一道鍛煉同學(xué)們思維品質(zhì)的好題

朱 慧 田發(fā)勝

題目 如果a+10a=5，b+lgb=5，則a+b=_____。

這是一道考查同學(xué)們思維品質(zhì)的好題目。有些同學(xué)在看到這個題目后，毫無思路可言，一點(diǎn)頭緒也沒有，實(shí)際上，仔細(xì)分析題目中條件的結(jié)構(gòu)特征，抓住條件中的區(qū)別與聯(lián)系，靈活轉(zhuǎn)化，就能獲得很多思路，從而得到眾多的解法。

思路一：把指數(shù)與對數(shù)不同的結(jié)構(gòu)變?yōu)橄嗤慕Y(jié)構(gòu)來處理

解法1：由已知可得5-a=10a，b=105-b。兩式相減可得5-a-b=10a-105-b。 ＊

如果5-a-b＞0，即5-b＞a，那么105-b＞10a，即10a-105-b＜0，從而＊式不成立；如果5-a-b＜0，即5-b＜a，那么105-b＜10a，即10a-105-b＞0，從而＊式也不成立。

綜上所述，5-a-b=0，即a+b=5。

解法2：由已知可得a=lg(5-a)，5-b=lgb。兩式相減可得5-a-b=lgblg(5-a)。 ＊

如果5-a-b＞0，即5-a＞b，那么lg(5-a)＞lgb，即lgb-lg(5-a)＜0，從而＊式不成立；如果5-a-b＜0，即5-a＜b，那么lg(5-a)＜lgb，即lgb-lg(5-a)＞0，從而＊式也不成立。

綜上所述，5-a-b=0，即a+b=5。

思路二：構(gòu)造方程，利用圖像來處理

解法3：因?yàn)閎+lgb=5，所以lgb=5-b，即b=105-b，也即5-(5-b)=105-b。 ①

由a+10a=5，可得5-a=10a。 ②

觀察①②式的特點(diǎn)，可知5-b，a 是方程5-x=10x的兩個根。在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=5-x，y=10x的圖像(圖略)，易知兩圖像有唯一的交點(diǎn)，從而方程5-x=10x有唯一的根。所以5-b=a，即a+b=5。

解法4：因?yàn)閍+10a=5，所以lg(5-a)=a，即5-(5-a)=lg(5-a)。 ①

由b+lgb=5，可得5-b=lgb。 ②

觀察①②式的特點(diǎn)，可知5-a，b 是方程5-x=lgx 的兩個根。在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=5-x，y=lgx 的圖像(圖略)，易知兩圖像有唯一的交點(diǎn)，從而方程5-x=10x有唯一的根。所以5-a=b，即a+b=5。

思路三：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性來處理

解法5：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lgx，則已知條件可化為f(b)=f(10a)=5。

易知f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以b=10a。所以a+b=a+10a=5。

解法6：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+10x，則已知條件可化為f(a)=f(10b)=5。

易知f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以b=10a。所以a+b=a+10a=5。

思路四：利用互為反函數(shù)的圖像關(guān)系來處理

解法7：由已知可得10a=5-a，lgb=5-b，故a，b 分別是方程10x=5-x，lgx=5-x 的根。所以a 是函數(shù)y=10x與函數(shù)y=5-x 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，b 是函數(shù)y=lgx 與函數(shù)y=5-x 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

函數(shù)y=10x與函數(shù)y=lgx 互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x 對稱，所以它們與同一條直線y=5-x 的交點(diǎn)也關(guān)于直線y=x 對稱。

編者注：在學(xué)習(xí)的過程中，當(dāng)同學(xué)們遇到陌生的題目，或不熟悉的問題時(shí)，一定要細(xì)心觀察，認(rèn)真分析，找出條件中的區(qū)別與聯(lián)系，向?qū)W過的知識靠攏，消除差異，靈活轉(zhuǎn)化，就能使問題獲得圓滿解決。