基于條紋薄膜的非接觸式振動測量和模態分析系統研究*

徐宗煌，鐘舜聰，林云粦，劉 峰，陳 曼

(福州大學 機械工程及自動化學院，福建 福州 350108)

0 引 言

聲音的頻率在20 Hz-20 kHz之間。現階段的聲音測量方式主要有聲壓測量、聲強測量和聲功率測量等[1]。其中，最常見的是通過電學麥克風的形式進行聲壓的測量，其工作原理是通過空氣中的振動壓力波，將聲音信號轉化為電信號[2]。

電學麥克風雖然具有較高的靈敏度，但是存在電信號的轉換，會受到外界電磁信號的干擾[3-5]。隨著光纖傳感技術的發展，人類開始利用以光波為載體的光纖麥克風來測量聲壓[6]，其主要原理是利用聲音信號的聲壓作用改變反射面與光學鏡頭之間的距離，使得光電探測器上接收到的光強信號發生改變，從而感知聲壓的大小及變化[7-8]。由于其是光纖結構，具有良好的抗外界磁場信號干擾的性能，然而光纖麥克風對振動膜的要求比較高，不但需要高反射率、制備方便的振動膜，而且容易受到外界環境和光源穩定性的影響，精度不高。此外，其光纖結構裝置和解調系統相對比較復雜[9]。

傳統的振動測量方法是利用加速度傳感器，但是因為傳感器有自身的質量，在一定程度上會影響結構模態分析，特別是測量薄壁結構的模態分析時。

因此，筆者提出一種條紋薄膜實現對非接觸式的振動測量方法。

1 薄膜振動的理論基礎

一般來說，利用麥克風測量聲音信號，其主要功能是測量聲音的大小和頻率，其分別是通過振膜的振幅和振動頻率來表現[10-11]。由于振膜起作用的主要是一階振動模態[12]，這里推導振膜的一階諧振頻率的公式。

1.1 圓形振膜振動理論

假設圓形振膜的邊緣被固定在支架上時，靜止狀態下其各處的張力為T0(N·m-1)，當聲波傳至振膜時，振膜在聲壓的作用下會產生振動，振膜中心位置的振幅最大，而邊緣位置的振幅最小為0。由于薄膜振幅很小，振膜振動時其邊緣處的張力仍為T0，圓形振膜振動示意圖如圖1所示。

圖1 圓形振膜振動示意圖

振膜振動時對其邊緣的作用力，即回復力F1為：

F1=-2πRT1=-2πRT0sinα=-2πT0s

(1)

式中：R—振膜的半徑；α—振膜振動時張力方向與其靜止狀態的直徑夾角；s—振膜的振幅大小。

振膜振動時受到的空氣阻力F2為：

(2)

式中：η—空氣的粘滯系數。

不妨假設聲壓為P=P0sinωt，則振膜所受到的聲壓作用力F3為：

F3=(πR2)P0sinωt

(3)

根據牛頓第二定律，聯立式(1～3)可以得到振膜振動的微分方程[13]為：

(4)

式中：σ—振膜單位面積的質量，且滿足σ=hρ；h—振膜的厚度；ρ—振膜材料的密度。

化簡可得：

(5)

則其一階諧振頻率為：

(6)

由式(6)可知，圓形振膜的一階諧振頻率與其半徑、厚度成反比關系，振膜半徑越大、厚度越厚，則一階諧振頻率越低，容易出現共振現象，導致聲諧振頻率越高，這樣薄膜的頻率響應特性越好。

1.2 方形振膜振動理論

由矩形薄膜自由振動的基本原理[15]可知，方形振膜的一階諧振頻率為：

(7)

式中：a—方形振膜的邊長；m,n—正整數，表示方形振膜振動的節線數。

若令m=n=1，即可得到方形振膜的最低一階諧振頻率為：

(8)

2 條紋位移測量原理

條紋位移測量是利用高速相機成像，通過條紋的密度變化提取振動的位移信息。筆者將條紋附在薄膜表面，形成條紋薄膜。薄膜在聲壓的作用下，其表面的條紋密度會隨著振動發生變化，條紋的頻率信息也會發生變化。

