超越負載下基于李雅普諾夫直接法的電液位置伺服系統研究*

阮 軍，金曉宏,*，黃 浩，張紹峰

(1.武漢科技大學 冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢 430081；2.武漢科技大學 機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430081)

0 引 言

在電液位置系統所承受的負載中，有一類負載的方向與執行元件的運動方向相同，此種負載被稱為超越負載。超越負載廣泛存在于挖掘機動臂下降、絞車釋放重物、液壓電梯下降等場合[1]，其工況下存在質量塊的動能轉變成執行元件回油腔中油液壓力能的過程，若執行元件的回油路無壓力，運動部件會因外負載力拖動產生強迫位移，往往會導致系統的輸出位移不能準確地跟蹤輸出指令[2]。

目前，針對超越負載作用下的系統特性與控制策略等研究日趨成熟：李鄂民[3]針對超越負載進行了分析，并總結出了3種液壓平衡方法及其各自的適用范圍；劉長年[4]提出了利用預開口流量閥或在流量閥負載腔裝上連通孔的方法，以使電液伺服系統能夠減弱強迫流量的影響；S?RENSEN K[5]提出了帶壓力補償器的平衡閥回路，以減少超越負載波動對系統的影響；范柏利[6]研究了電動機的制動特性，得出了在超越負載工況下可以克服液壓系統的速度波動；楊保香[7]在進液油路和回液油路增加了兩位三通先導式方向控制閥，以避免液壓缸真空的形成；LEE J C[8]提出了通過雙閥芯控制技術實現進出口的解耦，采用了兩級控制結構，在實現調速控制的同時提升了系統的節能特性；LIU B[9]在采用負載口獨立技術保證系統速度控制特性的前提下，提出了壓力流量復合控制策略，進一步提高了系統的穩定性能；CHENG M[10]通過反饋兩腔壓差的變化率調整了閥口開度，采用泵閥聯合控制保證了在超越負載工況下的系統可控性；HU Quan-yi[11]提出了集成電液三通減壓閥的負載敏感技術可保持閥口壓降的恒定；KIM W[12]提出了增益負載觀測器與自適應控制相結合的方法，將負載作為未知狀態進行觀測，以補償參數不確定性和時變負載對系統的綜合影響。

以上對于電液位置系統消除超越負載影響的研究，絕大多數都是在回油路上提高背腔壓力，以平衡超越負載[13]，而當液壓缸活塞已在外負載力作用下被動運動引起強迫位移時，會導致位置系統失去控制。基于Lyapunov直接法的控制器設計則具有設計簡便直觀、無需對模型進行轉換或遞推等優勢，只要確定了適合于該系統的Lyapunov函數，則可方便地推導出所需的控制律[14]。

本文將超越負載對電液位置系統的影響視為由強迫流量引起的速度擾動來處理，根據系統的誤差狀態方程提出一種形式簡單的Lyapunov函數，通過Lyapunov直接法的反演方式得到求取控制律的一般性方法，并依據Lyapunov直接法所得到的控制率，構造前向通道串聯微分控制補償器和與動力機構并聯的帶可調液阻機液補償器，以期減少超越負載對系統跟蹤性能的影響。

1 問題描述

電液位置控制系統(以下簡稱為位置系統)主要由伺服放大器、電液伺服閥、液壓缸和位移傳感器構成。

位置系統的工作原理示意圖如圖1所示。

圖1 電液位置控制系統原理示意圖

圖1中，取活塞桿向右移動為正方向，假定液壓缸沒有外泄漏，左、右兩腔初始容積相等且腔內處處壓強相等，正常情況下，位置系統利用液壓能源通過液壓缸中的活塞來驅動負載，因而負載流量的流動方向是從高壓油源到油箱，且負載壓力的絕對值永遠小于或等于能源壓力[15]。

圖1中，液壓缸左腔通高壓，右腔與回油路相通，外負載力FL方向與活塞運動方向相反，在負載壓力pL的作用下，執行件m向右運動，此時負載壓力pL與負載流量qL方向相同。如果作用在執行件上的外負載力FL突然換向，并拖動執行件以更快的速度向右運動，則右腔的壓力將升高，而左腔的壓力將降低，此時pL=p1-p2<0，出現了負載壓力pL與負載流量qL方向相反的現象，即超越負載工況。過大的超越負載作用下，容易出現位移這一被控制量不可控現象，影響位置系統的控制精度[16]。

2 系統數學模型及強迫流量分析

參照文獻[17]，在外負載力FL作用下，以電液伺服閥閥芯位移xv為輸入，液壓缸活塞桿的位移xp為輸出，可以得到如下拉氏域表達式：

(1)

