空中發射運載火箭彈道優化設計

李慶龍，鄭亞茹，徐 明

(北京航空航天大學宇航學院，北京 100191)

0 引言

空中發射是指由載機將運載火箭帶到空中某一高度后進行發射。相比于地面發射方式，空中發射運載火箭有如下優勢：1) 發射場地不受限制，全球任意位置都可發射；2) 入軌傾角無約束，發射場地的自由選擇使得空中發射運載火箭可以發射任意傾角的載荷；3) 發射準備時間短，對地面基礎設施依賴小，發射快速、靈活；4) 有效載荷比更高，由于空中發射帶來的高度、速度及火箭氣動升力的優勢，相同總質量的火箭，空中發射運載火箭擁有更大的有效載荷[1]。鑒于以上原因，空中發射運載火箭受到廣泛關注，美、俄等國對空中發射技術進行過大量的研究與工程實踐，代表性的有美國“飛馬座”(Pegasus)火箭、“空射號”(Airlaunch)火箭以及俄羅斯“飛行號”火箭[2]。目前投入商業運營的只有“飛馬座”火箭，成功率高(發射42次，成功40次)。

空射運載火箭與傳統地面發射運載火箭的區別是：1) 空中發射運載火箭攜帶機翼，提供較大氣動升力；2) 空中發射運載火箭水平投放發射。空射運載火箭的這些優勢也導致了其彈道設計的復雜性，形成多約束、多變量的非線性優化問題。針對彈道設計中多約束、多目標的特點，多種優化方法被有效應用于彈道設計中，其中既包括傳統的共軛梯度算法、動態規劃法、SQP法等方法，也包括遺傳算法(GA)、蟻群優化算法、粒子群算法(PSO)等智能優化算法[3-7]。智能優化算法具有全局最優的特點，但是其收斂速度慢、精度較低，而傳統非線性優化算法具有收斂速度快、局部尋優能力強的特點，但對優化變量初值的依賴性較強，一般需要預先根據經驗或理論公式提供合理的設計變量初始值，而當前問題動力學公式復雜，無法提供近似解析解，同時約束復雜，依賴經驗給出初值極難。因此，本文以飛馬座空中發射運載火箭為研究對象，建立其質心動力學模型及氣動力計算模型，以此為基礎，設計了有翼空射火箭水平投放發射方式的彈道分級優化方法，即以遺傳算法全局尋優篩選合適的設計變量初值，再運用起作用集法和內點法在該初值附近尋優，從而快速獲得滿足飛行約束的具有最大有效載荷的彈道參數，并以“飛馬座”火箭數據為參照，驗證了該分級優化算法的可行性。

1 空中發射運載火箭的動力學模型

1.1 空中發射運載火箭的質心動力學模型

建立發射坐標系下的火箭質心運動方程

mar=P+A+mg-mae-mac

(1)

式中，ar為火箭的質心加速度，P為發動機推力，A為氣動力，g為引力加速度，ae為牽連加速度，ac為科式加速度。在控制系統理想無慣性的假設下，忽略發動機以外的因素對推力和質量流量的影響，可進一步得到式(1)在發射坐標系下的投影形式

(2)

式中，Llb為箭體坐標系到發射坐標系的轉換矩陣，Lba為氣流坐標系到箭體坐標系的轉換矩陣，{g}l和{ωe}l分別為引力加速度和地球自轉角速度在發射坐標系下的投影。運載火箭質心動力學模型中涉及的其他定義及參數見參考文獻[8]。

1.2 空中發射運載火箭的氣動力模型

如引言所述，就運載能力而言，空中發射運載火箭利用了兩方面的優勢：

1)載機平臺提供的發射初始速度(Ma=0.82)以及高度優勢(海拔11 000 m)；

2)運載火箭一級的翼型提供額外的氣動升力，可以快速抬升高度。

因此，建立合理的空射運載火箭氣動力模型是必要的。本文基于飛馬座火箭翼型(如圖1所示)，建立空中發射運載火箭的氣動力計算模型。

圖1 飛馬座運載火箭氣動外形[1]Fig.1 Aerodynamic configuration of the Pegasus rocket[1]

基于運載火箭氣流坐標系建立氣動力模型

(3)

式中，ρ為當地大氣密度，v為飛行器速度，Cl為升力系數，Cd為阻力系數，S為飛行器外露翼的面積，α為飛行器攻角；Cl-α，Cd均為速度(馬赫數Ma)的函數，文中參考了文獻[9]中飛馬座的氣動實驗數據。

1.3 空中發射運載火箭的飛行控制模型

對于彈道優化設計而言，選取合理的設計變量來描述優化問題是關鍵點。因此，作為分級優化方法的補充，需要根據空中發射運載火箭的飛行特點，建立恰當的飛行控制模型，準確描述整個飛行過程，支撐后續彈道優化設計。空中發射運載火箭一般由飛機載至指定空域，達到預定高度和速度后水平投放。投放后為保證飛機的飛行安全，需使用空氣舵進行姿態控制，保持要求姿態飛行一定時間。此后一級發動機點火，火箭迅速拉起，利用發動機推力和氣動升力爬高，在一級發動機熄火前已基本飛出稠密大氣層。一級發動機熄火后,火箭一、二級分離，二級發動機點火，繼續爬高加速，飛出大氣層后拋掉衛星整流罩。由于固體發動機燃燒時間短，火箭二級熄火時一般達不到衛星要求的軌道高度，因此需要在二級熄火后安排一個無動力滑行段，讓火箭爬至要求高度，接著三級發動機點火，將衛星加速至預定速度，送入預定軌道[10]。

