有限水深海浪背景下船舶尾流感應電磁場數值模擬?

王向坤， 李予國,2??， 李建凱， 朱心宇

(1.中國海洋大學海洋地球科學學院， 海底科學與探測技術教育部重點實驗室， 山東 青島 266100；2.青島海洋科學與技術試點國家實驗室， 海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室， 山東 青島 266237)

海洋電磁技術是一種新興的海洋地球物理探測手段，在海洋油氣資源勘探、海底天然氣水合物調查和海底地質結構研究等方面的應用前景廣泛而巨大。在海洋電磁探測中，通常以船舶作為載體，用于海底電磁采集站的釋放和回收以及海洋電磁發射源的拖曳等。船舶在海水中航行會引起周圍海水運動產生尾流，海面也常伴生海浪，它們因切割地磁場而產生感應電磁場。該類感應電磁場是海洋電磁探測的主要噪聲干擾，忽略此類噪聲可能會對海洋電磁探測方法的應用帶來不利影響。此外，隨著現代科技的發展，船舶隱身性能越來越得到重視，使得船舶的特征信號難以捕捉，船舶尾流由于其難以消除成為一種新的船舶信號源，海浪是船舶尾流信號的主要噪聲來源，實際情況下，船舶在海表面航行時是以海浪為背景的而不是平靜海面。因此，研究海浪感應電磁場和尾流感應電磁場的特征差異以及海浪背景下的尾流感應電磁場模擬方法，具有理論和現實意義。

海浪運動感應電磁場的研究始于二十世紀五、六十年代。Weaver[1]基于表面波理論建立了二維無限水深海浪感應磁場模型，模擬結果表明感應磁場大小與海浪的波高和波長有關。Groskaya等[2]導出了淺海表面重力波感應磁場的解析解。Chaillout等[3]利用有限元方法獲得有限水深海浪感應電磁場數值解，為采用實測離散海浪速度模擬感應電磁場奠定了基礎。張自力等[4]分析了二維無限水深海浪感應磁場的頻譜特征。朱曉建等[5]將不同頻率的海浪感應磁場疊加，得到了三維無限水深多頻海浪感應磁場響應。張寶強[6]采用直接微分法計算三維有限水深單頻海浪感應電磁場。林智恒等[7]用畢奧薩法爾定律求解二維海浪感應磁場。周春等[8]用格林函數法求解海浪感應磁場。Yaakobi等[9]討論了三維有限水深多頻海浪感應磁場在空氣中沿水平方向的變化規律。目前三維有限水深海浪感應電磁場的研究尚不完善。比如，單一頻率海浪感應電磁場的研究較多，實際上海浪是一種多頻海水運動，研究和分析多頻海浪感應電磁場模擬方法及其特征更符合實際情況，這方面的研究工作有待深入。

開爾文尾流是船舶在海平面航行時引起的一種海水擾動(見圖1)，其由向船后方傳播的橫斷波以及往四周輻散的擴散波組成，兩者相干涉形成“V”形區域的邊界，稱為開爾文臂[10]。Dan[11]建立了無限水深水面船舶和水下航行器尾流感應電磁場模型，結果表明尾流感應電磁場是可測的。Zou等[12]探討了航空磁測尾流感應磁場的可行性。Yaakobi等[9]等導出了有限水深水面船舶感應磁場在空氣層中的表達式。張伽偉等[13-15]模擬了淺海中水面船舶和水下航行器感應電磁場響應。在尾流感應電磁場的研究中，為了簡化起見，往往只考慮邊界面上磁場切向分量連續性條件，而忽略了電場切向分量在分界面處的連續性。這會導致尾流感應電場模擬結果在不同介質分界面處不連續，以及產生較大誤差等。

圖1 開爾文尾流示意圖

在海浪背景下船舶尾流感應電磁場研究方面，朱曉建等[5]計算了無限水深條件下風浪中尾流感應磁場，但沒有考慮海底介質的影響。Yaakobi等[9]分析了有限水深條件下空氣層中海浪感應磁場和尾流感應磁場的特征差異，但只導出了空氣層中感應磁場表達式，這可用于分析航空觀測的海浪和尾流感應磁場資料。

