活靈活現(xiàn)的“角”

文 陳 卓

角是幾何圖形中非常重要的元素。在證明兩條直線互相平行的位置關(guān)系、全等三角形的判定、相似三角形的判定、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識中都會涉及角。圓的性質(zhì)和對稱的特征，賦予以圓為載體的角較強的靈活性，使得這些角能夠靈活地互相轉(zhuǎn)化。

例1（2020·山東聊城）如圖1，在⊙O中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則∠ADC的度數(shù)是________。

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠B=∠AOC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠B+∠D=180°，即可得出∠D+∠AOC=180°。根據(jù)圓周角定理得出∠AOC=2∠D，即可求得∠ADC=60°。

解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠B+∠ADC=180°。

∵四邊形OABC為菱形，

二、根據(jù)直徑與圓周角的關(guān)系，實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化

∴∠B=∠AOC，

∴∠ADC+∠AOC=180°。

∵∠AOC=2∠ADC，

∴3∠ADC=180°，

∴∠ADC=60°。

【點評】本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，將圓中角進(jìn)行靈活變化是解題關(guān)鍵。

例2（2020·山東青島）如圖2，BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上，，AC交BD于點G。若∠COD=126°，則∠AGB的度數(shù)為（ ）。

A.99° B.108° C.110° D.117°

【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠BAD=90°，∠DAC=∠COD=63°，再 由得到∠B=∠D=45°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可以計算出∠AGB的度數(shù)。

三、根據(jù)弧與角的關(guān)系，實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化

解：∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°。

∵∠DAC=∠COD=×126°=63°，

∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°。

故選B。

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。推論：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

例3如圖3，直線AB與⊙O相交于A、B兩點，點O在AB上，點C在⊙O上，且∠AOC=40°，點E是直線AB上一個動點（與點O不重合），直線EC交⊙O于另一點D，則使DE=DO的點總共有________個。

【分析】我們要將點E分為在線段AB上（E在⊙O內(nèi)）、在線段BA或AB的延長線上（E點在⊙O外）這三種情況考慮。再通過角度的計算，我們才能確定E點位置、存在的個數(shù)。

解：如圖4所示，點E的位置有3個。

當(dāng)是E1時，∠CE1O的度數(shù)為；

當(dāng)是E2時，∠CE2O的度數(shù)為；

當(dāng)是E3時，∠CE3O的度數(shù)為。

所以使DE=DO的點總共有3個。

【點評】弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法。

四、巧用圓中角，妙解綜合題

例4如圖5，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E。

（1）若∠BAC=40°，則∠ADC=________°；

（2）求證：∠BAC=2∠DAC；

（3）若AB=10，CD=5，求BC的值。

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

（3）過點A作AH⊥BC于點H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAH=∠CAH=∠CAB，CH=BH，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AH，CG=CH。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)BH=k，AH=2k，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論。

（1）解：∵AB=AC，∠BAC=40°，

∴∠ABC=∠ACB=70°。

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠ADC=180°-∠ABC=110°。

（2）證明：∵BD⊥AC，

∴∠AEB=∠BEC=90°，

∴∠ACB=90°-∠CBD。

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=90°-∠CBD，

∴∠BAC=180°-2∠ABC=2∠CBD。

∵∠DAC=∠CBD，

∴∠BAC=2∠DAC。

（3）解：過點A作AH⊥BC于點H，

∵AB=AC，

∴∠BAH=∠CAH=∠CAB，CH=BH。

∵∠BAC=2∠DAC，

∴∠CAG=∠CAH。

過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，

∴∠G=∠AHC=90°。

∵AC=AC，

∴△AGC≌△AHC（AAS），

∴AG=AH，CG=CH。

∵∠CDG=∠ABC，

∴△CDG∽△ABH，

設(shè)BH=k，AH=2k，

∴AB=，

∴k=，

∴BC=2k=。

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)。本題中對圓中角轉(zhuǎn)化進(jìn)行了較為綜合性的運用，對理解知識點有很好的啟發(fā)作用。