不同加工工藝圓弧齒線圓柱齒輪齒廓特性分析*

馬登秋，葉振環，吳廷強，張 旭，付 娟，閻昌國，汪玉蘭

(遵義師范學院 工學院，貴州 遵義 563006)

0 引 言

齒輪是重要機械傳動零件之一，廣泛應用在航天航空、汽車工業、船舶機械、裝備制造業等設備中。長期以來，研究人員為提高普通直齒輪的承載能力，在齒廓和齒線兩個方面對傳統齒輪做了大量的改進，發展出了許多新型傳動齒輪，圓弧齒線圓柱齒輪即為其中的一種新型傳動齒輪。該齒輪主要結構特征是齒向線為一段空間圓弧曲線，齒廓根據不同加工方法表現出一定差異。由于該齒輪具有無軸向力、傳動平穩、承載能力大等優點，其應用前景良好[1]。

圓弧齒線圓柱齒輪的加工方法主要有圓拉刀盤法、三刀頭旋轉切制法、數控滾切加工法、平行連桿加工法以及旋轉刀盤銑削加工法等。其中，采用圓拉刀盤法獲得的產品質量不穩定，且成本高[2]；采用三刀頭旋轉切制法存在效率低、精度不易保障等缺陷[3]；而采用數控滾切加工法加工過程中，其刀具后刀面和已加工齒面容易產生干涉，使得其較以加工半徑較小的齒輪[4]。

目前，針對圓弧齒線圓柱齒輪的加工方法，研究的重點主要為平行連桿加工法[5]、旋轉刀盤銑削加工法[6]，因此，有關于該齒輪的傳動特性研究也主要圍繞上述兩種加工方法展開。例如馬振群[7-8]對對稱弧形齒線圓柱齒輪失配嚙合傳動理論和制造系統進行了研究，分析了該齒輪的真實齒面接觸問題，并提出了全齒面修形的CNC加工方法；狄玉濤等[9]在嚙合干涉、軸線平行度誤差、中心距，對嚙合性能的影響方面進行了研究，并提出了齒面應力和彎曲應力計算方法和變位概念；肖華軍和王少江等[10-11]通過相關的研究工作，實現了面向制造的三維造型和快速原型制造；ALFONSO F A等[12-13]對直齒輪、斜齒輪和圓弧齒線圓柱齒輪傳動中的接觸應力和傳動誤差進行了比較，結果表明圓弧齒線圓柱齒輪具有一定優異性；CHEN Y C[14]基于有限元方法，分析了曲線齒輪加載時的接觸應力分布和傳遞誤差；此外，還有TSENG R T[15-16]，ZHANG X G[17]，魏永峭[18-19]等人，對圓弧齒輪的三維建模、根切條件、傳動誤差、潤滑等方面進行的相關研究，以上這些研究成果在一定程度上推動了該齒輪的實際工程應用。

眾所周知，根據齒輪加工方式的不同，齒輪齒廓的曲線也會有所區別：一種是任何截面齒廓都是漸開線；另一種是齒廓中截面是漸開線，其余任意截面齒廓為雙曲線，整個齒面齒廓是變雙曲線族。

因加工方法不同而導致的齒廓差異問題，目前尚無有針對性的研究，這對該齒輪的修形、潤滑等方面的深入研究形成了一定的制約。

因此，筆者以采用主要加工方法(平行連桿加工和旋轉刀盤銑削加工)獲得的圓弧齒線圓柱齒輪為研究對象，分析該齒輪兩種加工法的工藝特點，推導出兩種工藝所獲得的齒輪的齒面和齒廓方程，進而獲得齒輪齒厚方程，并分析設計參數對齒厚偏差的影響，以期為齒輪系統的降噪、潤滑、故障診斷及齒廓修形等方面的研究提供理論基礎。

1 平行連桿與旋轉刀盤銑削工藝

圓弧齒線圓柱齒輪兩種加工工藝的示意圖如圖1所示。

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪兩種加工工藝示意圖

1.1 平行連桿加工工藝

圓弧齒線圓柱齒輪的平行連桿加工裝置如圖1(a)所示；其機構運動關系簡圖如圖1(b)所示。

由圖1可知：齒面加工刀具安裝在從動桿件上，主動桿件由動力源帶動做旋轉運動，主動桿件上的動力經平行四邊形機構連架桿傳遞到從動桿件上；整個加工過程中，刀具前刀面保持不變，即可以保證所加工的圓弧齒線圓柱齒輪凹/凸齒面齒線半徑相等，理論上使得齒輪具有等齒厚、等齒寬和全齒寬接觸的特點。

