基于Ritz級數法滾珠絲杠的混合模型研究*

王 娜，姜寶華*，宗成國

(1.青島黃海學院 智能制造學院，山東 青島 266427；2.山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590)

0 引 言

目前，滾珠絲杠廣泛應用于數控機床的進給系統中。然而當系統加速度較高時，進給系統會產生振動，影響機床的加工質量及精度。因此，研究絲桿傳動系統的建模，并對系統提出有效的補償尤為重要。

常用建模方法中，集中參數法相對簡單，但不能完整表達系統振動特性；有限元法較為全面但模型復雜，所含矩陣計算量大。

近年來，混合模型法的研究受到了業界的廣泛關注。OKWUDIRE等[1]使用混合模型方法，得出了包含軸向、扭轉及彎曲向的絲桿剛度矩陣。VICENTE等[2]通過Ritz級數法，對絲桿傳動系統的軸向、扭轉振動進行了建模。PISLARU等[3]通過混合模型，并考慮滾珠絲杠的分布力、阻尼以及摩擦和間隙等特性，通過仿真得到了與實驗結果大體一致的結果。張會端等[4]將系統中的絲桿簡化為旋轉Timoshenko梁，全面地考慮了移動力、預拉伸力及陀螺效應等因素對滾珠絲杠振動模態的影響，設定絲杠兩端均為為彈性支撐，推導出了絲桿的振動方程，在改變系統參數的情況下對絲桿彎曲振動模態的變化進行了分析，但缺乏對絲桿的軸向及扭轉振動模態的研究，并且沒有進行實驗驗證。目前，該領域的研究大多忽略絲杠的彎曲振動，并且關于工作臺和絲桿的參數變化對絲桿振動影響的理論和實驗研究很少。

筆者提出一種高速滾珠絲杠傳動系統的混合模型方法，通過建立連續體模型來描述該系統的振動特性，以及絲桿在承受移動載荷時的動力學特性。

1 滾珠絲杠系統力學分析及建模

滾珠絲杠傳動系統結構示意圖如圖1所示。

圖1 滾珠絲杠傳動系統示意圖

圖1中，該系統采用了單邊支撐法，伺服電機與滾珠絲杠由聯軸器連接，使得電機可以帶動絲桿旋轉，絲杠兩端分別由兩個不同軸承與機架固定，近電機端為角接觸軸承，另一端為深溝球軸承。該方法可避免雙邊支撐結構因熱變形從而產生的應力，因而被廣泛應用于精密絲桿的驅動系統中。絲桿的進給系統3種振動模態分別為：軸向、扭轉和彎曲。

為了滿足絲杠伺服系統在高速進給狀態下的高精度要求，電機處裝有旋轉編碼器用于反饋旋轉位置，光柵尺用于反饋工作臺的位置；低階，特別是一階的軸向和扭轉振動模態對于控制器的穩定性有很大影響。

滾珠絲杠傳動系統的受力分析模型如圖2所示。

圖2 滾珠絲杠傳動系統受力分析模型

圖2中，絲杠部分簡化為Timoshenko梁，其他構件用剛度來表示，除絲桿的軸向和扭轉振動之外，還考慮了彎曲振動。

模型參數含義簡介如表1所示。

表1 模型參數含義簡介

1.1 建模

Ritz級數法是通過級數的展開式來描述位移x的依賴性，級數的系數為時間t的函數，t未知。以功率平衡為基礎對系統進行理論建模，可導出描述質量、剛度、阻尼的矩陣和廣義力。

公式參數含義簡介如表2所示。

表2 公式參數含義簡介

1.1.1 軸扭耦合振動模型

使用Ritz級數描述絲杠的軸向位移和扭轉位移如下：

(1)

兩個方向的振動通過絲杠螺母耦合，δn表達式為：

(2)

總動能T表達式為：

(3)

將Ritz表達式代入式(3)中，寫為矩陣：

(4)

勢能U表達式為：

(5)

將Ritz表達式帶入式(5)中，寫為矩陣：

(6)

式中：Px—虛功，δW=PxδU(s(t),t)；L—拉格朗日量，L=T-U+δW。

推導出系統的運動方程為：

(7)

系統的廣義坐標定義為：Δ={φTutηTθm}T

(8)

(9)

綜合考慮滾珠絲杠副的內部功耗，以及其他構件阻尼，可得Pdis表達式：

(10)

(11)

力Pin表達式為：

(12)

矩陣Q為：

(13)

1.1.2 彎曲振動模型

將滾珠絲杠副系統視為沿軸旋轉對稱系統，絲桿視為Timoshenko梁。將兩端軸承視為剛體，使用Ritz級數描述系統橫向變形和轉角，即：

(14)

綜合考慮轉角以及位移的關系，Uf可寫為：

(15)

將基函數代入式(15)，并寫為矩陣：

(16)

動能Tf表達式可寫為：

(17)

將其代入基函數，并寫為矩陣：

(18)

螺母滾珠動能表達式可寫成：

Tm=

(19)

將其代入基函數，并寫為矩陣：

(20)

考慮mb，外力的虛功表達式為：

δW=mbgδV(xt,t)

(21)

將式(21)代入拉格朗日方程，則滾珠絲杠進給系統的彎曲運動方程可以表示為：

(22)