因此，將空中發射運載火箭俯仰程序角φ(t)分為：1)大攻角爬升段；2)大攻角保持段；3)降低攻角；4)小攻角平飛段；5)改平攻角；6)零攻角飛行段；7)真空第一段；8)滑行段；9)真空第二段，共9段進行設計[11]。

其中，一級發動機工作段由1)～6)組成，具體來講，該段飛行軌道一般分為4段：①飛機投放后姿態保持段:此段火箭保持要求姿態飛行，以保證投放后飛行安全，此段火箭飛行時間約5 s；②發動機點火后大攻角爬升段，此段火箭飛行速度還不太大，可采用較大攻角α1爬升，以迅速爬高，減少后面飛行中火箭所受到的空氣阻力；③保持升力飛行段，此段火箭已獲得一定飛行速度和高度，可保持一定攻角α2，調整至最佳升阻比飛行，繼續爬高和加速；④零攻角飛行段，此段火箭已獲得較大的飛行速度和高度，發動機接近熄火，為改善火箭一、二級分離的條件，火箭保持零攻角飛行[10]。該階段攻角變化規律如圖2所示，其數學表達式如式(4)所述。

圖2 一級飛行段攻角變化規律Fig.2 Change of angle of attack of the first stage

(4)

火箭的俯仰程序角滿足

φ(t)=

(5)

2 空中發射運載火箭的彈道優化設計

空中發射運載火箭彈道優化問題的數學描述為

(6)

式中，x=[x1,x2,…,xn]T為優化設計問題的設計變量；gi(x)為約束條件；f(x)為優化設計問題的目標函數。以下針對此一體化設計問題中不同要素進行具體說明。

2.1 目標函數

一般而言，運載火箭在優化設計過程中，主要有如下性能指標要求：1)主動段結束時位置、速度；2)最大有效載荷；3) 最小成本；4)最小起飛總質量。當確定火箭型號后，其起飛總質量范圍已限定；此時，對于給定目標軌道的發射任務，設計具有最大有效載荷的彈道可以提高收益比。因此，對于空中發射運載火箭的彈道優化問題，目標函數設定為：給定火箭型號，即確定火箭起飛推重比范圍、發動機型號與目標軌道的情形下，使得入軌時的有效載荷最大。

2.2 約束條件

此問題中的約束條件共有6個，同時包括不等式約束和等式約束，分別是：1)最大飛行動壓qopt≤qmax；2)最大軸向過載overloadopt≤overloadmax；3)大攻角爬行段的最大攻角；4)入軌點位置火箭的軌道高度hopt=hset；5)入軌點位置火箭的彈道傾角θopt=θset；6)入軌點位置密切軌道的軌道傾角iopt=iset。

2.3 設計變量

3 空中發射運載火箭的彈道優化設計方法及仿真校驗

3.1 彈道優化設計方法及流程

空中發射運載火箭彈道優化問題屬于多設計變量、多約束的非線性優化問題，同時目標函數的解析表達式形式較為復雜。而傳統的非線性全局優化算法，如起作用集法、內點法等具有局部收斂速度快、精度高的優勢，但對優化初值依賴性較強，需要預先找到較為準確的可行解，否則易陷入局部最優或是無法求解；而智能優化算法，如遺傳算法可以實現全局尋優，但是由于遺傳算法生物進化的搜索策略，其計算過程耗時長，求解精度粗糙。針對以上特點，制定了同時包含遺傳算法(GA)、起作用集算法(ASM)和內點法的分級優化流程。其中，通過遺傳算法全局尋優，篩選優化問題初始設計變量，繼而利用起作用集算法和內點法獲取初始優化變量的局部區域內的最優解，最終得到滿足飛行過程約束和入軌條件的有效載荷最大的彈道。分級優化流程如圖3所示,在單次迭代求解過程中，設置前后兩次迭代最大有效載荷之差作為結果是否最優的判斷準則；同時，對每種優化方法設置最大迭代次數上限，若超出此限制，使用下一種優化算法求解。此外，當內點法未能取得最優解但比起作用集法結果更優時，以本次優化結果作為起作用集法初始設計變量，再次尋優，即實現起作用集法和內點法的交叉尋優，獲得更好的優化結果。

(a) 分級優化設計流程

(b) 單次迭代彈道求解流程圖3 空中發射運載火箭彈道優化設計流程Fig.3 The optimization design flow of air-launched rocket