但該方法也存在一定的缺點，例如平行四邊形機構存在剛度低、動態穩定性差、無法實現高速切削等。

1.2 旋轉刀盤銑削加工工藝

旋轉刀盤銑削加工圓弧齒線圓柱齒輪示意圖如圖1(c)所示。該加工裝置中，旋轉刀盤上裝有若干銑削刀片；實際加工時，齒輪毛坯以給定速度旋轉做進給運動，通過調節旋轉刀盤和齒輪毛坯的速度匹配關系，即可實現圓弧齒線圓柱齒輪齒面的展成運動。

已有相關的理論研究表明：

基于旋轉刀盤銑削加工出的圓弧齒線圓柱齒輪，在不同位置測量時，存在齒槽寬或者齒厚不等的現象，在齒線方向形成鼓形齒，對安裝誤差不敏感，易形成動壓油膜，有良好的潤滑性能；

而且該種齒輪加工方法的切削效率高，通過對現有機床進行改造或設計專用機床，即可較容易地實現對該種齒輪的切削加工。

2 圓弧齒線圓柱齒輪齒厚計算方程

2.1 平行連桿加工齒輪齒廓方程

文獻[20]建立了采用平行連桿機構加工圓弧齒線圓柱齒輪齒面的成型原理圖。在其成型原理圖上，齒輪齒面∑由齒輪端面漸開線齒廓Th沿著基圓柱齒向線掃描而成，齒輪齒面方程也由此建立。

齒面方程為：

(1)

式中:b—齒寬；rb—基圓柱半徑。

由齒面方程可知：基于平行連桿機構加工的圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程z坐標是獨立參數，當z坐標時確定時，即可確定位置角β，進而得到齒廓方程，即：

(2)

若要表示出另一側齒面∑′或者齒廓時，只須選取坐標系，重復齒面方程∑或齒廓的推導過程即可。

2.2 旋轉刀盤銑削加工齒輪齒廓方程

為建立圓弧齒線圓柱齒輪的精確三維模型，研究齒面重構及齒輪結構特征，文獻[21]建立了基于旋轉刀盤銑削齒輪加工的圓弧齒線圓柱齒輪齒面的方程坐標系統，并推導了齒面方程，即：

(3)

式中:x，y，z—齒面坐標，其中z軸為齒輪軸線方向；R1，RT—同平行連桿加工齒輪齒面方程；θ—加工過程中刀具從齒坯中截面到端面的轉角，順時針為正，逆時針為負；φ1—齒輪毛坯轉角，順時針為正，逆時針為負；α—刀具壓力角；u—刀具曲面上點沿錐曲面母線距離參考點的位移。

當b=0和θ=0時，將其代入式(3)，即得到齒輪中截面時齒廓方程為：

(4)

當齒輪齒寬b≠0和θ≠0時，有下列關系式：

(5)

結合式(3，5)，齒輪毛坯轉角φ1可表示為：

(5)

此時，圓弧齒線圓柱齒輪的齒廓方程可表示為：

(6)

2.3 弧齒圓柱齒輪齒厚計算

圓弧齒線圓柱齒輪齒的廓特性對齒輪設計、齒廓修形、潤滑、強度等有重要影響，但現有的相關研究文獻目前只表明，平行連桿加工和旋轉刀盤銑削加工齒廓特性有差異，并未對其特點進行過準確的對比分析，因此，基于以上原因，有必要對圓弧齒線圓柱齒輪的齒廓特性進行深入的研究。

通常，圓弧齒線圓柱齒輪齒可分為兩類：法向齒厚和周向齒厚。此處，筆者主要討論周向齒厚。

任意截面(垂直于軸線)的齒厚計算示意圖如圖2所示。

圖2 任意截面齒厚計算示意圖

圖2中，A和B為齒廓上兩點，A和B之間的弧長即為齒厚。

當已知A和B的坐標時，根據幾何關系，可以通過計算得到該截面的齒厚，即：

(7)

式中：(xA，yA)，(xB,yB)—A和B點在截面內的坐標；S′—A和B之間弦長；Rk—齒根和齒頂之間任意一圓的半徑。

3 設計參數對圓弧齒線圓柱齒輪齒廓特性的影響

圓弧齒線圓柱齒輪結構設計參數主要有壓力角、齒寬、齒線半徑、模數等。由于齒輪模數和壓力角有相關標準規定，此處主要討論設計參數齒寬和齒線半徑對對齒輪齒廓特性的影響。

采用平行連桿機構加工圓弧齒線圓柱齒輪時，在m=4，z=31，齒線半徑分別為100 mm和400 mm的情況下，不同齒寬處齒厚的變化曲線如圖3所示。

采用旋轉刀盤銑削加工圓弧齒線圓柱齒輪時，在m=4，z=31，齒線半徑分別為100 mm和400 mm的情況下，不同齒寬處齒厚的變化曲線如圖4所示。

圖3 平行連桿機構加工齒輪齒厚

圖(3，4)中，B=15 mm表示齒廓測量截面距離齒輪中截面的距離為15 mm，其他以此類推。

由圖(3，4)可知：

(1)基于平行連桿機構加工的圓弧齒線圓柱齒輪齒厚在不同齒線半徑、不同齒寬時齒厚基本無變化，這與齒輪該種加工成型原理相吻合，原因在于該種加工方法齒輪各截面齒廓均為漸開線，齒厚不變；

