由一道例題說(shuō)開(kāi)去

圓是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是中考的考查熱點(diǎn)。教材中的例題蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思想方法，往往是中考命題人的重要素材。下面對(duì)蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“2.5直線與圓的位置關(guān)系”的例2進(jìn)行深入剖析和延展，以幫助同學(xué)們鞏固知識(shí)和方法，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

一、例題呈現(xiàn)

例題如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

【分析】直線與圓相切，需要滿足兩個(gè)條件：①直線經(jīng)過(guò)半徑的外端；②直線垂直于這條半徑。結(jié)合本題，點(diǎn)A在⊙O上，所以只需證明AD⊥AB，即∠BAC+∠CAD=90°。條件中已有∠CAD=∠ABC，所以只需證明∠BAC+∠ABC=90°。我們知道，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，易證∠BAC+∠ABC=90°。

【解析】直線AD與⊙O相切。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°。

∵∠CAD=∠ABC，

∴∠BAC+∠CAD=90°，

即AD⊥AB。

又∵點(diǎn)A在⊙O上，

∴直線AD與⊙O相切。

二、變化延伸

變化1如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠CAD=∠ABC。判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

【分析】根據(jù)前面的分析，我們可以作直徑AE，并連接CE。接下來(lái)只要證明AD⊥AE，即∠EAC+∠CAD=90°即可。根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，易知∠ABC=∠AEC。這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為例題了。

【解析】如圖3，作直徑AE，連接CE，

∴∠ABC=∠AEC。

下面的做法可參考例題，略。

【總結(jié)】此題雖然將例題中的直徑AB一般化，但是∠ABC和∠AEC都是⌒AC所對(duì)的圓周角，故而∠ABC和∠AEC相等，所以結(jié)論仍然成立。同時(shí)，我們也可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)∠CAD和⌒AC所對(duì)的圓周角相等時(shí)，直線AD與⊙O相切。

變化2如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若直線AD與⊙O相切，請(qǐng)說(shuō)明∠CAD=∠ABC。

【分析】我們可以作直徑AE，連接CE（圖3），易得AD⊥AE，即∠EAC+∠CAD=90°。根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，易知∠EAC+∠AEC=90°，所以∠CAD=∠AEC=∠ABC。

【解析】如圖3，作直徑AE，連接CE。

∵直線AD與⊙O相切，

∴AD⊥AE，

∴∠EAC+∠CAD=90°。

∵AE是直徑，

∴∠EAC+∠AEC=90°，

∴∠CAD=∠AEC。

∵∠AEC=∠ABC，

∴∠CAD=∠ABC。

【總結(jié)】觀察變化1和變化2的條件和結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)它們是互逆命題。若∠CAD和所對(duì)的圓周角相等，則直線AD與⊙O相切；若直線AD與⊙O相切，則∠CAD和所對(duì)的圓周角相等。

變化3如圖4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，延長(zhǎng)BC交直線AD于點(diǎn)E，若直線AD與⊙O相切，請(qǐng)說(shuō)明AE2=EC·EB。

【分析】根據(jù)變化2的經(jīng)驗(yàn)，我們可知∠CAE=∠ABC；再由∠AEC是△EAC和△EBA的公共角，易得△EAC∽△EBA；最后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系就可以解決問(wèn)題。

【解析】由變化2知，∠CAE=∠ABC。

又∵∠AEC=∠AEC，

∴△EAC∽△EBA。

∴AE2=EC·EB。

【總結(jié)】根據(jù)變化2，我們得到∠CAE=∠ABC，這就為相似三角形的證明提供了條件，同時(shí)，我們也發(fā)現(xiàn)切線長(zhǎng)AE是EC和EB的比例中項(xiàng)（圖5）。

變化4如圖6，AF、CB是⊙O的兩條弦，延長(zhǎng)FA、BC交于點(diǎn)E，請(qǐng)說(shuō)明EC·EB=EA·EF。

【分析】觀察圖5和圖6，我們不難發(fā)現(xiàn)圖5的直線EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度與⊙O產(chǎn)生了兩個(gè)交點(diǎn)形成圖6。我們依然可以構(gòu)造含有EC、EB、EA和EF的相似三角形來(lái)證明結(jié)論：①如圖7，連接AC和FB，證明△EAC∽△EBF；②如圖8，連接AB和CF，證明△EAB∽△ECF；③如圖9，作直線EG與⊙O相切于點(diǎn)G，根據(jù)變化3的經(jīng)驗(yàn)可知EG2=EC·EB，同理可得EG2=EA·EF，所以結(jié)論成立。

【解析】方法1：如圖7，連接AC和FB。

∵四邊形ACBF是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠CAF+∠B=180°。

∵∠CAF+∠EAC=180°，

∴∠B=∠EAC。

又∵∠E=∠E，∴△EAC∽△EBF，

∴。

∴EC·EB=EA·EF。

方法2：如圖8，連接AB和CF。

∵∠E=∠E，∠EFC=∠EBA，

∴△EAB∽△ECF，

∴EC·EB=EA·EF。

方法3：作直線EG與⊙O相切于點(diǎn)G，

由變化3知，EG2=EC·EB。

同理可得EG2=EA·EF。

∴EC·EB=EA·EF。

【總結(jié)】將切線進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓屩本€與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)題重新散發(fā)出生命力。方法1和方法2是常規(guī)思路，而方法3著眼于變化3和變化4之間的聯(lián)系，作出圓的切線，讓等式兩邊的式子進(jìn)行等量代換，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。