函數(shù)應(yīng)用中的誤區(qū)警示

張 楠

本文匯集函數(shù)模型及函數(shù)綜合應(yīng)用中的誤區(qū)警示，希望引起同學(xué)們的高度重視。

誤區(qū)1：求解函數(shù)零點(diǎn)的方法選擇不當(dāng)

例1判斷函數(shù)f(x)=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)是否有零點(diǎn)。

錯(cuò)解：因?yàn)閒(-1)=f(1)=-1，所以f(-1)·f(1)＞0，則函數(shù)f(x)=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)。

剖析：上述解法套用了函數(shù)零點(diǎn)的存在性判定定理，忽視了其前提條件。

正解1：當(dāng)x ∈[-1，1]時(shí)，f(x)=|2x|-3≤-1，函數(shù)y=f(x)在[-1，1]上的圖像與x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)=|2x|-3在區(qū)間[-1，1]內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)。

警示：判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要判斷在給定區(qū)間上兩端點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，若兩端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)相反，再結(jié)合圖像的連續(xù)性進(jìn)行判斷；若兩端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)相同，需探究函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)圖像進(jìn)行判斷。一般地，當(dāng)不能直接求出零點(diǎn)時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)，可畫(huà)出圖像判斷。

誤區(qū)2：由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)時(shí)忽視分類討論

例2函數(shù)f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是____。函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，也就是函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)與函數(shù)y=x+a 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。

畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像(圖略)。由圖像可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)a＞1 時(shí)，函數(shù)y=ax(a＞1)的圖像過(guò)點(diǎn)(0，1)，而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0，1)的上方，這時(shí)一定有兩個(gè)交點(diǎn)。

故實(shí)數(shù)a 的取值范圍是a＞1，即a∈(1，+∞)。

警示：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，常常化歸為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題求解。解答這類問(wèn)題，合理分類和數(shù)形結(jié)合法以及函數(shù)思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵。

誤區(qū)3：函數(shù)的零點(diǎn)的大小比較中忽視圖像的作用

錯(cuò)解：所求問(wèn)題可化為函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)與函數(shù)y=x+a 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題求解。畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像(圖略)，由圖像易得a＞1。

剖析：當(dāng)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，忽視了0＜a＜1的情況。

正解：設(shè)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)和

錯(cuò)解：沒(méi)有理解m，n 的意義，不能得到正數(shù)m，n 的大小關(guān)系。

或者，胡亂猜測(cè)m＞n。

剖析：忽視特殊值法和圖像法的作用。

正解1：(特殊值法)嘗試m=3，n=2，這時(shí)適合方程2m+m=3n+n，則正數(shù)m＞n。

正解2：(數(shù)形結(jié)合法)設(shè)2m+m=3n+n=k，則2m=k-m，3n=k-n，于是m，n 分別為函數(shù)y=2x，y=3x，y=k-x 的圖 像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。作出這三個(gè)函數(shù)的大致圖像(圖略)，注意指數(shù)函數(shù)圖像的分布規(guī)律，易得m＞n。

警示：特殊值法判斷是最優(yōu)化的解法。利用一條直線與兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，借助指數(shù)函數(shù)圖像分布規(guī)律求解，凸顯函數(shù)與方程和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。