船體三維曲板展開方法多目標優化模型

蘭宏凱， 柳存根， 聶 鑫

(1. 上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室， 上海 200240；2. 上海交通大學，高新船舶與深海開發裝備協同創新中心， 上海 200240；3. 大連船舶重工集團有限公司， 遼寧 大連 116021)

隨著國內船舶建造水平的不斷提高，各大船廠逐步實踐綠色造船、精益管理和無余量造船等先進理念.同時，船舶設計水平的提高，造成船體曲面日趨復雜，船體外板中曲板占比也逐步提高，對船體外板成形提出了更高的要求.船體放樣是船舶建造過程的重要環節，為鋼板號料套料工藝環節提供依據，是實現無余量造船的關鍵步驟.目前，船廠采用的放樣方法大多為手工放樣或計算機模擬手工放樣，誤差大并且效率低[1]，往往需要留有一定余量.因此，需要更加精準的船體三維曲板放樣展開方法，以提高造船效率，降低造船成本.國內外學者對船體三維曲板的展開方法進行了研究.Hinds等[2]提出以四邊形網格對曲面進行劃分，然后將各個單元進行展平獲得有縫隙的展開曲面.Azariadis等[3]在Hinds的理論基礎上進行了改進與探討，減小了曲面展開的裂縫幾何尺度.Wang等[4]利用Tendon Node Mapping (TNM)和Diagonal Node Mapping (DNM)算法實現對三維曲面的高效網格劃分，通過能量法對三維曲面進行展開.Shin[5]對三維曲面進行微分逼近并進行初步展開，然后利用能量展開方法對展開方案進行優化，得出最終的展開方案.Seong等[6]將待加工板曲面和最終目標曲面間的差異曲面定義為工作面，用三角形或四邊形單元將工作面進行幾何分化，將離散后的單元進行展開，可以獲得曲面展開后的平面.張雪彪等[7]通過導向單元條和改進肋骨彎度等方法提出船體復雜曲面的展開方法，可以為水火彎板成形提供收縮量.李純金等[8]通過自適應算法對曲面展開過程中的網格細分進行了研究，為曲面展開提供支持.劉寅東等[9]運用參數化三維實體建模解決船體外板展開問題，并開發了相關軟件程序.然而，船體三維曲面展開是造船的中間環節，為曲板放樣和曲板加工等多個后續工藝環節服務，因此，對曲板展開效果的評價應該是多維度的，曲板展開方案的確定也應綜合考慮后續工藝環節而確定.本文基于單元等長的船體曲板展開方法，采用面積誤差、平均應變能和邊緣線性3個評價指標，利用文化基因算法(MA)對船體三維曲板展開方案進行了多目標優化分析.

1 問題描述

三維曲面一般可分為平面、直紋面和復雜曲面，從可展性方面可分為可展曲面和不可展曲面.而船體曲板大多為不可展開的復雜曲面，需要將其分割為多個微小單元以逼近原曲面，然后再將各個微小單元進行展開，獲得最終的近似展開平面.在不可展曲面的展開過程中，常見的展開思想有保證面積恒定，保證長度恒定和保證角度恒定等.目前，船廠中主要采用手工測地線法、垂直準線法和撐線法等展開三維曲面，其本質的展開思想均基于保證展開單元的長度恒定.結合工程實際情況，針對以帆型板為代表的大型板材，采用基于單元等長的展開方法，展開過程如下.

(1) 擬合待展曲面并劃分網格.肋骨型線圖中獲取的數據點較少，需要通過做非均勻有理B樣條(NURBS)曲面擬合對數據進行插值，同時將三維曲面進行網格劃分，選取四邊形網格.

(2) 計算線準線.縱向基準線為某條肋骨型線，橫向基準線為貫穿曲面的一條空間曲線.要求橫向基準線在展開圖中為一條直線，因此橫向基準線應為曲面內兩點間的最短面內的距離.通過 Dijkstra 算法在三維曲面中迭代搜索，最終獲取兩點間的曲面最短距離，從而確定橫向基準線.

