道是無圓卻有圓

文 曹 陽

一、根據圓的定義構造圓

初中階段的許多幾何問題雖然看似與圓無關，但是若能結合題目的已知條件，找出與圓有關聯的條件，借助隱圓或輔助圓，看透問題的本質，就能運用圓的性質予以解決。

例1如圖1，在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長為________。

【解析】如圖2，因為AB=AC=AD=2，所以B、C、D在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上。延長BA交⊙A于點E，連接DE。由DC∥AB得DE=BC=1，再根據“直徑所對的圓周角是直角”，所以在Rt△BDE中，由勾股定理得BD=。

例2如圖3，菱形ABCD的邊長為6，∠B=120°，點E在BC上，CE=2，F是線段AD上一點。將四邊形BEFA沿直線EF折疊，B的對應點為B′，當DB′的長度最小時，DF的長為________。

【解析】如圖4，由折疊可得EB′=EB，所以點B′在以點E為圓心，EB長為半徑的圓上。當D、B′、E三點共線時（如圖5），DB′的長度最小，此時易證DF=DE。過點D作DH⊥BC，垂足為H。由菱形的性質可以求出∠C=60°，DC=6。先在Rt△DHC中，求出DH=，CH=3，再在Rt△DHE中，由勾股定理得DE=，所以DF=。

二、根據定邊對定角構造圓

【點評】根據圓的定義，我們首先觀察出幾個點到同一個點的距離相等，那么這里隱藏了一個圓；接著我們以這個定點為圓心，以這個距離為半徑畫出這個隱藏的圓，借助隱圓就可以快速求出角度或線段長度。

例3（2019·江蘇南京）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A＞∠B，則BC的長的取值范圍是________。

【解析】如圖6，作△ABC的外接圓，當∠BAC=90°時，BC最長，為該外接圓的直徑，求得此時；當∠BAC=∠ABC時，△ABC是等邊三角形，此時BC=4；由已知條件∠BAC＞∠ABC，可得BC的長的取值范圍是4＜BC≤。

【點評】本題考查了三角形的三邊關系、直角三角形的性質、等邊三角形的性質，作出△ABC的外接圓進行推理計算是解題的關鍵。幾何最值問題探索性強、難度較大，其中有一類與隱圓有關的最值問題，越來越受到命題者的青睞，解決這類題較為有效的方式是追蹤動點的生成過程，研究其運動軌跡。因為此題中AB=4（定邊），∠C=60°（定角），所以點C的運動軌跡就是以AB為弦，定角為圓周角的弧。