考慮幾何設計參數不確定性影響的渦輪葉柵穩健性氣動設計優化

羅佳奇，陳澤帥，曾先

浙江大學 航空航天學院，杭州 310027

受加工精度、裝配誤差的影響，葉輪機械葉片實際外形和設計外形存在偏差，這種外形偏差的產生具有隨機性，是葉輪機械典型不確定性影響因素之一。20世紀70年代研究人員即發現：外形偏差雖小，但是對氣動性能的影響不容忽略[1-2]。隨著氣動設計技術的不斷發展，通過優化設計提升氣動性能越來越困難；相對而言，外形偏差引起的葉片性能變化較為明顯，其氣動不確定性影響研究已經引起了高度重視[3-10]。

基于幾何外形設計參數和工況參數零偏差假設的氣動設計較為成熟，相應的氣動設計優化(ADO) 稱為確定性氣動設計優化 (DADO)。隨著工業界對不確定性影響的日益重視，DADO面臨著嚴峻挑戰：考慮不確定性因素對氣動性能的影響時，DADO外形在設計空間內是否仍然最優？答案是否定的。由于不確定性因素的客觀性和隨機性，最優氣動外形的確定將依賴于設計外形在不確定性擾動空間內的統計氣動性能，主要取決于：平均氣動性能是否最優；氣動性能參數對不確定性因素的敏感度是否最低。若DADO外形對不確定性因素比較敏感，外形偏差將導致氣動性能在不確定性擾動空間內發生顯著變化，甚至遠離DADO解，意味著DADO外形在擾動空間內缺乏穩定性。在這種情況下，忽略不確定性影響的DADO很難滿足實際工程需求，有必要開展魯棒性氣動設計優化研究。

魯棒性是指系統在一定的系統參數或輸入參數擾動下，維持系統輸出穩定性的特性。魯棒性優化在飛行器氣動、結構強度設計等領域已經實現[11-13]，如：Paiva等[12]采用Kriging模型開展了考慮攻角及飛行高度不確定性影響的機翼多學科魯棒性和可靠性優化設計，Ryan等[13]采用包括多目標優化在內的3種不同優化方法開展了考慮飛行參數不確定性影響的高超聲速飛行器魯棒性優化。飛行器魯棒性優化往往忽略氣動外形的不確定性影響，其主要原因是：氣動外形偏差無法提前預估；相對于飛行器幾何尺寸，外形偏差的影響可以忽略[12]。與飛行器不同的是：葉輪機械葉片幾何尺寸較小，外形偏差對氣動、結構等性能參數的不確定性影響不容忽略。整體上，葉輪機械魯棒性氣動設計優化研究起步也較晚[14-19]：南安普頓大學的Keane[14]開展了考慮葉片外形偏差影響的魯棒性氣動設計優化研究，比較了不同氣動不確定性量化 (UQ) 方法對魯棒性氣動設計優化的影響；劍橋大學的Ghisu等[15]采用一維程序開展了壓氣機魯棒性氣動設計優化研究，采用混沌模型對級參數擾動的不確定性影響進行量化；Vinogradov等[17]開展了考慮邊界擾動的高壓渦輪傳熱和氣動魯棒性優化設計研究；Reis[18]、Wang[16]、Ma[19]等開展了考慮外形偏差的葉輪機械魯棒性氣動設計優化研究，采用多項式混沌模型進行氣動UQ。

穩健性設計是魯棒性設計的一種，穩健性氣動設計優化 (RADO) 重點關注不確定性因素對目標氣動函數的影響。如前文所述：RADO的核心技術之一是確定統計氣動性能，即：確定目標氣動函數的統計均值和方差。統計均值用于衡量平均氣動性能，方差用于衡量氣動性能的穩健性。因此，高效、高精度的氣動UQ方法將直接影響RADO的優化精度和優化效率。目前在氣動UQ中得到應用的方法有試驗測量[1-2]、蒙特卡洛模擬 (MCS)[3]、代理模型方法[8,15,18-19]、靈敏度分析方法[7,9-10,20-21]。整體上，對于外形偏差小尺度氣動不確定性問題，基于靈敏度分析的氣動UQ由于具有高效率、高精度的特點，目前已成為葉輪機械氣動不確定性研究領域的熱點。目前已公開發表的RADO研究[15-19]多采用基于代理模型的氣動UQ方法來計算目標氣動函數的統計均值和方差，導致優化效率較低。