(23)

(24)

(25)

由于軸承的阻尼是系統功率消耗的主要原因，可得Pdis表達式為：

(26)

(27)

1.2 邊界條件及基函數的選擇

根據Ritz級數的原理，基函數需符合3個條件[5]：(1)線性獨立；(2)位移函數連續；(3)符合絲杠系統在物理定義上的邊界條件。若剛體可以運動，則相關基函數為Φ1=1。

1.2.1 軸向及扭轉基函數的選擇

1.2.2 彎曲基函數的選擇

絲杠彎曲所承受的外界載荷由兩部分構成[6-7]，即作用于橫截面的剪力和彎矩。在進行計算時，為避免約束力被納入輸入功率，對系統設定如下邊界條件：Φj=0，dΦj/dx=0，并分別施加于不允許發生位移與扭轉的位置。

在滾珠絲杠系統中，深溝球軸承為簡支，角接觸軸承為固定支撐。

(1)固定—簡支。其物理邊界條件表達式如下所示：

V(0,t)=V(L,t)=0;W(0,t)=W(L,t)=0
V′(0,t)=B′(L,t)=0;W′(0,t)=Γ′(L,t)=0

(28)

可得基函數為：

(29)

以此類推，即可得到其他支撐方式的結果。

(2)固定—固定。其物理邊界條件表達式如下所示：

(30)

(3)簡支—簡支。其物理邊界條件表達式如下所示：

(31)

1.2.3Ritz級數長度M的確定

使用Ritz級數法時[8]，當M→∞時，各階模態的固有頻率無限接近其系統值。其中，M的3-10級數下，不同頻率的仿真結果如表3所示。

表3 M的3-10級數下不同頻率仿真結果

表3列出了不同M值的數值仿真結果(工作臺位于xt=L/2處)。從不同長度仿真結果可知：振動頻率隨級數長度收斂，級數長度10是比較合適的選擇。

2 實驗驗證

為了驗證該模型的正確性，筆者進行了實驗。實驗驗證所使用的設備如圖3所示。

圖3 實驗驗證設備

圖3中，通過測試4個分散的滾珠絲杠系統中螺母的振動模態，即可驗證工作臺位置的改變與系統振動模態變化的關系；采用力錘為振動源，加速度傳感器排布在工作臺上，通過信號分析儀計算系統頻響；12個測量參考點平均分布于絲杠，通過移動力錘改變振動源，實現對彎曲振動(徑向振動)的測量。

模型驗證設備主要參數如表4所示。

表4 模型驗證設備主要參數

800 mm位置處頻率的響應曲線如圖4所示。

圖4 800 mm位置處頻率響應曲線

振動頻率的實驗及仿真結果如表5所示。

表5 振動頻率的實驗及仿真結果

對扭轉振動的驗證需參考文獻[9]中所做的實驗，通過筆者所建立模型仿真結果與上述文獻所得的實驗結果進行對比可知：一階振動結果分別為424 Hz和434 Hz，二階振動結果分別為1 369 Hz和1 120 Hz。

模型仿真與實驗驗證結果的對比圖如圖5所示。

由圖5可知，模型仿真的結果與實驗驗證所得振型基本一致。

綜上所述：經過實驗驗證對比，筆者所建模型可準確地描述滾珠絲桿傳動系統的動力學特性，并對該系統的振動模態進行計算。

圖5 數值仿真(上)與實驗結果(下)對比

3 振動特性分析

3.1 隨加工過程變化的振動分析

由于工作臺屬性參數的改變會對系統的振動模態產生影響[10]，不同工作臺位置xt的振型如圖6所示。

圖6 不同工作臺位置xt的振型

由圖6可得：工作臺位置的變化對軸向振動影響較大，對于扭轉振動影響較小。第一階振動的軸向頻率易受影響，第二階振動的扭轉頻率易受影響，第三階振動幾乎不受影響。

3.2 不同導程的軸扭耦合振動的耦合情況

兩種不同重量的工作臺在絲桿的導程不同時，反映了振動頻率的變化。不同導程對軸扭耦合振動的影響如表6所示。

由表6可知：重量較大的工作臺的振動頻率對于導程的變化更為敏感，并且對一階影響更大；一階時滾珠絲桿的導程大小與其傳動系統的軸扭耦合度正相關，二、三階為負相關。

表6 不同導程對軸扭耦合振動的影響xt=0.6 m

因此，在滾珠絲桿系統中，絲桿導程較大以及工作臺較重時，軸扭耦合是不可或缺的一項。

4 結束語

基于Ritz級數法采用混合模型法，筆者綜合考慮了軸扭耦合以及彎曲振動對系統的影響，對高速滾珠絲杠傳動系統進行了建模；經過仿真與實驗，對模型進行了驗證，分析了絲杠導程、工作臺參數等因素對絲桿系統振動模態的影響。

研究表明：軸向振動受工作臺位置和質量因素影響較大，扭轉振動所受影響較小；彎曲振動方面受工作臺位置因素影響較大；隨著工作臺重量增加，工作臺的振動頻率對于絲杠導程的變化更為敏感。

筆者所建模型可以完整表達系統的振動特性，且系統的理論模型相對簡單。