函數的應用常見典型考題賞析

包玉蘭 張文偉

題型一：二分法

二分法只適用于變號零點，二分法是求方程的根的近似值的一種方法。記憶口訣：定區間，找中點，中值計算兩邊看，同號去，異號算，零點落在異號間。周而復始怎么辦?精確度上來判斷。

例1 用二分法求函數f(x)=ln(x+1)+x-1 在區間[0，1]上的零點，要求精確度為0.01 時，所需二分區間的次數最少為____。

題型二：函數零點的求法

求函數y=f(x)的零點通常有兩種方法：一是令f(x)=0，根據方程f(x)=0 的根可求得函數的零點；二是畫出函數y=f(x)的圖像，其圖像與x 軸的交點的橫坐標即為函數的零點。

A.{1} B.{-1}

C.{-1，1} D.{-1，0，1}

解：當x≤0時，由f(x)=x+1=0，可得x=-1；當x＞0時，由f(x)=log2x=0，可得x=1。故函數f(x)的所有零點構成的集合為{-1，1}。應選C。

題型三：函數零點所在區間的判斷

判斷函數零點(方程的根)所在區間的三種方法：①解方程法，當對應方程易解時，可通過解方程，確定方程是否有根落在給定區間上；②定理法，利用零點存在性定理進行判斷；③數形結合法，畫出相應的函數圖像，通過觀察圖像與x 軸在給定區間上的交點來判斷，或者轉化為兩個函數圖像在給定區間上的交點來判斷。

例3 函數f(x)=x+lnx-3 的零點所在的區間為( )。

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.(3，4)

解：(利用零點存在性定理)因為函數f(x)是增函數，且f(2)=ln2-1＜0，f(3)=ln3＞0，所以由零點存在性定理可得f(x)的零點所在的區間為(2，3)。應選C。

(利用數形結合法)函數f(x)=x+lnx-3 的零點所在區間可轉化為函數g(x)=lnx 與h(x)=-x+3的圖像的交點橫坐標所在的范圍。畫出函數g(x)=lnx，h(x)=-x+3 的圖像(圖略)，由圖可知f(x)的零點在(2，3)內。應選C。

題型四：函數零點個數的判斷

判斷函數零點個數的四種方法：①直接法，令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點。②定理法，利用零點存在性定理，要求函數的圖像在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還要結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點。③圖像法，函數f(x)的圖像與x 軸交點的個數就是函數f(x)的零點個數。④性質法，利用函數性質，若能確定函數的單調性，則其零點個數不難得到；若所考查的函數是周期函數，則只需解決在一個周期內的零點個數。有1個，即函數f(x)的零點個數為1。

題型五：根據函數的零點求參數的范圍

已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍的三種方法：①直接法，根據題設條件構建關于參數的不等式，通過解不等式確定參數的取值范圍。②分離參數法，先將參數分離，然后轉化成求函數值域問題加以解決。③數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后利用圖像的交點求解。

題型六：復合函數的零點

求復合函數的零點，就是求解復合方程問題。一般地，由方程f[g(x)]=0 分解為f(t)=0 和g(x)=t 求 解，即 先 從 方 程f(t)=0中求t，再代入方程g(x)=t中求出x 的值。

例6 設函數f(x)=x2，若函數g(x)=[f(x)]2+mf(x)+m+3有4個零點，則實數m 的取值范圍為_____。

提示：當x≤0 時，y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1。令x-1=0，則x=1，顯然與x≤0矛盾，所以當x≤0時，y=f[f(x)]-1沒有零點。

當x＞0時，分兩種情況：

當0＜x≤1時，log2x≤0，y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=2log2x-1=x-1，令x-1=0，解得x=1。當x＞1時，log2x＞0，y=

f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1，令log2(log2x)-1=0，可得log2x=2，解得x=4。

綜上可知，函數y=f[f(x)]-1的零點個數為2。

題型七：函數零點中的新定義問題

對于這類問題，首先要分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條進行分析、驗證、運算，使問題得以解決。

例7 用[a]表示不大于實數a 的最大整數，如[1.68]=1，設x1，x2分別是方程x+ex=4，x+ln(x-1)=4的根，則[x1]+[x2]等于_____。

解：因為x1，x2分別是方程x+ex=4，x+ln(x-1)=4的根，所以x1，x2分別是函數g(x)=x+ex-4 和函數h(x)=x+ln(x-1)-4的零點。

由于g(x)是單調遞增函數，且g(1)＜0，g(2)＞0，所以1＜x1＜2。由于h(x)在定義域內單調遞增，且h(3)＜0，h(4)＞0，所以3＜x2＜4。據此可得[x1]=1，[x2]=3，所以[x1]+[x2]=4。

跟蹤訓練7：設函數f(x)=1+[x]-x，其中[x]表示不超過x 的最大整數，若函數y=logax 的圖像與函數f(x)的圖像恰有3個交點，則實數a 的取值范圍是( )。

A.[2，3) B.(2，3]

C.(3，4] D.[3，4)

提示：因為f(x+1)=1+[x+1]-(x+1)，而[x+1]=[x]+1，所以f(x+1)=1+[x]+1-x-1=1+[x]-x=f(x)，

即函數f(x)的周期為1。

當x∈[0，1)時，f(x)=1-x，畫出函數f(x)在[0，+∞)上的圖像，如圖1 所示(其中函數y=logax 中的a＞1才滿足題意)。