式中：Kq—閥口流量增益，m3·s-1·m-1；A—液壓缸控制腔活塞的有效面積，m2；Xv—伺服閥閥芯位移，m；G1(s)—一階特征多項式；FL—活塞上的負載力，N；R1，R2，R3，R4—特征變量。

其中：

G1(s)=Kce(1+Vts/4EeKce)/A2

(2)

式中：Kce—總流量-壓力系數，m3·s-1Pa-1；Vt—液壓缸總有效容積，m3；Ee—油液有效體積彈性模量(包括液體、混入油液中的空氣及工作腔體的機械柔度)，Pa。

特征變量R1、R2、R3、R4分別為：

R1=mVt/(4EeA2)

(3)

式中：m—活塞及負載折算到活塞上的總質量，kg。

R2=R21+R22=mKce/A2+BpVt/(4EeA2)

(4)

式中：Bp—黏性阻尼系數，N·m-1·s。

R3=R31+R32+R33=1+BpKce/A2+KVt/(4EeA2)

(5)

式中：K—負載彈性剛度，N/m。

R4=KceK/A2

(6)

在超越負載工況下，外負載力FL方向與活塞運動方向相同，活塞在FL拖動下向右運動產生強迫位移，右腔體積縮小，腔內產生了附加的強迫流量，該流量導致右腔壓力在原有p2基礎上有所增加；左腔體積增大，壓力相應的在原有的基礎上有所減小，當pL=p1-p2<0時，出現負載壓力pL與負載流量qL方向相反的現象，隨著液壓缸活塞右腔的壓力逐漸升高并達到p2>ps時，回油腔流量q2繼續增加且強迫流量無法及時排出，出現q2>q1的流量不連續現象，左腔不能被充滿，形成一部分空腔，此時會出現活塞桿輸出位移對指令信號的跟蹤不連續現象。過大的超越負載會導致位置系統失去控制，其表現為動作不按指令運行。

綜上可知，超越負載引起的強迫流量是產生位置系統誤差的最主要因素，抑制強迫流量就成為提高位置系統跟蹤精度的重要任務。

根據式(1)可得出系統控制框圖，如圖2所示。

圖2 位置系統傳遞函數框圖Gc(s)—系統校正環節傳遞函數；Kpm—位移傳感器增益；Tpm—位移傳感器的時間常數；qL—負載流量；PL—負載壓力；Ka—伺服閥放大器增益，A/V；Ksv—伺服閥的流量增益，m/A；Kq—閥口流量增益，m3·s-1·m-1

由圖2可知，在超越負載情形中，FL方向與xp方向相同，液壓缸產生的強迫流量將助長活塞桿的運動，且強迫流量的大小與FL和FL的變化率有關。

式(1)中，分子的第一項表示穩態時閥芯位移所引起的液壓缸活塞的輸出位移，第二項表示FL作用所引起的活塞輸出位移的減少量。其中，分子第二項[Kce(1+Vts/4EeKce)/A2]FL又可分解為FLKce/A2和FLsVt/(4EeA2)，FLKce/A2表示FL作用在活塞上的壓差引起的活塞速度變化，FLsVt/(4EeA2)表示在FL變化時液壓缸兩腔油液體積變化引起的活塞速度變化。

在超越負載工況下，FL方向變為與活塞桿運動方向相同，進而產生強迫流量qF，其表達式為：

qF=FLKce/A+FLsVt/(4EeA)

(7)

由式(7)可知，在位置系統中，超越負載引起的強迫流量值與FL的大小和負載壓差隨時間的變化率成正比，與油液彈性模量成反比。因此，要消除超越負載對系統的影響，需要對超越負載作用下的油液體積變化時，引起的壓縮流量和泄漏流量進行補償。

3 系統問題求解

3.1 系統狀態方程

根據式(1)可得系統的狀態方程為：

(8)

其中：

a1=R4/R1=4KKceEe/(mVt)；

a2=R3/R1=(4EeA2+4BpKceEe)/(mVt)+K/m；

a3=R2/R1=4KceEe/Vt+Bp/m；

dL=FLKce/A2+FLsVt/(4EeA2)；

b=4KaKpmKsvKqEeA/(mVt)。

3.2 誤差狀態方程

由此可得：

(9)

3.3 控制律求取

此處利用Lyapunov直接法的反演方式求解系統穩定的有關項U，并將其嵌入到系統非線性方程中，以抵消或者削弱不穩定因素對系統的影響，即探尋式(9)的Lyapunov函數V(e)，并根據V(e)正定，其偏導數負定這一系統穩定條件，求出嵌入項U的表達形式。

取式(9)的Lyapunov函數為：

V(e)=[(e1+e2)2+(e1+Je3)2+(e2+Le3)2]/2

(10)

式中：J，L—非零常數。

其中：

J+L≠0

(11)