本文對前人的研究方法進行了改進，考慮了分界面處電場連續性以及海底介質的影響，推導出新的海浪和尾流感應電磁場表達式，完善了有限水深情況下海浪感應電磁場和尾流感應電磁場模擬方法。在海浪感應電磁場模擬中，考慮到海浪的多頻性和隨機性，我們將各種頻率隨機初相位的單頻海浪感應電磁場線性疊加，得到多頻海浪感應電磁場響應，并給出了空氣層、海水層和海底介質中海浪感應電磁場表達式。本文借鑒海浪感應電磁場表達式推導方法，在求解尾流感應電磁場時應用電場連續性條件，解決尾流感應電場在邊界處不連續問題。本文模擬了有限水深海浪和尾流感應電磁場傳播特性，并分析了海浪對尾流感應磁場的影響。

1 海浪和尾流感應電磁場

考慮如圖2所示有限水深地電模型。假設空氣層、海水層和海底介質的電導率分別為σ0、σ1和σ2，相應的介電常數分別為ε0、ε1和ε2，海水層厚度為d。假定船體以恒定速度U沿x軸負方向運動，以使得尾流運動方向為x軸正方向，α為風向與x軸夾角。對于小尺度海浪運動和船舶尾流運動而言，可以假定研究區域內地磁場為一固定值，且有：

圖2 空氣-海水-海底三層地電模型

(1)

式中：F為地磁場強度；φ為地磁北極與x軸正方向的夾角；I為地磁傾角。假設海浪和船舶尾流的運動速度分別為Vw和Vs，并假定海浪和尾流之間的相互作用可以忽略，則海浪和尾流運動感應電場可以表示為E=(Vw+Vs)×(B+F)，這里B為感應磁場強度。由于地磁場強度(F)遠大于感應磁場強度(B)，于是海浪和尾流感應電場可以近似為E=(Vw+Vs)×F。海浪和尾流感應電磁場滿足如下麥克斯韋方程：

(2)

(3)

式中：μ為磁導率，本文假設所有介質層中磁導率均為真空磁導率。由式(2)和式(3)可得到海浪和尾流運動感應磁場滿足的微分方程：

(4)

在求解上述微分方程(4)之前，我們先給出三維海浪及尾流的速度場表達式。

Higgins等[16]將三維海浪視為由M×N個振幅為am,n、角頻率為ωm、隨機相位為εm,n、傳播方向與x軸夾角呈θn的正弦波線性疊加而成，于是三維海浪速度場可以表示為[13]:

(5)

式中，

(6)

(7)

(8)

以固定速度U行駛的船舶尾流速度場可以表示為[17]：

(9)

式中，

(10)

(11)

尾流速度場角頻率ω0=k0Ucosθ，尾流波數k0=(gtanhk0d/U2)sec2θ，Y(x,z)是描述船形的函數。對于細長型船體，Y(x,z)可以表示為[11]：

(12)

式中：D為船體吃水深度；l為半船長。

下面，我們分別求解三維海浪和尾流感應電磁場微分方程(4)。

海水運動感應電磁場是由海水速度場引起的，于是其感應電磁場也符合簡諧波函數形式[1]。且可以表示為：

ei(ωmt-kmxcosθn-kmysinθn+εm,n)。

(13)

ei(ωmt-kmxcosθn-kmysinθn+εm,n)。

(14)

類似地，船舶尾流感應電磁場可以表示為：

ei(ω0t-k0xcosθ-k0ysinθ)dθ。

(15)

ei(ω0t-k0xcosθ-k0ysinθ)dθ。

(16)

其中：hθ,m,n(z)和eθ,m,n(z)表示海浪感應磁場和感應電場表達式中待求解的部分；hθ(z)和eθ(z)表示尾流感應磁場和感應電場表達式中待求解部分，它們要根據速度場通過求解麥克斯韋方程確定。

海浪速度場和尾流速度場與其激發的感應電磁場之間具有相同的簡諧波函數形式，且海浪感應電磁場表達式(13)和式(14)指數項中隨機相位εm.n不參與運算，故可令：

q=q(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(17)

h=h(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(18)

e=e(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(19)

