求一些特殊類型分塊矩陣的行列式

韓榮梅

（內蒙古科技大學包頭師范學院數學科學學院，內蒙古 包頭014000）

矩陣在數學的很多學科上例如線性代數、線性規劃、組合數學等有著重要的使用價值，此外，在實際生活中的很多問題也可以抽象成矩陣進行表述和運算，因此矩陣的運算以及矩陣的應用，都值得我們去深入研究。當矩陣的行的個數和列的個數都比較多時，這時研究矩陣的計算過程會有些復雜，為了讓我們更清楚階數更高的矩陣的結構，為了簡化其運算，我們可以通過把高階矩陣采用分塊的形式來達到我們的目的，從而使有關矩陣的理論問題和實際問題都變得更加容易，這時就體現出了分塊矩陣的重要性。矩陣分塊，就是把一個行數列數較多的矩陣看做是由一些小的矩陣組成。就如矩陣的元素（數）一樣，特別是在運算中，可以把這些小矩陣算作數一樣處理。把矩陣分塊后再進行相應的運算會更加方便，因為利用矩陣的分塊可以更加清楚矩陣間的某些聯系，使得計算非常方便，方法容易總結，是處理級數較高的矩陣時常采用的方法。

分析：觀察該行列式發現除對角元素外，其余元素都相同，所以可以用加邊法升階后對行列式進行化簡，對化簡后的矩陣再進行分塊計算出行列式結果。

解:對原行列式運用加邊法，然后將加邊后的行列式的第一行乘-1 倍加到其余各行，得：

分析：觀察矩陣，根據做題習慣很容易將矩陣分塊為A，B，C，D 四個小矩陣，又已知矩陣D 可逆，故由定理1 可以直接計算出矩陣M的行列式。