本文將重點介紹葉輪機械RADO的基本原理及實現方法，并對某型跨聲速渦輪葉柵進行氣動優化設計，驗證所發展的RADO方法的有效性和可靠性。首先介紹RADO需要解決的關鍵技術；之后介紹高效、高精度氣動UQ方法及RADO目標函數梯度計算方法；最后開展跨聲速渦輪葉柵DADO和考慮外形設計參數不確定性影響的RADO研究。通過優化氣動外形降低葉柵總壓損失系數及其方差，分析DADO與RADO對氣動穩健性的影響機理。

1 跨聲速葉柵數值模擬

本文采用跨聲速渦輪葉柵HS1A[22]作為研究對象，圖1為其幾何外形及計算網格示意圖，主要幾何參數如表1所示。該葉柵試驗測量的工況參數為：來流角46°，進口為標準大氣的壓力和溫度，出口等熵馬赫數為1.06。本文只研究幾何外形設計參數不確定性對氣動優化設計的影響，暫不考慮邊界流動參數的不確定性。進口給定總溫、總壓及來流角，出口給定反壓。

表1 HS1A葉柵幾何參數Table 1 Geometric parameters of HS1A cascades

圖1 HS1A幾何示意圖及計算網格Fig.1 Configuration and computation grid for HS1A

流場數值模擬采用自開發程序求解定常流動控制方程，采用中心格式有限體積法、多重網格加速技術等。為了驗證所采用數值模擬程序的有效性和可靠性，研究中首先求解Navier-Stokes方程和Spalart-Allmaras湍流模型方程，采用單塊H-型 網格，并對葉柵流向、周向網格進行收斂性分析。表2給出了不同規模的網格及相應的總壓損失系數，總壓損失系數定義為

(1)

式中：p0,1、p0,2、p2分別表示進口總壓、出口總壓及靜壓。該葉柵的進口總壓及出口靜壓均給定，通過計算出口總壓即可確定總壓損失系數。

由表2可知，網格NS2/NS5的總壓損失系數基本收斂。圖2給出了葉片表面等熵馬赫數分布，由圖可知，NS2計算結果與試驗結果吻合較好。表2及圖2結果表明，本研究所采用的自開發程序在模擬該葉柵流動時具有較高的可信度。

后續研究中將采用“直接-伴隨方法”計算二階靈敏度(詳細可見3.2節)，考慮到基于黏性伴隨方法計算二階靈敏度難度較大，目前還無法實現，研究中將求解定常Euler方程及相應的伴隨方程計算二階靈敏度。表2給出了Euler方程求解的3套網格及總壓損失系數，網格Eu5的總壓損失系數基本收斂。圖2也給出了網格Eu5的等熵馬赫數分布，與試驗結果及NS2/NS5計算結果相比，Eu5所確定的激波位置有一定的偏差，其主要原因是Euler方程無法考慮流動黏性影響。

表2 網格收斂性結果Table 2 Grid-independent flow solutions

圖2 葉片表面等熵馬赫數分布Fig.2 Isentropic Mach number distributions on blade surface

雖然忽略黏性影響的數值模擬及氣動優化設計會給實際應用帶來一定的局限性，但是基于定常Euler方程的流場計算作為一種流場數值模擬工具，在本文的RADO方法研究、RADO優化設計平臺發展中仍具有重要作用。后續的流場數值模擬及氣動優化設計，均采用網格Eu5。

2 穩健性氣動優化設計

2.1 RADO基本原理

確定性氣動外形設計優化的前提條件是忽略不確定性因素對氣動性能的影響，無需對目標氣動函數在擾動空間內進行統計分析。DADO的數學模型可以定義為

MinI(w,b)

Subci(w,b)≤0,i=1,2,…,nc

(2)

式中：I表示目標氣動函數；w、b分別表示流場、設計參數；ci為約束條件；nc為約束條件個數。式(2)為帶約束最小化確定性優化問題。

與DADO不同的是：RADO關注的不再是某個特定解，而是不確定性參數擾動空間內的統計解。氣動性能由統計均值表示，氣動穩健性由方差表示。氣動穩健性設計要求氣動性能參數對不確定性因素的敏感度最低，也即氣動性能的方差最小。RADO的數學模型可以定義為