(2)對于旋轉刀盤銑削加工的圓弧齒線圓柱齒輪，測量截面越遠離齒輪中截面，齒厚越小，特別是齒線半徑較小時，齒厚的改變量大。原因在于該種加工方法齒輪在中截面為漸開線齒廓，其他截面齒廓為雙曲線的包絡線。

為準確且清晰對比分析兩種加工方法所得齒輪齒廓的差異特性，筆者定義平行連桿加工齒輪齒厚減去旋轉刀盤銑削加工齒輪齒厚為齒厚偏差e，在此基礎上，分別分析齒線半徑和齒寬對齒厚偏差的影響。

3.1 齒寬對齒厚偏差的影響

取齒輪m=4，z=31，RT=100 mm、200 mm、300 mm、400 mm時，分別在中截面和距離中截面15 mm、30 mm及45 mm的截面內測量輪齒齒厚，并求取齒厚偏差，其變化趨勢如圖5所示。

由圖5可知：

(1)齒寬對圓弧齒線圓柱齒輪齒厚偏差有較大影響，總的趨勢是齒厚偏差隨齒寬增大而增大。該結果表明，基于旋轉刀盤銑削加工的圓弧齒線圓柱齒輪從中截面到端面輪齒逐漸變薄，齒輪承載能力下降；

(2)由于齒輪齒厚逐漸變薄，使得齒面靠近端面部分不接觸，如果設計時取較大齒寬，必將造成材料浪費，增加經濟成本；

(3)在同一截面內，從齒根到齒頂，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變薄，特別是在齒線半徑較小且遠離中截面時，變化趨勢越明顯；但在中截面附近時，齒厚偏差幾乎為0。

圖5 齒寬對齒厚偏差的影響

3.2 齒線半徑對齒厚偏差的影響

在相同參數下，筆者求取在同一截面不同齒線半徑的齒厚偏差，其變化趨勢如圖6所示。

圖6 齒線半徑對齒厚偏差的影響

由圖6可知：齒線半徑對圓弧齒線圓柱齒輪齒厚偏差在不同截面有不同的影響。在中截面，齒厚偏差基本為零，原因在于對于平行連桿機構加工齒輪，其齒面由漸開線方程沿齒向線掃略而得，在任意截面內齒廓均為漸開線；對于旋轉刀盤銑削加工齒輪，無論齒線半徑取值如何，輪齒中截面均為漸開線齒廓。

當選定相同漸開線方程基本參數后(齒輪基本參數)，兩種加工方法齒輪齒厚大小相同，因此基本偏差基本為0，圖6(a)中的曲線波動原因在于存在測量誤差。

在其他任意截面內，隨著齒線半徑的增加，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變薄，當齒線半徑較小時，甚至出現輪齒兩側齒廓曲線相互干澀的現象(齒廓曲線相交)。

圓弧齒線圓柱齒輪齒廓如圖7所示。

圖7 圓弧齒線圓柱齒輪齒廓

由圖7可知：齒線半徑接近或小于齒輪寬度時，基于旋轉刀盤銑削加工的齒輪可以完全被切斷，因此，此時將無法對圓弧齒線圓柱齒輪實現正常的銑削加工。

4 結束語

筆者以圓弧齒線圓柱齒輪為研究對象，分析了圓弧齒線圓柱齒輪的兩種常見加工方法(平行連桿加工法和旋轉刀盤銑削加工法)，并基于上述兩種加工方法分別給出了圓弧齒線圓柱齒輪的齒面和齒廓方程，進而推導了齒厚計算表達式，分析了設計參數對齒厚偏差的影響。

研究的主要結論如下：

(1)平行連桿加工齒輪各截面齒廓均為漸開線，齒厚不變；旋轉刀盤銑削加工齒輪中截面為漸開線，其他截面為雙曲線，齒厚從中截面到端面逐漸減小；

(2)齒寬對齒厚偏差有較大影響，齒厚偏差隨齒寬增大而增大。在同一截面內，從齒根到齒頂，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變薄；

(3)在中截面，齒線半徑對齒厚偏差無影響；在其他截面，隨著齒線半徑的增加，齒厚偏差逐漸增大，齒厚逐漸變薄。當齒線半徑較小時，兩側齒廓甚至相互干澀。