“圓”是怎樣煉成的

文 繆 娟

圓是初中平面幾何中的基本圖形之一，是九年級學習的重要章節，知識點繁多，較為復雜。同學們在解決涉及圓的證明或計算等綜合型問題時會感到比較困難。如果同學們在審題時弄清題意，擬訂計劃，就能發現它們是以基本圖形為出發點，進行關聯，并將推理蘊含其中的。

例題如圖1，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中點，過A、C、D三點的⊙O交BC于點E，DF⊥BC，垂足為F。

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AC=4，BC=8，求EF的長。

請同學們先弄清已知和未知是什么，再將題干中的已知條件和一些隱含條件進行適當的組合，看看可以得到哪些基本結論。

基于條件“△ABC是直角三角形”最近聯想的知識塊鏈

基于條件“D是AB的中點”最近聯想的知識塊鏈

基于條件“AC=4，BC=8”進一步最近聯想的知識塊鏈

（1）證明：連接OD。

∵D是AB的中點，

∴AD=BD。

又∵OA=OE，

∴OD∥BE。

∵DF⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∴∠ODF=∠DFB=90°，

即OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線。

（2）解法一：連接CD。

∵∠C=90°，D是AB的中點，

∴AE是⊙O的直徑，CD=BD=AB。

又∵FD⊥BC，

∴CF=BF=BC=4。

連接DE，

則由AE為⊙O的直徑得∠ADE=90°。

又∵D是AB的中點，

∴DE垂直平分AB，

∴AE=BE。

設AE=x，則BE=x，CE=8-x。

在Rt△ACE中，

根據勾股定理，得AE2=AC2+CE2。

∴（8-x）2+42=x2，解得x=5。

∴BE=x=5。

∴EF=BE-BF=5-4=1。

解法二：連接DE。

∵∠C=90°，

∴AE是⊙O的直徑，

∴∠EDA=90°。

又∵FD⊥BC，

∴∠EFD=∠EDB=90°，

∴△DEF∽△BDF，

∴EF∶DF=DF∶BF。

∵CD=BD，DF⊥BC，

∴FC=FB=BC=4。

又∵D是AB的中點，

∴DF=AC=2，

∴EF∶2=2∶4，

即EF=1。

解法三：連接DE。

∵四邊形ACED是圓的內接四邊形，

∴∠DEC+∠DAC=180°。

又∵∠DEC+∠DEF=180°，

∴∠DEF=∠DAC。

∵∠DFE=∠ACB=90°，∠DEF=∠DAC，

∴△DEF∽△BAC，

∴EF∶AC=DF∶BC，

∴EF=1。

【點評】第（1）問考查了切線的判定，我們可以運用切線的判定定理證明。第（2）問是求線段長度。同學們對EF的“定位”是本題一題多解的條件，可以聯想到用相似三角形、勾股定理等方法解決問題。在本題中，若將EF“定位”于△DEF中，只需要找到適當的三角形與其相似即可求解；若將EF視為BE上的一段（當然，也可理解為CF上的一段），可將EF“轉化”為BE（或CE）求解。

在解決復雜的幾何題時，我們需要對常見的基本圖形熟知，并能從復雜圖形中“分離”出基本圖形。比如，本題中包含的“直角三角形斜邊上的中線”“等腰三角形的三線合一（垂直平分線）”“三角形的中位線”“A字形”“子母直角三角形”等基本圖形。我們如果能巧妙地對較為復雜的幾何圖形進行分解，就能化繁為簡，找到解題的突破口。