(4) 展開其他單元.如圖1(b)所示，以確定四邊形單元Ai,iAi-1,iAi-1,i+1Ai,i+1為例，介紹一般四邊形的單元展開過程.已知四邊形單元中Ai-1,iAi-1,i+1和Ai-1,i+1Ai,i+1已確定，需要確定點Ai,i的位置.根據單元等長的展開準則，在展開平面內找到一點Ai,i使得Ai,iAi-1,i和Ai,iAi,i+1在展開前后的長度恒定，由此即可確定點Ai,i的位置.

圖1 展開過程示意圖Fig.1 Example of expanding operator

問題假設：三維曲板在加工成形過程中，厚度恒定不變.三維曲板加工和曲板展開互為逆過程，在多支點冷壓加工或部分水火彎板加工情況下，三維曲板展開前后上下表面積基本保持恒定.

基于單元等長的曲板展開方法所獲得的展開方案取決于兩條基準線的選擇，即縱向基準線的選取和橫向基準線的端點坐標決定了最終展開方案.在工程實際中，曲板展開后會進行套料號料的工藝過程，在套料過程中更希望板材的四周邊緣為直線，可以方便切割并提高板材的利用率，因此要求曲板展開的形狀邊緣具有一定的線性水平.曲板展開圖是曲板成形的基礎，曲板展開過程中單元應變能在一定程度上可以反映曲板成形過程中的加工工作量，因此從減少后續加工成本的角度出發，要求曲板展開方案的單元應變能處于低水平.基于問題假設，曲板展開前后面積誤差也是衡量展開方案的重要指標，希望面積誤差控制在較低水平.

2 數學模型

基于以上對問題的描述和假設，提出船體三維曲板展開優化分析的數學模型.根據以上分析，可以通過曲面展開前后的面積誤差、展開曲面邊緣線性和展開曲面的單元平均應變能3個維度評價展開方案.

面積誤差指標ΔA采用展開曲面面積與原三維曲面面積相對誤差的絕對值表達.面積誤差指標有效地反映出展開后的曲面面積與三維曲面面積的誤差，從問題假設出發，面積誤差越小展開效果越良好.

(1)

式中：Au為三維曲面面積，Ao為展開曲面面積，兩者均通過微分單元累加求解.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：εib為面內彎曲應變矩陣；εs為剪切應變矩陣；σib為面內彎曲應力矩陣；σs為剪切應力矩陣；D為彈性矩陣；A為單元面積.

計算展開曲板平均單元應變能如式(4)所示，其中M為單元數.

(7)

由上述分析可得船體三維曲板展開優化問題的目標函數為

(8)

maxf2=maxρ(X,Y)

(9)

(10)

s.t.

minp(i)

(11)

(i=x,y,z)

minp(i)

(12)

(i=x,y,z)

Num∈{1,2,…,RIBNmax}

(13)

式中：minp(i)為待展開曲面單元節點i坐標的最小值；maxp(i)為待展開曲面單元節點i坐標的最大值；i為坐標軸編號，分別取為x,y,z;plef(i)為橫向基準線左端點的i坐標值；prig(i)為橫向基準線右端點的i坐標值；Num為縱向基準線所選取的肋骨型線編號，規定將肋骨型線按照肋骨型線圖從左至右進行編號；RIBNmax為肋骨型線圖中的最大編號.

3 多目標MA

MA是在種群全局搜索的基礎上與基于個體的局部搜索有效結合，在保持了遺傳算法優秀的全局搜索能力的同時，提高了算法的局部搜索能力.近些年MA得到了廣泛應用，求解包括生產調度[10-11]及其他工程領域的相關問題，如路徑規劃[12]、資源分配以及特征選取等.本文提出一種多目標MA(MOMA)以求解船體三維曲板展開的優化分析問題.作為多目標進化算法，MOMA基于Pareto最優概念進行設計.MOMA采用二進制編碼，引入啟發程序生成初始解，并基于二進制編碼設計了交叉、變異等遺傳操作以及局部搜索算子.下面對MOMA解的表達、種群初始化、遺傳操作和局部搜索等內容進行詳細描述.