由于薄膜四周被固定，其表面中心位置條紋的中心線密度變化呈現微小的線性變化，但考慮到薄膜中心位置的位移足夠小，筆者近似地將薄膜振動視為平動變化，于是可以通過傅里葉變換對薄膜表面的條紋信號進行分析[16]。同時，結合頻譜校正方法對條紋信號的頻率進行校正[17]，得到條紋信號的真實頻率信息，實現薄膜振動信息的提取，從而實現低頻振動的測量，如圖2所示。

圖2 條紋位移測量原理圖A-條紋的實際長度；A′-條紋初始位置的成像長度；D-物距；F-像距，即透鏡與成像平面之間的距離；ΔA-條紋與初始位置之間的位移；對應的成像長度

由成像原理可得：

(9)

(10)

由透鏡的成像關系可得：

(11)

(12)

式中：f—透鏡焦距；M—成像的放大因子。

由式(9～10)，可知

D=f(1+M)

(13)

聯立以上各式，可得薄膜在t時刻振動的振幅為：

(14)

式中：a(t)—條紋在t時刻的成像條紋密度；a0—條紋初始位置對應的成像條紋密度。

由式(14)可知：在透鏡焦距f與成像的放大因子一定的情況下，只需要知道初始位置的成像條紋密度及其在t時刻的密度變化，即可得到薄膜在t時刻振動的振幅。

3 條紋薄膜的性能研究

3.1 COMSOL仿真模型

筆者利用COMSOL Multiphysics建立仿真模型。該軟件具有振動聲學的接口，可以自定義點聲源激勵，薄膜在點聲源聲壓的作用下將產生振動。模型可被簡化為一個包含壓力聲學和殼單元2個物理接口的聲殼耦合問題；同時筆者將薄膜簡化為一個邊界固定的圓形外殼，在其周圍定義一個球形空氣域，球形域內部包含一個點聲源。

筆者對球形域邊界應用球面波輻射條件，這樣可以將整個聲場視為沒有界限，有限元仿真模型示意圖，如圖3所示。

圖3 有限元仿真模型示意圖

3.2 實驗裝置

本研究采用模擬仿真與實驗分析相結合的方法，研究薄膜的形狀、材料、厚度、直徑大小、條紋打印質量、條紋密度以及條紋采樣分辨率對測量性能的影響。

條紋薄膜性能實驗裝置如圖4所示。

圖4 條紋薄膜性能實驗裝置圖

圖4中，采用型號為 PCO.1 200 hs的CMOS高速相機，將其固定在三腳架上，調整成像鏡頭正對著條紋薄膜。薄膜通過夾具固定在工作臺上，采用揚聲器激勵，揚聲器由信號發生器(Agilent 33220)輸出激勵信號的幅值和頻率進行控制。

3.3 COMSOL仿真與實驗結果分析

3.3.1 形狀對測量性能的影響

通常情況下，大多數振動膜都是設計成圓形和方形結構[18]。為了研究這兩種薄膜形狀對低頻聲音測量性能的影響，筆者先運用COMSOL軟件分別對直徑φ=50 mm、邊長a=50 mm、厚度h=70 μm的圓形和方形的PET薄膜進行應力分析，接著利用圖4實驗裝置，采用0～250 Hz的掃頻信號對兩種形狀薄膜進行激勵，掃頻時間為10 s，結果如圖5所示。

圖5 兩種形狀薄膜的應力分布與頻率響應曲線

薄膜參數：彈性模量E=2.96 GPa；泊松比v=0.37；密度ρ=1 420 kg/m3。

從圖5可知：(1)圓形薄膜表面沿圓周方向應力分布均勻，而且在垂直圓周方向的應力分布呈階梯狀變化，無應力集中點；(2)方形薄膜表面的應力分布不均勻，且在薄膜四周邊沿的中間位置處容易產生應力集中；(3)兩種形狀薄膜的頻率響應范圍均在0～200 Hz左右，而圓形薄膜的響應幅值比方形薄膜的大，說明圓形薄膜的頻響效果更好。因此，筆者將條紋薄膜設計成圓形。

通過式(6～7)、COMSOL有限元仿真和實驗，得到的圓形和方形薄膜的一階諧振頻率結果，如表1所示。

表1 圓形和方形薄膜的一階諧振頻率結果 (單位：Hz)

