“判別式法”在追及、相遇問題中的巧妙運用

毛廣文

“判別式法”是數(shù)學中常用的一個解題方法，若將此方法引入到物理的學習中，則可以使得物理問題的解答更加嚴謹和靈活。比如，在處理追及、相遇問題時，根據(jù)兩物體的位移關系列出關于時間t 的一元二次方程，得出相遇時間t 的表達式，就可以通過對時間t的解來討論相遇的可能性及相遇的次數(shù)，即通過對關于時間t 的一元二次方程的判別式“Δ=b2-4ac”的討論來確定物體是否能夠相遇，以及相遇的次數(shù)。下面舉例說明。

例1 甲、乙兩物體相距s，同時同向沿同一直線運動，物體甲在前面做初速度為零、加速度為a1的勻加速直線運動，物體乙在后面做初速度為v0、加速度為a2的勻加速直線運動，則( )。

A.若a1=a2，則兩物體只能相遇一次

B.若a1＞a2，則兩物體可能相遇兩次

C.若a1＜a2，則兩物體可能相遇兩次

D.若a1＞a2，則兩物體可能相遇一次或不相遇

討論：

(1)當a1＜a2時，判別式“Δ”一定大于零，且 Δ ＞v0，時間t 有兩解，但因時間t 不能為負值，故只有一解有物理意義，即兩物體只能相遇一次，選項C錯誤。

(3)當a1＞a2時，判別式“Δ”的值由v0、a1、a2、s共同決定，可能小于零、等于零或大于零，且 Δ ＜v0。若v20＜2(a1-a2)s，即判別式“Δ”的值小于零，則關于時間t的方程無解，故兩物體不相遇；若v20=2(a1-a2)s，即判別式“Δ”的值等于零，則關于時間t的方程只有一個解，故兩物體相遇一次；若v20＞2(a1-a2)s，即判別式“Δ”的值大于零，則關于時間t的方程有兩個正解，故兩物體相遇兩次。因此當a1＞a2時，兩物體可能不相遇、相遇一次或相遇兩次，選項B、D 正確。

答案：ABD

本題采用一元二次方程的判別式進行分析、解答，顯得簡潔、明快。為同學們進行抽象思維和邏輯推理訓練提供了有效方法。

例2 甲、乙兩質(zhì)點相距s，質(zhì)點乙在前，質(zhì)點甲在后，沿著同一條直線，向同一方向同時開始運動。質(zhì)點甲以速度v 做勻速運動，質(zhì)點乙由靜止開始以加速度a 做勻加速運動，在什么情況下質(zhì)點甲才能追上乙? 在什么情況下質(zhì)點甲追不上乙?

設兩質(zhì)點運動的時間為t，則甲、乙兩質(zhì)點的位移分別為

討論：

(1)當Δ=v2-2as＜0，即v＜ 2as時，方程無解，表明當質(zhì)點甲做勻速運動的速度小于 2as時，質(zhì)點甲不可能追上乙。

(2)當Δ=v2-2as=0，即v= 2as時，方程有唯一解，表明當質(zhì)點甲做勻速運動的速度等于 2as時，質(zhì)點甲可以追上乙，且兩質(zhì)點只相遇一次。

(3)當Δ=v2-2as＞0，即v＞ 2as時，方程有兩解，表明當質(zhì)點甲做勻速運動的速度大于 2as時，質(zhì)點甲可以追上乙，且第一次追上質(zhì)點乙時的速度大于乙，之后將超過乙，隨著質(zhì)點乙速度的增大，質(zhì)點乙將追上甲并超過甲，故兩質(zhì)點相遇兩次，相遇的時間分別為方程的兩個解。

火車甲正以速度v1勻速行駛，司機突然發(fā)現(xiàn)前方距自己d 處有火車乙正以較小速度v2同向勻速行駛，于是他立即剎車，使火車甲做勻減速運動而停下。為了使兩列火車不相撞，加速度a 應滿足什么條件?