其中：q(z)代指已知項qw(z)和qs(z)；h(z)代指海浪和尾流感應磁場表達式中待求解項hθ,m,n(z)和hθ(z)；e(z)代指海浪和尾流感應電場表達式中待求解項eθ,m,n(z)和eθ(z)。將式(18)代入式(4)，可得各介質層中感應磁場微分方程的通解：

(20)

將式(20)和式(19)代入式(3)，可得感應電場表達式：

(21)

2 海浪背景下尾流感應電磁場仿真計算

本文編寫了模擬有限水深海浪背景下尾流電磁場計算程序，其流程圖如圖3所示。使用該程序可以計算有限水深海浪感應電磁場、尾流感應電磁場以及海浪背景下的尾流感應磁場。

圖3 模擬算法流程圖

考慮由空氣層、海水層和海底介質構成的三層地電模型，假設空氣、海水和海底介質的電導率分別為σ0=10-12S/m、σ1=5 S/m和σ3=0.04 S/m，空氣、海水和海底介質的介電常數分別為ε0=8.85 pF/m、ε1=81ε0和ε2=18ε0，海水厚度d=40 m。并假定地磁場強度F=5×104nT，磁傾角I=π/3，磁北與x軸夾角φ=π/4。

2.1 海浪感應電磁場

假設風速U19.5=10 m/s，風向α=π/4，選擇頻率個數和方向分割數M=N=50，即模擬海浪的頻率范圍是0.02～1 Hz。計算得到的t=0時刻海平面下方1 m處海浪感應磁場Bx分量分別沿x軸和y軸的變化曲線如圖4(a)和圖4(b)所示。由圖4(a)和圖4(b)可知：(1)感應磁場分量Bx在水平方向上基本呈等幅度變化，幅值范圍大體在±0.4nT。(2)由于風向為π/4，所以感應磁場Bx在x軸方向和y軸方向具有相似的傳播特性。圖4(c)和圖4(d)分別表示海浪感應電磁場各分量在點(x=1,y=1)處沿垂直深度變化曲線。從圖中可以看出，(1)由于空氣層、海水層和海底的電性差異，導致各介質中感應磁場衰減程度不同。空氣層中感應磁場衰減速度快于其在海水層和海底中的衰減。(2)海浪感應電場在海面處具有最大值，隨深度增大呈指數衰減。

圖4 海浪運動感應電磁場

2.2 尾流感應電磁場

假設船速U=10 m/s，半船長l=50 m，船體吃水深度D=6 m，利用本文所述程序計算得到的t=0時刻海表面下方1 m處尾流感應磁場Bx分量分別沿x軸和y軸的變化曲線如圖5(a)和圖5(b)所示。由圖5(a)和(b)可知：(1)沿x軸Bx分量曲線表現為先迅速增大，然后緩慢衰減的正弦波，其衰減速度隨著距離增大而逐漸變小，在2 km遠處量級為102pT，高于目前儀器測量的下限。(2)Bx分量沿y軸的變化曲線存在兩個極值，并且極值間隔隨x取值的增大而變大，但極值大小隨x取值增大而減小，這與尾流速度場“V”形結構有關。圖5(c)和(d)分別表示在點(x=1,y=1)處尾流運動感應電磁場沿垂直深度變化曲線。由圖可知，(1)開爾文尾流同樣為表面重力波，尾流感應磁場和感應電場最大值均出現在海面處。(2)在空氣中，尾流感應磁場在垂直方向上隨著觀測點逐漸遠離海表面按指數規律衰減，且其衰減得比在海水和海底中要快。(3)尾流感應電場水平分量在分界面處連續，這再次說明本文導出的感應電磁場的系數表達式是正確的。另外，海浪和尾流感應電磁場在垂直方向上的變化特征相似。

圖5 舶尾流運動感應電磁場

2.3 海浪背景下尾流感應磁場

下面，我們模擬有限水深海浪背景下尾流感應磁場。假設船速U=10 m/s,風速U19.5分別10,14和18 m/s，其它參數與前述相同。利用本文所述方法計算得到三種不同風速海浪背景下t=0時刻海平面下方1 m處尾流感應磁場Bx分量沿x軸的變化曲線，如圖6所示。由圖6可知：隨著風速增大，尾流感應磁場Bx噪聲變強，海浪背景下尾流感應磁場分量Bx沿x軸衰減趨勢變緩，當風速達到18 m/s時，Bx曲線基本呈等幅度變化，表明此時尾流感應磁場基本上被海浪感應磁場所覆蓋。