3.1 種群初始化

為了提高初始種群質量，設計了啟發程序，用于生成初始解.啟發程序采用船廠經典測地線法對板材進行展開，獲得最終的展開板.測地線法的展開思想與本文一致，因此可以獲取測地線法展開的橫縱基準線的信息，并采用二進制對其進行編碼，產生啟發程序初始解.基于該初始解，保持橫向基準線端點不變，以初始解選取肋骨作為橫向基準線，產生新的啟發初始解.為了確保初始種群的多樣性，要求啟發式初始解的個數不超過種群規模的10%.

3.2 遺傳操作

采用二進制編碼表達3個決策變量，在初始化、交叉和變異過程中，對于超出邊界的值需要重新進行計算，直到所獲得的解在可行域范圍內.

選擇、交叉和變異是用于生成子代種群的遺傳操作.選擇操作采用基于非支配等級和擁擠距離的二元錦標賽方法，從父代種群中選出優秀個體進行遺傳操作.二元錦標賽法的具體過程為對于非支配等級不同的兩個個體，優先選擇非支配等級低的個體；對于非支配等級相同的兩個個體，優先選擇擁擠距離大的個體；對選出的父代個體按概率P進行配對交叉.交叉操作采用部分交叉映射策略，具體操作如圖2所示(該圖為示意圖，實際染色體長度較長)，其中R為染色體位置.其具體步驟如下：

步驟1在父代1和父代2的染色體上選取相同位置(R1，R2).

（1）強調團隊協作，營造和諧氛圍，保證職責分明而不影響親和力，確保全體員工均能全身心投入。首先，應形成良好的合作意識，保證日常住宿與飲食，并提高自身責任心，同時，在不影響日常工作的基礎上，豐富業余生活，以此進一步提高凝聚力。

步驟2交換父代1和父代2被選取的部分染色體，產生子代1和子代2.

步驟3對子代1和子代2進行解碼，對于超出可行域的解隨機賦值，對子代染色體進行修正.

圖2 交叉操作示例Fig.2 Example of crossover operator

為了保證種群的多樣性，對交叉操作產生的子代按概率實施變異操作，選取子代染色體中的位置，將其取反，并重新檢驗染色體是否越界.

3.3 局部搜索算子

在MOMA中，按照概率Ppart對個體施加基于模擬退火算法的局部搜索算子.模擬退火算法是借鑒固體退火原理，固體內部溫度較高時，內部粒子運動快速無序；而隨著溫度的降低，固體內部粒子運動逐步趨向有序，最終達到穩定狀態.模擬退火算法是一種貪婪算法，搜索過程中引入了隨機因素，以一定的概率接受較差的解，可以幫助算法跳出局部最優，更可能實現全局最優解.

局部搜索算子的具體步驟如下：

步驟1以概率Ppart判斷是否對個體Ti進行局部搜索.

步驟2若進入局部搜索算子，設置模擬退火算法基本參數，對個體Ti進行解碼，隨機產生個體Ti的鄰域集合.

步驟3對鄰域集合進行二進制編碼，計算鄰域集合的適應值集合，并計算其支配等級和擁擠距離.

3.4 算法流程

基于以上對MOMA的介紹，可以獲得算法的流程圖，如圖3所示.其中：g為種群代數；nFEs為循環算子；nFEsmax為種群中的個體總數.

