糾錯解惑，“圓”題重現

文 曹小龍

文 謝蓓蓓

圓中的考點繁多，它往往綜合了直線圖形的所有知識、方法及思想。因此，其出錯率也相對較高。

一、題中雖無圓，心中應有圓

例1（2020·江蘇南京）如圖1，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1=39°，則∠AOC=________°。

【錯解】錯誤度數。

【錯因】簡單問題復雜化或計算失誤。連接AC，想用△AOC的內角和，或欲用“鏢形”求解，糾結于求∠A與∠C，或不知∠1=39°有何用，沒有思路。

【正解】78。

【剖析】本題方法眾多，主要利用線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的性質等（如圖2、圖3），均要由∠1=39°得其補角∠DOE或內對角∠B。但最優解可以用圓的知識快速解決（如圖4），由四邊形內角和易得∠B=∠1=39°，由點O是垂直平分線交點易得∠AOC實為⊙O中圓周角∠B所對圓心角。

二、題目若無圖，多半要分類

例2（2020·黑龍江雞西）在半徑為的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足為P，AB=CD=4，則S△ACP=________。

【錯解】答案寫不全。

【錯因】只畫出一種符合題意的示意圖，未考慮字母的位置分類，導致漏解。

【正解】或或。

【剖析】本題考查了垂徑定理及勾股定理等知識。如圖5，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連接OD、OB，則=2。在Rt△OBE中，OE=1，同理OF=1，易證四邊形OEPF為正方形，PA=PC=1，則S△ACP=。同理，如圖6、圖7，S△ACP分別為或。若題目中無圖，我們則應特別注意對形狀、位置等進行分類討論。

三、圓與線相切，無點作垂直

例3（2020·遼寧營口）如圖8，△ABC中，∠ACB=90°，BO為△ABC的角平分線，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點D。求證：AB為⊙O的切線。

【錯解】連接OH，再證OH⊥AB……

【錯因】AB與⊙O的公共點情況是未知的，圖中也未標字母，連接OH無據可依。

【正解】證明：如圖9，過O作OH⊥AB于H。

∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC。

∵BO為△ABC的角平分線，OH⊥AB，

∴OH=OC，即OH為⊙O的半徑。

∵OH⊥AB，∴AB為⊙O的切線。

【剖析】圓的切線本質是圓心到直線的距離等于半徑。切線的證明主要有兩類：有交點可連半徑，證垂直；無交點可作垂直，證半徑。我們應視具體情況選擇，本題屬后者。

四、論證莫虛假，邏輯鏈要完整

例4（2020·上海）如圖10，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D。（1）求證：∠BAC=2∠ABD；（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大小；（3）當AD=2，CD=3時，求邊BC的長。

【錯解】（1）連接OA。∵AB=AC，

∴∠BAO=∠CAO……

（2）若BD=BC，則∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD=67.5°；

（3）由（2）得△BCD∽△ACB，則BC2=CD·AC……

【錯因】（1）推理過程缺失，邏輯鏈條斷裂；（2）思維定式，被圖形的特殊位置限制；（3）沿用不可用的第（2）小題的條件，實為虛假論證。

【正解】（1）證明：如圖11，作直徑AG交BC于H。

∵AB=AC，∴，

∴∠BAO=∠CAO，AH⊥BC。

∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，

∴∠BAC=2∠ABD。

（2）解：①若BD=BC，

則∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD，

∴∠DBC=2∠ABD。

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，

∴8∠ABD=180°，

∴∠BCD=3∠ABD=67.5°。

②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD，

∴∠BCD=4∠ABD。

∵∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°，

∴10∠ABD=180°，

∴∠BCD=4∠ABD=72°。

③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在。

（3）解：如圖12中，作AE∥BC交BD的延長線于E。

設OB=OA=4a，則OH=3a，

∵BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，

∴25-49a2=16a2-9a2，

∴BC=2BH=。

【剖析】本題綜合考查了垂徑定理、等腰三角形的性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識點，解題的關鍵是學會添加適當的輔助線構造基本圖，難點是比例轉換，利用參數構建方程。