由表1可知：兩種薄膜的理論、仿真和實驗一階諧振頻率基本吻合，驗證了仿真與實驗結果的準確性。

3.3.2 材料對測量性能的影響

為了研究不同材料、厚度和直徑大小的振膜對測量性能的影響，筆者采用圖4實驗裝置，采用條紋密度為10周期/cm、直徑為φ=40 mm、厚度為h=85 μm的PET膜和雙膠紙；雙膠紙的參數如下：彈性模量E=634 MPa，泊松比v=0.34，密度ρ=1 400 kg/m3，分別用0～250 Hz的掃頻信號激勵，高速相機的采樣頻率為fs=2 kHz。得到的結果如圖6所示。

圖6 不同材料、厚度和直徑的薄膜頻率響應曲線

圖6可知：不同材料的振膜頻率響應曲線不同；PET薄膜的響應幅值比雙膠紙的大，雙膠紙的響應幅值最高不超過0.025。這說明用雙膠紙制作條紋薄膜，達不到低頻聲音的測量效果。

同理，分別通過式(6)、COMSOL有限元模擬仿真和實驗，得到PET薄膜和雙膠紙的一階諧振頻率結果，如表2所示。

表2 PET薄膜和雙膠紙的一階諧振頻率結果(單位：Hz)

由表2可知：PET薄膜和雙膠紙的理論、仿真和實驗一階諧振頻率基本吻合。結合圖6實驗結果，筆者利用PET薄膜制作條紋薄膜。

3.3.3 厚度對測量性能的影響

振膜的一階諧振頻率會隨著其厚度的變化而變化，因此筆者采用條紋密度為10周期/cm，直徑為φ=40 mm，厚度分別為85 μm、70 μm和50 μm的PET薄膜，用0～500 Hz的掃頻信號激勵，高速相機的采樣頻率為fs=2 kHz，以研究不同厚度對測試性能的影響。

由圖6(b)可知：隨著振膜厚度的減小，其一階諧振頻率逐漸增大。分別通過式(6)、COMSOL有限元模擬仿真和實驗得到3種不同厚度下PET薄膜的一階諧振頻率結果，如表3所示。

表3 85 μm、70 μm和50 μm薄膜的一階諧振頻率結果 (單位：Hz)

由表3可知：不同厚度下PET薄膜理論、仿真與實驗所得到的一階諧振頻率基本吻合。

因此，在其他條件一定的情況下，應盡可能地選擇厚度薄的振膜，以得到更寬的頻率響應范圍。

3.3.4 直徑大小對測量性能的影響

同樣，由式(6)可知：振膜的一階諧振頻率會隨著其直徑大小的變化而變化，采用條紋密度為12周期/cm，厚度為h=70 μm的PET膜，直徑分別為30 mm、40 mm和50 mm的PET薄膜，分別用掃頻信號激勵，高速相機的采樣頻率為fs=2 kHz，以研究不同直徑大小對測試性能的影響。

由圖6(c)可知：隨著半徑的增大，其頻率響應范圍逐漸減小，且頻率響應范圍均不低于200 Hz。而且，隨著直徑的增大，薄膜的響應幅值不斷增大，即頻率響應的效果逐漸提高。

分別通過式(6)、COMSOL有限元模擬仿真和實驗得到不同直徑大小PET薄膜的一階諧振頻率結果如表4所示。

表4 30 mm、40 mm和50 mm薄膜的一階諧振頻率結果 (單位：Hz)

由表4也可直觀看出，不同直徑下PET薄膜理論、仿真與實驗所得到的一階諧振頻率基本吻合。

本研究設計的條紋薄膜直徑為φ=50 mm，這樣既能滿足一定的頻率響應范圍，同時又能保證薄膜頻響效果。

3.3.5 條紋打印質量對測量性能的影響

如果相機拍攝的條紋信號存在噪聲，則會影響圖像的識別精度，進而影響薄膜振動信息的提取精度，因此，應盡量減小由于薄膜表面初始條紋的打印質量不高引入的噪聲。筆者利用MATLAB編寫的條紋生成函數生成條紋，采用噴墨打印機將生成的條紋打印在PET薄膜表面，以減小自身引入的噪聲，在一定程度上提高了條紋圖像的識別精度和薄膜振動信息的提取精度。