MinμI,σI

Subci(w,b)≤0,i=1,2,…,nc

(3)

式中：μI和σI分別表示I的統計均值、方差。

對比式(2)、式(3)可知：DADO和RADO的基本流程一致，主要差別在于是否需要在不確定性參數擾動空間內對氣動參數進行統計分析。圖3 為DADO與RADO的氣動函數統計特性示意圖：假設考慮不確定性影響的氣動函數變化均滿足高斯分布，橫坐標x表示一般化氣動函數，縱坐標表示概率密度函數 (PDF)，μ和σ分別表示氣動函數x的統計均值和統計方差。以最小化優化問題為例，雖然DADO的氣動函數統計均值比RADO更低，但是DADO的方差高于RADO，在這種情況下，RADO在保證優化葉片氣動穩健性方面更具有優勢。

圖3 DADO與RADO氣動函數統計特性Fig.3 Statistics of aerodynamic function for DADO and RADO

由上述對比分析可知：RADO是典型的多目標優化設計問題，其目標是：改善氣動函數均值，提高優化葉片的平均氣動性能；降低氣動函數對不確定性因素的敏感度，提高優化葉片的氣動穩健性。

2.2 葉柵氣動優化設計

總壓損失系數的統計均值和方差是本文RADO的優化目標，研究中將采用加權方法構造多目標優化的目標函數：

I=μξ+λσξ

(4)

式中：λ為總壓損失系數統計方差的權重，為無量綱參數。研究中，平均總壓損失系數的權重為1，并保持不變；通過調整λ來對比分析方差權重對RADO優化結果的影響。

優化中暫不考慮氣動約束，只約束葉柵厚度分布。本文將優化葉片中弧線外形并保持厚度分布不變。從前緣至98% 弦長，在中弧線上分布N個型函數，中弧線變化量為

(5)

式中：Vj為型函數權重，即設計參數；bj(x) 為Hicks-Henne型函數[23]，定義為

(6)

式中：xc,j為型函數控制點，沿中弧線軸向均勻分布6個控制點。

本文的RADO研究重點考慮幾何外形設計參數的不確定性影響，也即Vj的不確定性影響。研究中假設所有設計參數彼此獨立，其變化量滿足均值為零的高斯分布：

f(ΔV)=

(7)

式中：ΔV表示設計參數變化量；E為高斯分布的截斷邊界；σV表示設計參數公差。在研究中，假設各設計參數的公差相同。

2.3 RADO方法及實現

RADO目標氣動函數的統計需要大量流場計算，氣動UQ將占據優化設計的絕大部分計算時間，高效高精度的氣動UQ方法是RADO需要重點關注的核心問題之一。在這種情況下，相對于優化設計方法的高效性，優化設計方法的精確性更值得關注。相對于氣動參數的平均值，氣動參數變化量較小，為了精確反映氣動參數變化對設計優化的影響，必須采用高精度優化方法。目前在DADO中得到廣泛應用的優化算法有：進化算法、代理模型、梯度方法。進化算法優化精度高，計算需求大；代理模型優化效率高，但是當模型固有的函數響應誤差較大時，優化設計的信噪比較低，直接影響RADO的精度。梯度方法的精度及優化效率均較高。本文將采用原理簡單、易實現的最速下降法進行優化設計。

作者的前期研究[9-10]表明，對于葉片幾何外形偏差的不確定性問題，基于靈敏度分析的氣動UQ具有高效、高精度的優勢。本文的RADO研究仍將采用基于靈敏度分析的氣動UQ方法來統計葉柵總壓損失系數的均值和方差?；谝浑A靈敏度分析的總壓損失系數統計均值和方差分別為

(8)

式中：ξ0表示確定性總壓損失系數；Δξ為總壓損失系數變化；m為統計樣本數；g表示總壓損失系數對設計參數的一階靈敏度。由式(8)可知：總壓損失系數的統計均值與靈敏度無關，其方差與一階靈敏度相關。計算確定所有設計參數的一階靈敏度后，即可確定相應的方差。

通過氣動UQ確定總壓損失系數的統計均值和方差后，式(4)所示的目標函數即可計算確定。由式(8)可知，目標函數關于設計參數的梯度為

(9)