觀察式(10)可知，該函數在平衡點(0，0，0)外的點均是大于0的，因此其滿足正定條件。

對式(10)求導可得：

(12)

(13)

將其代入式(12)可得：

(14)

式(14)中第一項可能構成完全平方式，此處令其為N，即：

(15)

由此可知，當式(14)中系數滿足條件[2(J2+L2)/J+L/J-(J+2)]2=4([(J2+L2)/J-L]×(2L/J-1)時，式N恒小于0。其中：I，H—非負常數。

(16)

3.4 穩定性證明

將式(16)代入式(12)可得：

(17)

4 位置系統結構補償方案

將式(16)中的嵌入項加入式(1)所示的系統模型中，可繪制出系統的控制框圖，如圖3所示。

圖3 基于Lyapunov直接法的系統控制框圖

H1=CJ；H2=L+2/J；H3=CJ2+CL2+1/J

由式(16)可知，嵌入項可以分為兩部分，即U=U1+U2，其中：

(18)

U2=b-1[a1x1+(a2-H2)x2+(a3-H3)x3]

(19)

下面討論U1和U2的實現：

U2部分由可調液阻和一階的彈簧阻尼系統組成，此部分控制律以實物方式實現，更有利于工程應用。這里，稱U2為與動力機構并聯的帶可調液阻機液補償器(以下簡稱為機液補償器)。

以位置系統的輸出位移Xp為輸入，進出機液補償器的流量Q0為輸出，機液補償器的傳遞函數可表示為：

G0=Q0/Xp=Cc(Bp0s+K0)(Vt0s/4Ee+Kce0)/A0=
Cc[Bp0Vt0s2/4Ee+(K0Vt0/4Ee+Bp0Kce0)s+K0Kce0]/A0

(20)

式中：Bp0—機液補償器的粘性阻尼系數；K0—機液補償器的彈簧總剛度；Vt0—機液補償器的有效容積；A0—活塞有效面積；Kce0—機液補償器的總流量-壓力系數；Cc—可變液阻的液導。

設計機液補償器時，需要根據下式以選取合適的彈簧剛度K0、有效容積Vt0、可變液阻的液導Cc和活塞有效面積A0，即：

(21)

加入機液補償器后的系統控制框圖如圖4所示。

圖4 加入機液補償器后的系統控制框圖

從圖4可以看出：U2通道為負反饋，其作用點在qL處，與Kce一起直接增強了系統阻尼；通過調節可變液阻的液導，可提高系統的整體阻尼，系統的穩定性得到了改善，間接削弱了超越負載對系統的影響。

由于參數多，實現起來有困難，需要對式(16)進行必要的簡化。

筆者選用文獻[18]中的系統參數，其具體參數如表1所示。

表1 系統參數

(續表)

取系統負載剛度為K=1.2×105N/m，根據系統參數值求取式(16)的各項系數值，如表2所示。

表2 式(16)的各項系數值

由式(8)可知：

(1)系數a1中，R1表示慣性力的變化導致油液壓縮對活塞速度的影響，其數量級為10-6；

(2)系數a2中，R31表示活塞速度，其數量級為1；R32表示粘性力導致油液泄漏對活塞速度的影響，由于阻尼系數遠小于負載質量，其數量級遠小于R21；R33表示彈性力的變化導致油液壓縮對活塞速度的影響，其數量級為10-4，因此a2中起主導作用的是慣性力引起的泄漏流量與慣性力變化引起的壓縮流量的比值，即R31/R1；

(3)系數a3中，R21表示慣性力導致油液泄漏對活塞速度的影響，其數量級為10-4；R22表示粘性力的變化導致油液壓縮對活塞速度的影響，其數量級為10-9，因此a3中起主導作用的是引起活塞運動的流量與慣性力變化引起的壓縮流量的比值，即R21/R1。

故式(9)中，系數a1、a2、a3可以簡化為：a1=R4/R1=

4KKceEe/(mVt)，a2=R31/R1=4EeA2/(mVt)，a3=R21/R1=4KceEe/Vt。

上述參數的數量級經過比較化簡后，由式(19)的方程可以得到實物實現方案，如圖5所示。

圖5 并聯結構機液補償方案

機液補償器與位置系統并聯安裝，進、出油路分別與閥控缸的進、回油腔相通。

5 仿真與討論

為了討論方便，這里將筆者提出的控制策略，包括前向通道串聯微分補償器U1和機液補償器U2兩部分合在一起，稱為復合控制；利用表1所示參數，對該控制策略進行仿真，并將其結果與帶動壓反饋環節的PID控制結果進行對比。

