到白球”，則;問題2中設分別為第一次取到白球、黑球、紅球， “第二次取到白球”，則.

二、歸納新知，剖析內涵

通過問題1、2歸納總結，這兩個問題的共性是將所求事件轉化成兩個事件的乘積，兩個事件的乘積又可轉化成若干個互斥事件的和，于是所求事件的概率可以轉化成若干個互斥事件的概率之和，再利用事件乘法的概率公式得到全概率公式.

導出全概率公式之后，討論全概率公式的內涵，即：事件發生的概率不易直接求得，但積事件的概率可通過乘法公式易求得，即.由此可知利用全概率公式解決實際問題，關鍵在于找到樣本空間的一個完備事件組，把一個復雜隨機事件分解成若干個互斥的簡單隨機事件，形成一個隨機事件組，然后利用互斥隨機事件概率的可加性，最后利用隨機事件的乘法公式求出各部分相交隨機事件的概率，進而解決整個問題.[2]全概率公式體現了一個化整為零的重要數學思想，和定積分的微元法有異曲同工之妙，教學中應該培養學生這種思維模式.

為了更加直觀的理解全概率公式，在教學中可充分利用Venn圖進行解釋，事件與樣本空間的一個劃分的每一部分都有交集，直接求事件的概率沒有頭緒，通過求積事件概率的和，求得事件的概率，如果是為“原因”，那么就是“結果”，每個原因都可能導致發生，故發生的概率是各原因引起發生的概率的總和.[3]

三、強化訓練，知識內化

全概率公式講解透徹之后，必要的例子能強化學生對全概率公式的理解，完成知識的建構和內化.

四、課堂總結、完善認知

直接應用加法公式與乘法公式可以計算一些較簡單事件的概率.但在計算一些復雜事件的概率時，往往將其分解成若干個互不相容的比較簡單的事件的和（即劃分完備事件組），然后分別計算出這些簡單事件的概率，最后根據概率的可加性求得復雜事件的概率，這就是全概率公式.在教學中要注重對概率基本理論的學習，培養學生利用概率方法建立概率模型，增強學生的創新能力和應用能力，使之符合高職院校培養應用型人才的目的.

參考文獻

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2008：17-18.

[2]王鵬飛.全概率公式的教學研究[J].忻州師范學院學報，2018，34（2）：11-13.

[3]李春娥，張曉，徐翔燕.全概率公式的教學研究[J].高教視野，2020，13-14.