對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)指津

徐彩娥

對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，由于它涉及的知識(shí)面廣、靈活性較強(qiáng)，因此同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)容易出錯(cuò)。

一、求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)考慮不全

例1 求函數(shù)y=logx+1(16-4x)的定義域。

錯(cuò)解：由16-4x＞0，解得x＜2，所以函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，2)。

錯(cuò)因剖析：上述解法只考慮了真數(shù)的取值限制，卻忽視了底數(shù)的取值限制。

友情提示：求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，要注意滿足兩個(gè)條件：一是真數(shù)大于零，二是底數(shù)大于零且不等于1。

二、求對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)忽視定義域

例2 求函數(shù)f(x)=log2(2x+1)的單調(diào)區(qū)間。

錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)u=2x+1 在(-∞，+∞)上是增函數(shù)，而y=log2u 也是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=log2(2x+1)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，+∞)。

錯(cuò)因剖析：上述解法忽視了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)的定義域的子區(qū)間。解答本題先要求出函數(shù)的定義域。

友情提示：在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要優(yōu)先考慮定義域，這是研究函數(shù)的最基本原則。

三、混淆對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題的值域?yàn)镽 與定義域?yàn)镽

例3 已知函數(shù)y=log2(ax2+2x+3)的值域?yàn)镽，求a 的取值范圍。

錯(cuò)因剖析：上述解法沒(méi)有理解對(duì)數(shù)函 數(shù) 的 定 義。當(dāng)x ＞0 時(shí)，y=logax∈R，即當(dāng)x 取遍大于零的全體實(shí)數(shù)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值取遍全體實(shí)數(shù)。對(duì)此題而言，要使y∈R，則函數(shù)u=ax2+2x+3的值域必須包含全體正數(shù)。

友情提示：若函數(shù)y=logaf(x)

的定義域?yàn)镽，只需真數(shù)大于零恒成立；若函數(shù)y=logaf(x)的值域?yàn)镽，只需f(x)取遍一切正數(shù)。解題時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，需要注意分情況討論。

四、忽視對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0這一“鐵律”

例4 已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的減函數(shù)，則a 的取值范圍是____。

錯(cuò)解：函數(shù)y=loga(2-ax)是由y=logau，u=2-ax 復(fù)合而成。由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的減函數(shù)。由復(fù)合函數(shù)知y=logau 是增函數(shù)，所以a＞1。

錯(cuò)因剖析：上述解法雖然考慮了對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，卻忽視了真數(shù)必須大于零這一先決條件。

正解：由a＞0，可知u=2-ax 在[0，1]上是x 的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)知y=logau 是增函數(shù)，所以a＞1。因?yàn)閤 在[0，1]上時(shí)y=loga(2-ax)有意義，u=2-ax 是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，u=2-ax 取最小值為umin=2-a＞0，所以a＜2。綜上可知，a 的取值范圍是(1，2)。

友情提示：在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，不僅要結(jié)合內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，更要注意它們本身的定義域。