學會基于教材的延伸性思考

文 黃秀旺（特級教師）

教材是老師和同學們進行教學活動的材料，是教學的主要媒介。蘇科版數學教材九年級上冊“對稱圖形——圓”給出了一些重要定理，而對于數學問題的探究來說，我們如果對定理做一些延伸性的思考，會得到更有價值的結論，有助于提升解決問題的能力。

一、教材對常用的結論做出了延伸性的結論

基本定理：教材第45頁“圓心角的度數與它所對的弧的度數相等”，第55頁“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”。

追問：圓周角的度數與它所對弧的度數之間的關系如何？

因為圓心角的度數與它所對弧的度數相等，圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，所以圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半。

例1（2019·江蘇鹽城）如圖1，點A、B、C、D、E在⊙O上，且為50°，則∠E+∠C=________°。

【解析】∠E與∠C均為圓周角，它們所對的弧分別是，由于為50°，所 以與的 度 數 之 和 為360°-50°，即310°，根據“圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半”得到∠E+∠C=155°。

例2如圖2，是半圓，O為AB的中點，C、D兩點在上，且AD∥OC，連接BC、BD。若為62°，則∠ABD為（ ）。

A.28 B.29

C.30 D.31

【解析】根據題意，AB是直徑，∠ADB=90°，又AD∥OC，所以OC⊥DB，根據垂徑定理，，因為為62°，所以也為62°。可以得到為56°，根據“圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半”得到∠ABD=28°。

二、教材“練習”對定理做出延伸性的思考

教材第60頁的練習3：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠C=130°。求∠BOD的度數。

追問1：一般地，∠C與∠BOD有怎樣的數量關系？

根據教材第59頁“圓內接四邊形的對角互補”，第55頁“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”可以得到∠C+∠A=180°，∠A=∠BOD，所以∠C+∠BOD=180°。

例3（2018·江蘇蘇州）如圖4，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是上的點，若∠BOC=40°，則∠D的度數為（ ）。

A.100° B.110°

C.120° D.130°

【解析】根據互補得出∠AOC=180°-4

0°=140°，由延伸性思考可知∠AOC+∠D=180°，所以∠D=110°。

教材第60頁的練習2：如圖5，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠CBE是它的一個外角。若∠D=100°，求∠CBE的度數。

追問2：一般地，∠CBE與∠D有怎樣的數量關系？

【解析】根據“圓內接四邊形的對角互補”得到∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠CBE=180°，所以∠CBE=∠D，即外角等于它的內對角。

例4（2019·貴州銅仁）如圖6，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠A=100°，則∠DCE的度數為________。

【解析】根據延伸性思考得到外角等于它的內對角，所以∠DCE=∠A=100°。

三、基于解題經驗對定理做出延伸性的思考

基本定理：教材第47頁“垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧”，第55頁“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”。

如圖7，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為P。

追問：如圖7，除了∠COB，還有哪個角與∠BOD相等？

【解析】根據已知條件，利用垂徑定理可以知道，再根據“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”，可以得到∠CAD=∠BOD。此結論的應用也較為廣泛。

例5（2013·江蘇南京）如圖8，AD是⊙O的切線，切點為A，AB是⊙O的弦。過點B作BC∥AD，交⊙O于點C，連接AC，過點C作CD∥AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且∠BCP=∠ACD。

試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由。

【解析】如圖9，連接OC，由以上延伸性思考可知∠POC=∠BAC。由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，所以∠POC=∠BCP。而由切線AD的性質及BC∥AD可知∠OMC=90°，所 以∠POC+∠MCO=90°，從 而∠BCP+∠MCO=90°，易判斷直線PC與⊙O的位置關系。

當然，圓這一章還有一些定理也可以做出延伸性思考，這就要求同學們善于把握知識之間的聯系，從聯系中獲得新知；也要善于總結解題經驗，從解題經驗中獲得新知。許多中考試題源于教材，在教材的例習題基礎上進行拓展延伸，如果我們在平時的學習中，主動思考，一定會提升解決復雜問題的能力。