式中：hij表示總壓損失系數關于設計參數的二階靈敏度；gI表示RADO目標函數關于設計參數的梯度。值得注意的是：在DADO中，由于σV=0，gI,i=gi。此外，由式(9)可知：當采用一階靈敏度進行氣動UQ時，RADO仍需要計算總壓損失系數關于設計參數的二階靈敏度。

當設計參數變化滿足高斯分布且設計參數彼此獨立(無關)時，基于二階靈敏度分析的總壓損失系數統計均值和方差為

(10)

由式(10)可知：總壓損失系數的統計均值、方差和二階靈敏度有關，計算式(4)所示的目標函數關于設計參數的梯度時，需要計算總壓損失系數的三階靈敏度。截至目前，二階靈敏度的高效、高精度計算已經實現，三階靈敏度計算還無法實現。因而，本文的RADO研究將采用基于一階靈敏度的氣動UQ方法，采用伴隨方法計算總壓損失系數的一階、二階靈敏度。

確定目標函數的梯度后，將采用最速下降法來實現優化設計。綜上所述，基于梯度方法的葉柵RADO的流程圖如圖4所示。圖中：模塊I為氣動UQ，其核心是基于伴隨方法的總壓損失系數一階、二階靈敏度計算及基于一階靈敏度分析的總壓損失系數統計均值和方差計算；模塊Ⅱ為優化設計模塊。若忽略不確定性影響，模塊I只保留流場、伴隨場數值模擬及一階伴隨靈敏度計算等功能(無需進行基于二階靈敏度的統計分析)，即可以實現基于梯度方法的葉柵DADO。

圖4 基于梯度方法的葉柵RADO流程Fig.4 Procedures of gradient-based RADO for cascades

3 伴隨靈敏度計算

3.1 伴隨方法基本原理

伴隨方法由于靈敏度計算的高效、精確特點，在20世紀80年代由Jameson[24]應用于飛行器ADO研究。之后，該方法在飛行器ADO研究中得到了廣泛應用[25-28]。21世紀初，該方法被應用于葉輪機械ADO研究[29]；近10年來，基于伴隨方法的葉輪機械ADO得到了迅速發展[30-34]。接下來將簡要介紹伴隨方法的基本原理。

在計算氣動函數關于設計參數的一階靈敏度時，需要首先確定目標氣動函數I、流動控制方程R關于設計參數b的一階變分：

(11)

(12)

由式(11)可知：流場變分項δw/δbi是靈敏度計算的核心。

伴隨方法基本原理是將流動控制方程作為約束引入到氣動函數變分中，消除流場變分對靈敏度計算的影響。引入伴隨算子Ψ，與式(12)相乘后再與式(11)相減，有

(13)

式中：若右端流場變分項的系數為零，則目標氣動函數的一階靈敏度與流場變分無關。同時需要求解關于伴隨算子的線性方程組，此即為流動控制方程R的伴隨方程：

(14)

靈敏度計算為

(15)

由式(15)可知：靈敏度計算只和設計參數變化引起的網格變分相關。相對于流場和伴隨場計算，網格變分所需要的時間可以忽略。因而，基于伴隨方法的一階靈敏度計算所需要的時間約為兩次流場計算時間，與設計參數個數基本無關。

3.2 二階靈敏度計算

直接-伴隨方法[35-36]是目前最高效的二階靈敏度計算方法，其基本原理介紹如下。

與一階靈敏度計算類似，在進行二階靈敏度計算時，需要首先確定目標氣動函數I、流動控制方程R關于設計參數b的二階變分。對式(11)、式(12)進行變分，有

(16)

(17)

根據伴隨方法的一般原理，引入伴隨算子Ψ，與式(17)相乘后再與式(16)相減，有

(18)

式中：hij表示二階靈敏度；系數矩陣A、B、C、D及靈敏度矩陣E分別為

(19)

