判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法

戴彭晴

對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈R)，我們把方程f(x)=0 的根叫作函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。下面歸納幾種求函數(shù)零點(diǎn)的方法，供大家學(xué)習(xí)與參考。

方法一：解方程法

解：函數(shù)f(x)的定義域是(3，+∞)。由f(x)=0，可得x=2 或x=1，但1?(3，+∞)，2?(3，+∞)，故函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)。

評(píng)析：若函數(shù)f(x)對(duì)應(yīng)方程f(x)=0可解時(shí)，通過(guò)解方程，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)。

例2 求函數(shù)f(x)=ax2-x-1的零點(diǎn)。

評(píng)析：求函數(shù)f(x)=ax2-x-1 的零點(diǎn)，要對(duì)系數(shù)a 進(jìn)行分類(lèi)討論。

方法二：零點(diǎn)存在性定理法

評(píng)析：利用零點(diǎn)存在性定理，不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)，才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

方法三：數(shù)形結(jié)合法

例4 函數(shù)f(x)=x-3+lnx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)___。

解：令f(x)=x-3+lnx=0，則lnx=3-x，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=lnx 與y=-x+3的圖像，如圖1所示。

由圖可知，函數(shù)y=lnx 與y=-x+3的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)=x-3+lnx 只有1個(gè)零點(diǎn)。

解：求函數(shù)y=f(x)+x-4 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求函數(shù)y=-x+4與y=f(x)的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。畫(huà)出函數(shù)y=-x+4與y=f(x)的圖像(圖略)。由圖可知，函數(shù)y=-x+4與y=f(x)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=f(x)+x-4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。

評(píng)析：數(shù)形結(jié)合法是求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法。這種方法，直觀明了，但需要作出準(zhǔn)確的圖像。