圖7為船速和風速分別為U=10和U19.5=10 m/s時船后方三個不同距離處與y軸平行剖面上尾流感應磁場Bx分量曲線。比較圖7和圖5(b)可知，高頻海浪感應磁場噪聲的存在使得尾流感應磁場曲線不光滑，但尾流磁場的兩個極大值仍然清晰可見。在極值點所代表的開爾文臂區域之外，尾流感應磁場易被海浪感應磁場所覆蓋，這表明海浪背景下尾流感應磁場在y方向的特征范圍是以開爾文臂的最外側為邊界的。

3 結論

本文考慮了分界面處感應電場連續性以及海底介質的影響，推導出新的海浪和尾流感應電磁場表達式，解決了尾流感應電場分界面處不連續問題，完善了有限水深情況下海浪和尾流感應電磁場模擬方法，并編寫了計算程序，實現了海浪背景下開爾文尾流感應磁場仿真計算。算例表明：

(1)當風速U19.5=10 m/s及船速U=10 m/s時，海表面處海浪和尾流運動感應磁場量級范圍是10-1～1 nT，感應電場量級范圍是10～102μV/m，海水運動感應電磁場是海洋電磁技術應用時不可忽略的干擾源。

(2)海浪感應磁場和尾流感應磁場在水平方向的傳播特征具有明顯差別，而在垂直方向上兩者變化特征相似。因此，在分析海浪背景下船舶尾流磁場信號時，需要對比分析平面觀測結果。

(3) 船舶尾流感應磁場在開爾文臂區域幅值最大，風速較小時其在海浪背景下能夠保持較好的特征，因此在研究海浪背景下船舶信號識別時，應以開爾文臂區域為重點。另外，海浪可能會對尾流感應磁場產生明顯影響，尤其是風速很大時，尾流感應磁場可能完全淹沒在海浪感應磁場中。

附錄：待定系數表達式的推導

為了求得待定系數b1，a2，b2，a3，必須利用如下邊界條件：(1)海水面(z=0)及海底面(z=-d)處感應磁場水平分量以及垂直分量連續；(2)海水面及海底面處感應磁場垂直分量對于z的偏導數連續；(3)海水面及海底面處感應電場水平分量連續。利用以上邊界條件，可以得到：

(A-1)

(A-2)

式中：

A=((δ0-δ1)(δ2-δ1)e-δ1d-

(A-3)

(A-4)

類似地，可得到：

a2x=(c1eδ1dΦx+c2Ψx)/B。

(A-5)

a2y=(c1eδ1dΦy+c2Ψy)/B。

(A-6)

b2x=(c3e-δ1dΦx+c4Ψx)/B。

(A-7)

b2y=(c3e-δ1dΦy+c4Ψy)/B。

(A-8)

式中：

B=c2e-δ1d-c4eδ1d，

在求得系數a2x，a2y，b2x，b2y后，根據電磁場邊界條件可求得系數b1x，b1y，a3x和a3y。

在求得所有待定系數后，可以得到感應電磁場表達式，然后需要將代指項還原。對于海浪感應電磁場，將表達式中的k和ω還原為海浪的波數和角頻率，將P和Q還原為通過海浪速度場qw(z)求取的Pw和Qw，在指數項加上隨機相位εm,n后進行疊加運算，可得海浪感應電磁場響應。同樣的，對于尾流感應電磁場，將表達式中的k和ω還原為尾流的波數和角頻率，將P和Q還原為通過尾流速度場qs(z)求取的Ps和Qs，然后對表達式進行積分運算，可得尾流感應電磁場響應。

在以上推導待定系數表達式的過程中，我們利用了分界面處電磁場連續性邊界條件，這保證了計算得到的尾流感應電場水平分量在邊界處連續。如果不考慮分界面處電場邊界條件時待定系數表達式中將不含有與Q有關的項。