由式(18)可知：二階靈敏度計算與流場的一階、二階變分有關；由式(19)可知：系數矩陣D為伴隨方程，即D=0。因而，流場二階變分對二階靈敏度計算沒有影響。

由上述分析可知：只需要N+1次流場計算確定對應每個設計參數的流場變分，N為設計參數個數；再進行一次伴隨方程計算，即可以根據式(18) 計算所有二階靈敏度。伴隨方程與流動控制方程數值求解所需要的計算時間基本相當，因而，采用上述直接-伴隨方法，二階靈敏度計算所需要的總流場計算次數約為N+2。此外，由于N+1次流場計算結果已經確定，可以采用直接差分法 (FDM) 計算一階靈敏度。

基于直接-伴隨方法的二階靈敏度計算精度在前期工作中已經與基于FDM的二階靈敏度進行了對比，其精度是可靠的[10]。此外，基于二階靈敏度分析的氣動UQ結果與MCS結果進行了對比，氣動參數變化量的統計結果精度也得到了驗證。因此，直接-伴隨方法將用于式(9)所示的RADO目標函數梯度的計算。基于Euler方程的直接-伴隨方法詳細推導及二階靈敏度計算請參考本文作者前期工作[10]。

4 優化設計

為了對比分析RADO在改善優化葉片氣動穩健性方面的特點，首先開展基于梯度方法的HS1A葉柵DADO研究。大量不確定性研究表明[3,7-10]：幾何外形變化公差對葉片氣動性能不確定性變化有重要影響。因而，研究中將考慮不同的設計參數變化公差對優化設計的影響。此外，由前文分析可知：RADO是典型的多目標優化設計問題，不同優化目標間的權重對優化設計結果也有重要影響。如式(4)所示，研究中將考慮不同的方差權重λ對RADO的影響。表3給出了4種不同類型的RADO。

表3 RADO參數設置Table 3 Optimization parameters for RADO

DADO與RADO的本質區別在于是否考慮幾何設計參數不確定性對總壓損失系數變化的影響。這種影響將反映在優化設計目標函數對設計參數的梯度上。圖5對比了DADO與RADO第1步優化設計目標函數的梯度，圖中橫坐標V表示設計參數，縱坐標G表示梯度。由圖可知：前5個設計參數的梯度幾乎完全重合，第6個設計參數(最靠近尾緣)的梯度有非常明顯的差異。

圖5 第1步優化設計梯度對比Fig.5 Comparisons of gradients in first optimization cycle

由式(9)可知：導致目標函數梯度差異的主要原因有：設計參數公差、方差權重、總壓損失系數的一階、二階靈敏度。對于不同的設計參數，當公差和氣動函數的方差系數確定時，導致RADO與DADO梯度差異的主要因素是總壓損失系數對設計參數的敏感度。第6個設計參數處于跨聲速流動區域，氣動外形的微小變化即可帶來總壓損失系數的較大變化。此外，對比不同的RADO梯度可知：隨著方差權重的增加，目標函數梯度增加；隨著幾何設計參數公差的增加，目標函數梯度也增加。整體上，RADO梯度與DADO梯度的差異大小，反映了設計參數不確定性變化對氣動函數變化的影響大小。

圖6是DADO與RADO的目標函數、總壓損失系數收斂曲線。80步后優化基本收斂，收斂的目標函數幾乎重合，而總壓損失系數有明顯差異：RADO優化總壓損失系數比DADO低，且隨著公差和方差權重的增大，總壓損失系數下降更多。當λ=5時，RADO總壓損失系數明顯低于DADO。

圖6 優化設計收斂曲線Fig.6 Convergence history of optimization design

由RADO的基本原理可知：葉片氣動外形優化設計除了改善平均氣動性能，還要降低氣動參數對設計參數變化的敏感度，也即降低總壓損失系數的方差。采用基于一階靈敏度分析的氣動UQ方法，總壓損失系數的統計方差與一階靈敏度相關，如式(8)所示。由于總壓損失系數對設計參數的一階靈敏度已知，DADO中也可以計算總壓損失系數的方差。圖7給出了DADO與RADO的總壓損失系數統計方差收斂曲線，其中：DADO_C1和DADO_C2分別表示公差為0.025 mm 和0.050 mm的統計結果。由圖可知：隨著設計參數變化的公差減小，總壓損失系數的方差降低；當設計參數公差相同時，隨著方差權重的增加，總壓損失系數方差下降；RADO的優化方差明顯低于DADO優化方差，反映了RADO在改善優化葉片氣動穩健性方面的優勢。