3.3.6 條紋密度對測量性能的影響

筆者采用圖4所示的實驗裝置，得到了不同條紋密度和像素點數的振膜對測量性能的影響，如圖7所示。

圖7 不同條紋密度與像素點數的薄膜中心位置振動位移圖

在相機能夠分辨條紋的情況下，筆者采用直徑φ=50 mm、厚度h=25 μm的PET膜，在固定頻率f=175 Hz的激勵下，高速相機采樣頻率為fs=2 kHz，分別設置了5周期/cm、6.66周期/cm、10周期/cm以及20周期/cm等4組不同條紋密度，研究條紋密度對振膜測量性能的影響，。

由圖7(a)可知：初始條紋密度越小，在薄膜中心位置測量的位移曲線噪聲越大，相應的誤差也越大；反之，所得到的位移曲線越平滑、噪聲越小，測量精度也越高。

綜上所述，所研究的條紋薄膜參數為：直徑為φ=50 mm、厚度為h=50 μm的圓形PET薄膜；條紋周期密度為20周期/cm的正弦條紋。

3.3.7 條紋采樣分辨率對測量性能的影響

通常相機中圖像傳感器的物理尺寸和像素分辨率是固定的。由圖2和式(9)可知：當條紋薄膜的密度和長度一定時，對于固定的透鏡，條紋在高速相機上的成像范圍隨著物距D的增加而減小。

為了研究條紋采樣分辨率對條紋薄膜測量低頻聲音的影響，筆者采用條紋密度為20周期/cm、直徑φ=50 mm、厚度h=70 μm的PET膜，在固定頻率f=205 Hz的激勵下，高速相機采樣頻率為fs=2 kHz，研究像素點數N分別為70、270、470和670的薄膜中心位置振動的測量結果。

由圖7(b)可知：對于同一密度條紋，隨著相機像素點數N的增加，所得到薄膜中心位置的振動位移曲線越平滑，測量精度也越高。因此，在實際測量中，應使盡量多的像素點用于薄膜條紋的成像，以提高測量精度。

4 條紋薄膜在梁模態分析中的應用

為了驗證條紋薄膜能有效地測量低頻聲音，筆者將所研究的條紋薄膜應用在橫梁的模態分析中，進行實驗驗證。

筆者搭建的實驗裝置如圖8所示。

圖8 橫梁模態分析實驗裝置圖

分析結果如圖9所示。

圖9 橫梁振動模態分析結果

實驗中，筆者采用的橫梁尺寸為500 mm×40 mm×1.2 mm，其一端固定在工作臺上，另一端固定在激振器(TIRA GmbH，德國)的輸出端，激振器的振動幅值和頻率由信號發生器(Agilent 33220)輸出一段時長為10 s，功率為500 mV，頻率0～150 Hz的掃頻信號，并經過功率放大器后再輸入激振器中。

首先，筆者通過COMSOL Multiphysics有限元模擬仿真，得到橫梁的前三階共振頻率分別為f1=24.218 Hz、f2=66.765 Hz、f3=130.99 Hz。實驗中，將條紋薄膜通過夾具放置在距離激振器一端5/7位置，利用采樣頻率為fs=2 kHz的CMOS高速相機進行采集，得到條紋薄膜中心位置的振動位移和頻率響應曲線。

由圖8可知：利用條紋薄膜測量得到橫梁的前三階共振頻率分別為f1=24.36 Hz、f2=65.80 Hz、f3=130.22 Hz，與仿真結果基本吻合，從而驗證了所設計的條紋薄膜對低頻聲音能進行準確性測量。

5 結束語

為了避免傳感器自身重量影響結構的模態參數，筆者提出了基于條紋薄膜的測量理論和方法，以實現非接觸式振動測量；結合有限元模擬仿真和實驗分析、探討了薄膜的形狀、材料、厚度、直徑大小等因素對測量性能的影響；利用傅里葉變換，對薄膜表面的條紋信號進行了分析，并結合頻譜校正方法對條紋頻譜信號進行了校正，研究了低頻振動測量的條紋薄膜；其次，筆者將條紋薄膜應用在梁結構的模態分析中。

實驗結果表明：利用條紋薄膜測量得到橫梁的前三階固有頻率與仿真結果基本吻合；該測量方法簡單有效，具有很好的工程應用前景。