這里筆者選擇仿真軟件為MATLAB/Simulink，采用ode23s變步長算法，并取最大步長為1×10-5s，計算相對誤差為1×10-6。

筆者在未校正、加入動壓反饋環節，采用復合控制策略下，對位置系統的Bode圖分析可知，系統采用復合控制策略后的幅值裕度為45.6 dB，相位裕度為88.9°。將該結果與加入動壓補償環節的系統進行比較(幅值裕度為36.6 dB，相位裕度為89.9°)，可知該系統的穩定性更強。

選取控制器參數如下：

H1=3.5×107，H2=3.3×105，H3=450，b=9.07×105，Gc=1，取負載剛度K=1.2×105N/m，可調液阻Cc1=Cc2=Cc=1.06×10-12m3/(Pa·s)；PID控制器參數取Kp=8，Ki=0，Kd=0；輸入指令位置信號r=0.01 m；外負載力為恒值力FL=1 000 N。

采用復合控制策略后，系統與原系統的階躍信號響應特性如表3所示。

表3 系統響應特性

由表3可知，在采用復合控制策略后，系統達到穩定狀態的時間明顯縮短，可在0.02 s內達到穩態，并且系統的穩態誤差小于0.108 1%，最大超調量為6.7%，由此可見，系統的動態性能有了明顯的提高。

在相同條件和輸入指令下，當外負載力以FL=14sin(6πt) kN的變化規律施加在位置系統上時，系統的響應曲線如圖6所示。

圖6 正弦外負載力作用下系統階躍響應

圖6中，由于正弦外負載力FL的變化率在一個周期內的絕對值變化呈由大到小再到大的趨勢，而動壓反饋環節起到的阻尼作用與FL的變化率成正比，即FL的變化率越大，動壓反饋環節對FL的抑制作用越強，因此，當正弦外負載力達到最大值時，其變化率為0，動壓反饋環節對FL幾乎不起抑制作用。

筆者提出的復合控制策略的前向通道串聯微分補償器U1部分，考慮并補償了FL及其變化率。由圖6可知，復合控制策略在FL變化時具有很強的魯棒性，系統的跟蹤誤差不超過0.37%，具有極好的跟蹤精度。

在相同參數條件下，當活塞桿以0.001 m/s的速度運動時，外負載力FL在2.5 s內的規律變化如表4所示。

表4 外負載力FL取值

通過仿真得到的系統響應曲線如圖7所示。

圖7 正負交變負載作用下系統斜坡響應

在0.4 s～0.65 s內，液壓缸兩腔壓力變化曲線如圖8所示。

圖8 液壓缸兩腔的絕對壓力

由圖(7，8)可知，在0.5 s～1 s和1.5 s～2 s兩段時間內，系統處于超越負載工況，超越負載拖動活塞桿向右位移，導致回油腔即P2腔內產生附加的強迫流量，P2腔壓力升高且強迫流量無法及時排出，此時系統動作不按指令運行；

采用復合控制策略后，伺服閥閥口快速開啟，強迫流量通過閥口排出，進而液壓缸P2腔壓力降低，并在0.02 s內穩定；同時，P1腔補油充分，壓力升高，兩腔壓差達到新的穩態值以平衡超越負載，速度穩定后的誤差小于0.183%，表明系統對超越負載具有很好的魯棒性。

6 結束語

在超越負載作用下，電液位置伺服系統的液壓缸活塞會被迫運動，并出現強迫流量的現象，針對這一問題，筆者對系統的數學模型和強迫流量表達式進行了分析，得到以下結論：

(1) 根據電液位置系統工作原理，建立了系統的三階非線性微分方程，采用Lyapunov直接法對系統穩定性進行了分析，通過Lyapunov直接法的反演方式求解了系統漸近穩定條件，給出了求取控制律的一般性方法；并構造了前向通道串聯微分控制補償器和與動力機構并聯的帶可調液阻機液補償器，使所論控制方法得到了具體的實現；

(2)位置系統運行時，機液補償器活塞桿與液壓缸活塞桿同步運動，通過調節可調液阻的液導，可提高系統整體阻尼，系統的穩定性得到改善，有效削弱了超越負載對系統的影響。與動壓反饋校正效果相比，系統在采用包含前向通道串聯微分補償器和與動力機構并聯的帶可調液阻機液補償器的復合控制后，幅值裕度和相位裕度都得到了一定的提升，分別達到45.6 dB和88.9°；

(3)采用筆者所提出的復合控制策略后，系統空載時的穩態誤差小于0.01%；在外負載力正負交變的條件下，所設計的控制律能根據容腔體積和活塞速度的變化，及時、有效地排出強迫流量，使系統能在0.02 s內達到穩態，穩態誤差小于0.183%，相較于動壓反饋校正，采用筆者所提出的控制策略，系統由超越負載引起的誤差非常小，不會出現液壓缸動作對指令信號的跟蹤不連續現象；且在外負載力變化時具有很強的魯棒性，系統響應更快、動態性能更好。