角動(dòng)量守恒定律滿足力學(xué)相對(duì)性原理

李學(xué)生

【摘? 要】分析了經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律不具有伽利略變換的不變性，重新表述了角動(dòng)量守恒定律，使其滿足力學(xué)相對(duì)性原理。

【關(guān)鍵詞】矢量法;角動(dòng)量守恒定律;角動(dòng)量定理;力學(xué)相對(duì)性原理

1.經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律不滿足伽利略變換

例1如圖，有一質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），在輕繩（忽略質(zhì)量）的牽制下，在光滑的地面上繞O點(diǎn)做勻速（速率為v）圓周運(yùn)動(dòng)，如果忽略地面和空氣摩擦阻力，

問(wèn)：小球在地面系和沿x 軸勻速運(yùn)動(dòng)的小車（設(shè)小車的速度為u）坐標(biāo)系（O1-x1y1），角動(dòng)量守恒定律是否都成立？

解析：地球質(zhì)量視為充分大，故穩(wěn)定地保持為慣性系。

（1）在地面系——設(shè)初相為0，v=ωR，x=Rcosωt，y= R sinωt;x'=-Rωsinωt，y'= Rωcosωt;

fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。

=0，質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量大小為mR2ω，方向不變，角動(dòng)量守恒定律成立。

（2）小車系。將運(yùn)動(dòng)方程作伽利略變換，寫(xiě)出小車系運(yùn)動(dòng)方程：

x1=x-ut=Rcosωt-ut，y1= y=R sinωt;x'1= x'-u=-Rωsinωt-u，y'1= y'= Rωcosωt;

p=mv=（-mRωsinωt-mu，mRωcosωt，0），r=（ Rcosωt-ut，R sinωt，0），

fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。

L1=r1p1=（0，0，mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt），L1'=（0，0，utmRω2sinωt），

M1= r1f=（0，0，utmRω2sinωt）。

根據(jù)上面的計(jì)算可以得出，角動(dòng)量、合力矩不具有伽利略變換的不變性，經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律也不具有伽利略變換的不變性，即不滿足力學(xué)相對(duì)性原理，文獻(xiàn)[1～4]也說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題。伽利略相對(duì)性原理僅指經(jīng)典力學(xué)定律在任何慣性參考系中數(shù)學(xué)形式不變——所有慣性系都是等價(jià)（平權(quán)）的。因?yàn)榱W(xué)相對(duì)性原理要求所有的慣性系等價(jià)，同一個(gè)物理過(guò)程在靜止慣性參照系角動(dòng)量守恒，在運(yùn)動(dòng)慣性參照系角動(dòng)量不守恒，這是力學(xué)相對(duì)性原理所不允許的。在同一個(gè)坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)即使受到有心力的作用，對(duì)某個(gè)作用點(diǎn)角動(dòng)量守恒，對(duì)另一個(gè)作用點(diǎn)也可能不守恒，因?yàn)榇藭r(shí)合力矩不再為0，因此經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律也不具有普適性，需要進(jìn)行重新表述。

2.對(duì)于角動(dòng)量守恒定律表述的重新思考

筆者認(rèn)為，作為力學(xué)定律（或者力學(xué)定理）必須具有普遍性，不具有協(xié)變性的命題不能稱之為力學(xué)定律（或者力學(xué)定理），不能等同于一般的真命題，對(duì)于某一個(gè)確定的物理過(guò)程，在一個(gè)慣性系成立，在另一個(gè)慣性系也必須成立（在這里所說(shuō)的成立不僅包括命題的條件成立，結(jié)論也必須成立，即滿足協(xié)變性的要求）。經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律不能滿足這個(gè)要求，而且在很多情況下質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角動(dòng)量守恒定律，使其滿足上述要求[5]。在創(chuàng)立狹義相對(duì)論時(shí)，愛(ài)因斯坦利用了洛侖茲變換的不變性，而在創(chuàng)立廣義相對(duì)論時(shí)，他把變換不變性提升為物理學(xué)的普遍原理，并從引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量等同這一經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，把某種變換不變性作為表示空間結(jié)構(gòu)四維性和對(duì)稱張量的引力方程的前提。洛倫茲說(shuō)過(guò)：“愛(ài)因斯坦把方法倒了過(guò)來(lái)，他不是從已知的方程組出發(fā)去證明協(xié)變性是存在的，而是把協(xié)變性應(yīng)當(dāng)存在這一點(diǎn)作為假設(shè)提出來(lái)，并且用它演繹出方程組應(yīng)有的形式。”

把角動(dòng)量定理兩邊同時(shí)積分可以得到角動(dòng)量定理的積分形式——質(zhì)點(diǎn)對(duì)于某一點(diǎn)（或某軸）的角動(dòng)量與該點(diǎn)受到的合力矩對(duì)于時(shí)間的積分之差不變，