3.2 仿真校驗

根據文中描述的空中發射運載火箭彈道優化設計模型，以“飛馬座”(Pegasus)火箭為藍本進行優化。Pegasus火箭基本參數見表1和表2。發射任務的目標軌道為高度600 km，軌道傾角為45°的近圓軌道，軌道的升交點赤經和近地點幅角由發射時間確定，發射時間選擇為2019年9月1日4時(UT)，投放位置高度11 km，緯度40°，投放速度Ma=0.82，采用滑行入軌方式，目標軌道參數見表3。優化過程中，首先使用遺傳算法對彈道可行解全局尋優，獲得精度較差的全局最優解，以遺傳算法求得的最優設計變量作為起作用集法和內點法的設計變量初值，進行二次局部尋優，從而獲得滿足入軌精度要求的彈道最優解。

表1 Pegasus運載火箭基本參數

表2 Pegasus火箭發動機參數

定義入軌精度tol表達式

(7)

式中，a為實際入軌的半長軸，a0為目標軌道半長軸；i為實際入軌的軌道傾角，i0為目標軌道傾角；e為實際入軌的軌道偏心率，e0為目標軌道偏心率。

求解結果表明，遺傳算法全局尋優得到的彈道入軌參數如表3所示，入軌精度tolga為0.4193，入軌半長軸誤差約為1 km，而軌道偏心率相差0.4191，需要對此彈道再次尋優，使用起作用集方法和內點法二次尋優后，入軌精度達到tol=3.131×10-9，滿足入軌精度要求。此外，遺傳算法計算耗時約為40 min，而起作用集法和內點法總耗時約為38 s。以上結果驗證了使用遺傳算法、起作用集法和內點法的分級優化策略可以有效提高彈道求解的精度和速度。空中發射火箭彈道曲線及最優彈彈道參數見圖4、表4。

表3 軌道參數

表4 最優彈道參數

由圖4高度曲線(a)和速度曲線(b)可知，采用滑行入軌方式的空中發射運載火箭彈道曲線符合航天器飛行的一般規律，入軌精度3.0131×10-9，符合入軌要求。由圖4動壓曲線(c)和軸向過載曲線(d)可知，在飛行過程中，最大動壓38.96 kPa，滿足設計最大動壓67.9 kPa的約束，最大軸向過載9.94g，滿足飛行過程約束。由圖4(g)攻角曲線可知，火箭以最大攻角17.89°快速爬升16 s后，以5.89°攻角的最佳升阻比形式飛行31 s，隨后保持零攻角飛行，最大限度地利用了空射火箭翼面提供的升力。由圖4(e)彈道傾角曲線和(f)俯仰程序角曲線可知，火箭滑行結束時，彈道為負傾角;此時，實際軌道為橢圓形，為了進入最終圓軌道，按照圖4(f)所示俯仰角線性控制策略圓化軌道，抬升彈道傾角，最終獲得符合入軌要求的彈道。

(a)飛行高度曲線

(b)速度曲線

(c)動壓曲線

(d)軸向過載曲線

(e)彈道傾角曲線

(f)俯仰程序角曲線

(g)攻角曲線圖4 空中發射運載火箭彈道曲線Fig.4 Time history of ballistic of air-launched rocket

圖5為在以遺傳算法給出的最優彈道參數作為起作用集法/內點法設計變量初值的迭代尋優過程，圖中每個點均為滿足入軌約束及飛行過程約束的可行解，經過20次迭代尋優，最優解即最大有效載荷質量穩定在317 kg附近，獲得給定空射火箭及入軌條件下的最大有效載荷對應的彈道參數。

圖6給出了從北緯40°發射的空射運載火箭對不同軌道高度的圓軌道運載能力。圖7分別給出了在赤道附近(北緯8°)對15°傾角以及中緯度發射位置(北緯40°)對大傾角橢圓軌道空中發射運載火箭的運載能力，其中，橢圓軌道近地點均為180 km。結果表明，本文給出的分級優化方法適應性強，可優化的目標軌道范圍廣闊，具備對任意傾角、任意發射位置、中低圓軌道或橢圓軌道(包括太陽同步軌道)的彈道優化設計能力。

圖5 起作用集/內點法迭代尋優過程Fig.5 The optimization process of the active-set method/interior-point method

圖6 LEO軌道和SSO軌道運載能力 (發射點緯度：北緯40°)Fig.6 The capacity to LEO and SSO (Latitude of launch point: 40°N)

圖7 橢圓軌道運載能力(近地點高度180 km)Fig.7 The capacity to elliptical orbit (The altitude of perigee: 180 km)

4 結論

針對空中發射運載火箭的彈道設計問題，本文給出了詳細的空中發射運載火箭的動力學模型及彈道控制模型，并建立了基于遺傳算法全局篩選初值，起作用集方法和內點法二次局部尋優的分級優化方法，該方法優化求解速度快，適用性強，具備任意發射位置、任意傾角的圓軌道及橢圓軌道的彈道設計能力，能夠最大程度地挖掘空中發射運載火箭的運載能力，為空中發射運載火箭彈道優化設計提供數據支持。同時，基于“飛馬座”空中發射運載火箭的仿真實例驗證了本文提出的彈道優化設計模型及分級優化算法的合理性與準確性。