圖7 總壓損失系數方差收斂曲線Fig.7 Convergence history of standard deviation of total pressure loss coefficients

表4給出了DADO與RADO的主要優化結果，包括：平均總壓損失系數、總壓損失系數統計方差。與相同公差的DADO相比，RADO的總壓損失系數統計均值和方差均明顯下降，尤其是方差下降更明顯。隨著方差權重系數λ的增加，統計均值下降更多，意味著總壓損失系數偏差更大；同時，統計方差下降也更多，意味著總壓損失系數對設計參數變化的敏感度降低，證實了穩健性優化設計的有效性。

表4 DADO與RADO總壓損失系數統計結果Table 4 Statistics of total pressure loss coefficients for DADO and RADO

圖8給出了優化葉片與原始葉片的氣動外形及葉面等熵馬赫數分布。優化后中弧線在葉片中部的曲率明顯減小，抑制流動加速，如圖8(b)所示：葉片中部吸力面等熵馬赫數明顯降低，從而降低了激波前馬赫數；同時，位于原始葉片吸力面65%弦長處的第1道激波完全消失。此外，優化后葉片后半部分中弧線曲率明顯增加，流動進一步加速，如圖8(b)所示，優化葉片80%弦長后仍是超聲速區，位于原始葉片吸力面80%弦長處的第2道激波強度顯著減弱，有利于降低總壓損失系數。整體上，隨著設計參數公差和方差權重的增加，上述中弧線曲率、吸力面馬赫數的變化趨勢更加明顯。

圖8 優化對比Fig.8 Optimization comparisons

由上述結果可知：RADO優化葉片的總壓損失系數下降，方差也低于DADO，氣動穩健性得到了明顯改善。引起方差下降的主要原因是：外形優化設計降低了激波強度，降低了總壓損失系數對外形變化的敏感度。相對于DADO，在相同的公差條件下，RADO總壓損失系數方差下降更多，主要原因在于激波強度的減弱。

為了進一步揭示RADO在改善葉片氣動穩健性方面的優勢，接下來對原始葉片、DADO、RADO_C2和RADO_C4優化葉片的流場進行統計分析，幾何設計參數的公差均為0.05 mm。葉片樣本數為1 000，采用相同的流場數值模擬程序計算葉片總壓損失系數，之后再進行MCS統計分析。定義總壓損失系數相對變化量為

(20)

式中：ξ0表示4種基準葉片的總壓損失系數。

圖9對比了不同葉片的總壓損失系數相對變化量的統計值，圖中橫坐標1～4分別對應上述4種葉片。由圖可知：相對于原始葉片，氣動外形優化設計使總壓損失系數變化量的統計值顯著下降；此外，相對于DADO，RADO的統計均值略高，RADO的統計方差較低；隨著方差權重的增加，RADO統計均值升高，統計方差下降，這是由多目標優化設計中各目標的競爭關系導致的。整體上，通過MCS統計分析進一步證實了RADO在改善氣動穩健性方面的優勢。

圖9 不同葉片的總壓損失系數變化量統計值Fig.9 Statistics of total pressure loss coefficient change for different blades

為了深入分析RADO對葉片氣動穩健性的影響機理，接下來還將對比上述4種葉片的統計流場。圖10、圖11分別給出了上述4種葉片的等熵馬赫數變化的統計均值、方差云圖。與原始葉片相比，DADO與RADO均顯著降低了吸力面激波附近的等熵馬赫數變化統計值。統計均值與統計方差的降低均表明：葉片氣動外形的變化對激波附近的流動影響下降，流場對設計參數變化的敏感度降低。然而，由圖10、圖11的云圖很難發現RADO在改善等熵馬赫數變化量統計值方面的優勢。

圖10 通道等熵馬赫數變化均值云圖Fig.10 Contours of mean change of isentropic Mach number in blade passage

圖11 通道等熵馬赫數變化方差云圖Fig.11 Contours of standard deviation of isentropic Mach number in blade passage

圖12、圖13分別為DADO與RADO_C2 (σV= 0.05 mm,λ=1.0)、RADO_C4(σV=0.05 mm,λ=5.0) 優化葉片的等熵馬赫數變化量的統計均值和方差(下文統稱為統計量)在葉片表面的分布。圖中：SS、PS分別表示葉片吸力面、壓力面。為了更好地對比分析DADO與RADO在提高氣動穩健性方面的特點，圖12(b)和圖13(b) 給出了引入放大因子后的葉片吸力面統計量分布。放大因子主要用于調整RADO與DADO統計量之間的偏差，即

fRADO=fDADO+a(f0,RADO-fDADO)