即

該命題與角動(dòng)量定理的微分形式是等價(jià)命題，具有伽利略變換的不變性，滿足力學(xué)相對(duì)性原理。

下面類比機(jī)械能中勢(shì)能概念我們引入角動(dòng)量勢(shì)的概念——

定義：質(zhì)點(diǎn)對(duì)于某一點(diǎn)（或某軸）受到的合力矩對(duì)于時(shí)間積分稱之為角動(dòng)量勢(shì)，

記為

角動(dòng)量守恒定律——對(duì)于任何參照系，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)于某一點(diǎn)（或某軸）的角動(dòng)量與角動(dòng)量勢(shì)之差不變，L（t）- N（t）= L（t0）=const。

這樣表述角動(dòng)量守恒定律與角動(dòng)量定理積分形式比較，只是改變了一個(gè)物理量的名稱，所以對(duì)于所有慣性系都成立，是經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律的一個(gè)推廣。對(duì)于非慣性系只要引入慣性力矩，推廣后的角動(dòng)量守恒定律依然成立，符合愛(ài)因斯坦的思想——物理規(guī)律對(duì)于所有的觀察者都相同。

類似地，動(dòng)量守恒定律表述為——對(duì)于任何參照系，一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量與合外力沖量差是一個(gè)常數(shù)。動(dòng)量類比上面的角動(dòng)量，合外力沖量類比角動(dòng)量勢(shì)。

文獻(xiàn)[6]證明了動(dòng)量定理對(duì)于所有參照系都協(xié)變，動(dòng)量守恒定律對(duì)于所有慣性系守恒條件協(xié)變，對(duì)于非慣性系不協(xié)變;角動(dòng)量守恒定律對(duì)于慣性系也不協(xié)變。重新表述角動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律后分別是角動(dòng)量定理、動(dòng)量定理的等價(jià)形式，自然符合相對(duì)性原理的要求。

在機(jī)械能方面，保守力作用下系統(tǒng)的拉格朗日量定義為動(dòng)能與勢(shì)能之差：，與此類似。在均勻時(shí)空下，體系的拉氏函數(shù)就反映了體系運(yùn)動(dòng)的能量。于是，我們可以這樣理解：當(dāng)一個(gè)體系處于外場(chǎng)中，設(shè)法消除外場(chǎng)的影響，使之處于局部均勻的時(shí)空時(shí)，體系所具有的運(yùn)動(dòng)能量就是拉格朗日函數(shù)。類似地，當(dāng)一個(gè)體系處于外場(chǎng)中，設(shè)法消除外場(chǎng)的影響，使之處于局部均勻時(shí)空時(shí)，體系所具有的運(yùn)動(dòng)動(dòng)量就是系統(tǒng)的動(dòng)量與合外力沖量之差;體系所具有的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)量就是系統(tǒng)的角動(dòng)量與角動(dòng)量勢(shì)之差。

牛頓講：“大自然總是喜歡變化與快樂(lè)。”變化不可能只有一個(gè)物理量發(fā)生變化，在變化過(guò)程中幾個(gè)物理量之間以某種關(guān)系保持守恒，在變化過(guò)程中找尋不變量應(yīng)當(dāng)是物理學(xué)的重要任務(wù)之一。在物理學(xué)中，發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)能概括許多現(xiàn)象的守恒量都是令人欣喜的事。趙凱華認(rèn)為：“研究一個(gè)規(guī)律的表述所具有的對(duì)稱性，并設(shè)法消除某種不對(duì)稱因素，從而使其規(guī)律的表述具有更多的對(duì)稱性，這無(wú)疑是有重要意義的。因?yàn)樗粌H滿足人類對(duì)于美（對(duì)稱，和諧）的心理追求，而且更重要的是使表述的規(guī)律具有更大的普遍性。

朗道的力學(xué)中說(shuō)：“如果系統(tǒng)整體相對(duì)參考系K′靜止，則V是系統(tǒng)質(zhì)心的速度，而μV是系統(tǒng)相對(duì)于參考系K的總動(dòng)量P，進(jìn)而有M=M+R×P。就是說(shuō)，力學(xué)系統(tǒng)的角動(dòng)量是由其相對(duì)靜止的參考系中的“內(nèi)稟角動(dòng)量”和整體運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量R×P構(gòu)成。筆者認(rèn)為朗道所指的整體運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量就是角動(dòng)量勢(shì)，在這里多出一個(gè)物理量——角動(dòng)量勢(shì)，類似于在某參考系觀察一個(gè)靜止電荷，它只激發(fā)靜電場(chǎng)，只需用標(biāo)勢(shì)ψ描述，但是變換到另一參考系時(shí)，電荷是運(yùn)動(dòng)的，除了電場(chǎng)之外還有磁場(chǎng)，必須用A和ψ描述。在上面勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例中，對(duì)于小車系而言mR2ω是內(nèi)稟角動(dòng)量，整體運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量——角動(dòng)量勢(shì)umRsinωt-utmRωcosωt，角動(dòng)量為mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt，角動(dòng)量與角動(dòng)量勢(shì)之差為mR2ω，這個(gè)守恒量是對(duì)于所有的參照系相同，只與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。