圖3 MOMA流程圖Fig.3 Flow chart of MOMA

4 展開實例

以船體建造過程中一塊帆型板為例，應用上述算法對其進行展開優化分析，板材的型值表如圖4(a)所示.其中：W為水線；L為肋骨線距離船尾的距離.NURBS曲面對該帆型板進行曲面重構和網格劃分，網格單元為四邊形，共劃分 6 100(100×61)個網格，如圖4(b)所示.

設置種群大小為60，迭代次數為100次，交叉概率為0.6，局部搜索概率為0.1；退火算法選擇初始溫度為800 ℃，溫度位移系數為0.2，溫度降低速率為0.9.應用MOMA對上述帆型板基于單元等長的曲板展開方法進行優化分析，為了驗證算法的有效性，采用測地線法對同一塊板材進行展開.此外，分別設立無啟發算子和無局部搜索的算法進行對照計算，從而驗證啟發算子和局部搜索算子的有效性.

對采用由優化算法獲得的解集，剔除非支配解后以支配等級和擁擠程度為指標進行排序，從支配等級為1的解集中采用線性加權法選擇最終的方案.設置權重為[0.3,0.5,0.2]，選擇3個評價指標為[0.035%,8.84×10-4,0.698 1]的方案.

從表1中可以看出，采用優化方法獲得的展開方案的面積誤差、平均應變能和邊緣線性3個指標均優于測地線法，說明通過優化獲得的展開方法全面優于測地線法，驗證了該優化算法的有效性.采用相同的權重對無局部搜索算子和無啟發算子兩種算法求解出的方案進行選擇，結果如表1所示.無局部搜索算子的優化方法得到的展開方案面積誤差和平均應變能指標均與優化方法有較大差距，從而說明局部搜索算子可以有效地幫助優化方法跳出局部最優，提高搜索效率，獲得更為優質的解.由無啟發算子優化方法得到的方案的3項指標與具有啟發算子獲得的方案的優化方法差距不大，這是因為所提算法為改進的多目標遺傳算法，具有一定的隨機性，而在迭代次數相同和種群數目相同的情況下，具有啟發算子的優化方法得到優質解的概率更大.

表1 曲面展開計算結果Tab.1 Results of expanding operators

針對該帆型板，應用上述優化展開算法獨立運算20次，可以獲得多組計算方案，剔除支配解后形成新的解集合.應用AHP法對多組展開方案機型選擇，最終獲得方案.AHP法是美國運籌學家 Saaty 等[13]提出來的一種定性分析和定量分析相互結合的評價決策方法.通過建立問題的層次結構模型、形成各層的判斷矩陣、進行層次單排序及一致性檢驗、進行層次總排序及一致性檢驗4個步驟來完成權值的確定.

(14)

采用AHP法在非支配解集中選取最終的展開方案，輸入AHP法的目標權重矩陣，本例輸入值如式(14)所示，計算所得的3個目標對應的權重為[0.549 9,0.240 2,0.209 8]，選擇出最終方案為左端點坐標(1.20×105, 2.98×103, 1.93×104)，右端點坐標(1.34×105, 2.91×103, 1.91×104),以及縱向基準線為11號肋骨，該方案的面積誤差為 0.026 5%，邊緣線性為 0.662 8，平均應變能為 9.04×10-4.該方案的最終展開圖如圖5所示.

圖5 展開平面圖Fig.5 Expansion plan

5 結語

本文針對船體三維曲板展開問題，提出基于單元等長的展開方法，并基于該方法建立船體三維曲板展開優化問題的數學模型.以面積誤差、平均應變能和邊緣線性為目標，應用MOMA對曲板展開問題進行了多目標優化，通過與測地線法進行對比驗證了該優化算法的有效性；通過設立對照算法試驗，驗證了算法中局部搜索算子和啟發算子的有效性.考慮了船體曲板展開的后續工藝環節設置3個優化目標函數，所獲得的展開方案是綜合考慮板材號料套料和板材成形工藝需求的結果，為船廠無余量造船進程中的曲板展開放樣提供一定的參考.