(21)

式中：f表示統計量；a為放大因子；下標0表示原始統計量。

由圖12(a)和圖13(a)可知：相對于原始葉片，優化葉片的等熵馬赫數變化量的統計均值和方差顯著降低，表明：DADO與RADO均能降低流場對設計參數變化的敏感性；在壓力面上，DADO與RADO的統計量非常接近，主要是因為壓力面流動受激波影響較小，其流場對設計參數變化欠敏感。圖12(b)和圖13(b)中，左圖對比了激波區域 (60%～85%軸向弦長)的統計分布量，右圖對比了尾緣附近 (85%～100%軸向弦長) 的統計量分布。由圖12(b)和圖13(b)可知：在激波區域RADO的統計量明顯低于DADO，且隨著方差權重的增加，RADO統計量下降更明顯?？梢灶A見的是：隨著方差權重的增加，激波附近等熵馬赫數變化量的統計均值和方差將繼續下降，流場對設計參數變化的敏感性將進一步降低。在尾緣附近，RADO的均值比DADO高；RADO的方差在峰值前明顯低于DADO，在峰值后略高于DADO。導致這種結果的原因可能是渦輪葉柵厚尾緣附近流場數值模擬精度欠佳。

圖12 葉面等熵馬赫數變化統計均值分布Fig.12 Distributions of means of isentropic Mach number change on blade surface

圖13 葉面等熵馬赫數變化統計方差分布Fig.13 Distributions of variances of isentropic Mach number change on blade surface

由上述統計分析可知：DADO及RADO由于減弱了激波強度，使得流場對設計參數變化的敏感度下降，從而使得優化葉片的氣動穩健性得到改善。在無黏流動中，流動損失的主要來源是激波。由于DADO也能降低激波強度，激波附近流場對設計參數變化的敏感度降低，導致總壓損失系數的統計方差也隨之降低，改善了優化葉片的氣動穩健性。此外，由式(8)可知：總壓損失系數的統計方差與一階靈敏度及設計參數公差相關；在給定的設計參數公差條件下，隨著優化設計的進行，總壓損失系數的一階靈敏度不斷下降，也將導致其統計方差的降低及氣動穩健性的改善。相對于DADO，RADO由于顯式地考慮了總壓損失系數統計方差的優化，能夠更有效地降低總壓損失系數的統計方差，進一步提高優化葉片的氣動穩健性。

由于目前的研究只考慮了激波強度變化對葉片氣動穩健性的影響，DADO與RADO改善平均氣動性能及氣動穩健性的趨勢是一致的。在更復雜的流動中，如同時考慮激波、邊界層及激波邊界層干涉等，DADO與RADO對氣動穩健性的影響機理有待進一步深入分析。

5 結 論

本文介紹了葉輪機械RADO基本原理，并針對RADO的核心問題：氣動UQ及優化方法進行分析。采用伴隨方法計算目標氣動函數關于設計參數的一階、二階靈敏度，高效、高精度地實現了目標函數關于設計參數的梯度計算，實現了考慮幾何設計參數不確定性影響的穩健性優化設計。開展了某型跨聲速葉柵的DADO及RADO研究，并進行了詳細對比分析，主要結論有：

1) 在無黏流動中，DADO與RADO均能降低跨聲速葉柵的總壓損失系數，并降低總壓損失系數的方差，改善優化葉片的氣動穩健性；相對于DADO，RADO能夠更有效地降低總壓損失系數的統計方差，其優化葉片氣動穩健性更優。

2) 隨著設計參數公差的增加，總壓損失系數方差也增加；隨著統計均值、方差多目標優化設計中方差權重的增加，總壓損失系數下降更明顯，優化葉片的氣動穩健性更優。

3) 無黏流動中，影響葉片氣動穩健性的主要因素是激波；氣動外形優化設計通過減弱激波強度降低流場對設計參數變化的敏感度，從而降低跨聲速葉柵總壓損失系數變化量的統計值，改善優化葉片的穩健性。