在上面的命題中，當(dāng)合力矩也等于0時(shí)，便是經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律，符合對(duì)應(yīng)原理要求，即經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律是上述命題的一個(gè)特例，經(jīng)典角動(dòng)量守恒定律在運(yùn)動(dòng)系需要增加一個(gè)物理量——角動(dòng)量勢(shì)，對(duì)于固有參照系這一項(xiàng)正好為0。在地球繞日運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道中，以太陽(yáng)為參照系角動(dòng)量守恒，以相對(duì)于太陽(yáng)勻速運(yùn)動(dòng)的參照系看來(lái)角動(dòng)量不守恒，但是角動(dòng)量與角動(dòng)量勢(shì)之差守恒。容易驗(yàn)證在上面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，考察上述命題顯然滿足伽利略變換的不變性。假設(shè)把單擺固定在地面上，在地面上有一輛勻速運(yùn)動(dòng)的小車，在小車系看來(lái)擺錘的角動(dòng)量不守恒，但是角動(dòng)量與角動(dòng)量勢(shì)之差守恒。角動(dòng)量守恒定律不但與參考系無(wú)關(guān)（對(duì)于非慣性系考慮慣性力力矩即可），而且與參考點(diǎn)無(wú)關(guān)。本文驗(yàn)證了相對(duì)性原理和單獨(dú)的協(xié)變性是一回事，文獻(xiàn)[7～11]的觀點(diǎn)是完全錯(cuò)誤的。

3.力學(xué)中三大守恒定律的比較

動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律之間的類比——?jiǎng)恿俊⒔莿?dòng)量類似于動(dòng)能，沖量、角動(dòng)量勢(shì)類似于勢(shì)能。動(dòng)能和勢(shì)能可以變化，但是機(jī)械能不變;同理對(duì)于不同的參照系，動(dòng)量和沖量可以相互轉(zhuǎn)化，角動(dòng)量和角動(dòng)量勢(shì)可以變化，但是它們的差不變。區(qū)別：對(duì)于不同的參照系，機(jī)械能的守恒量不相同，但是動(dòng)量和沖量只差保持不變。同理角動(dòng)量與角動(dòng)量勢(shì)之差的守恒量不變，因?yàn)樗枋龅氖琴|(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)特性，對(duì)于不同的慣性系，旋轉(zhuǎn)特性相同，該旋轉(zhuǎn)量對(duì)于不同的慣性系都成立，所以在狹義相對(duì)論框架內(nèi)角動(dòng)量守恒定律也是成立的。三大守恒定律表述形式既相似也有別，這是對(duì)稱的絕對(duì)性和相對(duì)性的表現(xiàn)形式。地球圍繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，以太陽(yáng)為參考點(diǎn)，地球看做質(zhì)點(diǎn)的話，受到的合力矩為0，可是事實(shí)上地球并不是質(zhì)點(diǎn)，其內(nèi)部存在著其他力，因此地球的公轉(zhuǎn)的角動(dòng)量應(yīng)該稍微減少，不過(guò)日—地軌道角動(dòng)量是十分巨大的，相比之下地球的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量十分渺小，不容易觀察而已。對(duì)稱性原理在上述研究工作中起著重大作用，它能使我們從事物之間的聯(lián)系上考慮問(wèn)題，從而使我們迅速抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。”

在牛頓力學(xué)理論中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和能量是兩個(gè)彼此獨(dú)立的物理量，動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律是兩個(gè)彼此獨(dú)立的定律;可是在狹義相對(duì)論中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和能量緊密結(jié)合成四維動(dòng)量，因而動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律合并成能量—?jiǎng)恿渴睾愣桑嗉此木S動(dòng)量守恒定律。牛頓力學(xué)理論中容許超距力（在彈簧振子和單擺問(wèn)題中彈力雖然是接觸力，但是由于力源不是研究對(duì)象，仍然按超距力處理），須引入勢(shì)能，可是在狹義相對(duì)論中，不存在超距力，只有接觸作用，不需引入勢(shì)能。狹義相對(duì)論的能量—?jiǎng)恿渴睾愣商貏e適用于研究基本粒子之間，包括湮滅、創(chuàng)生等現(xiàn)象在內(nèi)的反應(yīng)，而牛頓力學(xué)理論的動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律與質(zhì)量守恒定律無(wú)法研究這些反應(yīng)。類似地，在狹義相對(duì)論中無(wú)需引入沖量和角動(dòng)量勢(shì)的概念，因此牛頓力學(xué)中的動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律與狹義相對(duì)論中動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律的表述有一定的區(qū)別。愛(ài)因斯坦講：“物理學(xué)構(gòu)成一種處在不斷進(jìn)化過(guò)程中的思想邏輯體系。”

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