帶Calderón-Zygmund核的Toeplitz型算子的有界性

趙巧珍 ,黃得建

(1.嘉興南洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,浙江 嘉興 314003;2.海南熱帶海洋學(xué)院 理學(xué)院,海南 三亞 572022)

0 引言

隨著奇異積分算子的發(fā)展[1-2],它們的交換子已經(jīng)得到了很好的研究.文獻(xiàn)[3-5]證明了1

本研究討論了帶Calderón-Zygmund核的奇異積分算子和Lipschitz函數(shù)生成的Toeplitz型算子的有界性.為了討論方便，引入下面定義.

定義[9]222設(shè)K(x,y)=Ω(x,y)/|y|n:n×(n/{0})→.K稱為可變Calderón-Zygmund核,且滿足以下兩個(gè)條件:

(1)K(x,·)是一個(gè)Calderón-Zygmund核,x∈n；

設(shè)b是n上的局部可積函數(shù),T是帶有可變Calderón-Zygmund核的奇異積分算子,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Toeplitz型算子定義為

其中:算子Tk,1是可變Calderón-Zygmund核的奇異積分算子T或±T(單位算子);算子Tk,2和Tk,4是線性算子,Tk,3=±I(k=1,2,…,m),Mb(f)=bf和Iα是分?jǐn)?shù)積分算子(0<α

1 引理

為了證明主要結(jié)論,本研究引入以下幾個(gè)引理.

引理1[9]233設(shè)T是定義中的奇異積分算子,則T在Lp(n)(1

引理2[8]4對(duì)于0<β<1,1

引理3[11]635對(duì)于(1

引理4[11]636對(duì)于0<α

‖Iα(f)‖Lq≤C‖f‖Lp,

‖Mα,s(f)‖Lq≤C‖f‖Lp.

2 定理及其證明

定理1設(shè)T是定義中的奇異積分算子,0<β<1,10,使得對(duì)任意的n)及n,有

其中:

于是有

對(duì)于I1,利用H?lder不等式及引理1,有

因此有

對(duì)于I2,由文獻(xiàn)[9]的公式4.1[9]230和文獻(xiàn)[10]的定理2[10]463可知

Cun/2|x-x0|/|x0-y|n+1.

對(duì)于|x-y|>2|x0-x|>0,x∈Q,可得

因此

類似地,由引理4,對(duì)于1/r=1/s-a/n,有

定理2設(shè)T是定義中的奇異積分算子,0<β<1,10,使得對(duì)任意的n)及∈n,有

類似定理1的證明方法,對(duì)于1/r=1/s-α/n,有

定理3設(shè)T是定義中的奇異積分算子,0<β<1,1

證明在定理1中取1