圓錐型徑向基函數的配點法及其應用

郭玄玄,王福章,2

(1.淮北師范大學 數學科學學院,安徽 淮北 235000；2.宿遷學院 文理學院,江蘇 宿遷 223800 )

0 引言

徑向基函數配點法是對應于有限元法發展起來的一種求解微分方程數值解的區域配點型無網格法.該方法數學原理簡單,具有容易進行程序實施和高精度數值模擬等優點.徑向基函數法僅需利用區域配點信息即可對待求問題進行數值模擬[1-3].由于徑向基函數配點法只需要一組區域節點來離散求解問題,直接借助于區域離散點來構造近似函數,因此受到眾多學者的青睞,吸引了許多相關領域學者開展了深入的研究.

眾所周知,目前對于徑向基函數配點法的研究大多集中于Multiquadric(MQ)[4],高斯(Gaussians)[5-6]和Thin plate spline(TPS)[7]三種徑向基函數方法.其中高斯型徑向基函數和MQ方法由于涉及徑向基函數中的參數問題,理論和應用方面的研究最為廣泛,TPS方法的研究也比較多.然而關于圓錐型(Cornical type)徑向基函數配點法的研究較少報道.據文獻所知,Li[8]用圓錐型徑向基函數配點法對邊值問題反問題進行數值模擬,結果表明：圓錐型徑向基函數可以通過已知第一類邊界條件和第二類邊界條件,非常準確地重構未知邊界,且實施過程非常簡單.其余相關研究工作鮮見報道.

本研究針對拉普拉斯控制方程邊值問題的數學模型,用切比雪夫節點作為數值模擬過程中的配點結合圓錐型徑向基函數進行數值模擬.將該方法與傳統圓錐型徑向基函數配點法和解析解的結果進行了對比研究,分析了基于切比雪夫節點的圓錐型徑向基函數法對拉普拉斯控制方程邊值問題的數學模型所獲數值結果的影響.

1 徑向基函數配點法的基本思想

為了簡要說明徑向基函數配點法的基本思想,本研究考慮如下二維平面區域Ω?2上的拉普拉斯微分方程邊值問題.

Δu(P)=f(P),P=(x,y)∈Ω;

(1)

(2)

(3)

ΓD∪ΓN=?Ω,ΓD∩ΓN=φ.

在徑向基函數配點法中,本研究用函數

(4)

來近似邊值問題(1)—(3)的解u(P)，其中:{Pj}是區域Ω?2中的N個不同的節點,{cj}為待定系數,而

(5)

將近似表達式(4)代入邊值問題(1)—(3),考慮N個配點(其中M個內點,ND-M個第一類邊界點,N-ND個第二類邊界點),可得

(6)

(7)

(8)

方程組(6)—(8)可縮寫為

Qc=b,

(9)

(10)

求得,對應點處法向的數值解可由上式求法向導數得到.

2 切比雪夫配點法

傳統的徑向基函數配點法在上述數值模擬過程中配點的選取大部分采用均勻布點(圖1).為了提高傳統的徑向基函數配點法的數值模擬精度,本研究提出了以下切比雪夫配點法,其基本思想是利用定義在開區間(-1,1)上的切比雪夫節點,在切比雪夫節點內增加區間端點-1和1,構成閉區間[-1,1]的計算節點,具體如下(圖2):

(11)

圖1 傳統徑向基函數的配點示意圖

圖2 切比雪夫節點示意圖

通過對傳統的布點圖和切比雪夫節點圖進行比較,可以看出,傳統布點節點間距相等,而且切比雪夫節點在角點處更密集,在區域中部較為稀疏.

3 算例分析

為了實施方便,本研究考慮問題所滿足的齊次定解問題如下：

Δu(x,y)=0 [(x,y)∈Ω],

(12)

(13)

其中Ω=[-1,1]×[-1,1]表示正方形區域.全部邊界僅考慮第一類邊界條件,該問題解析解為

為了與傳統徑向基函數方法進行比較,傳統方法選取邊界配點數N=441,由于切比雪夫節點不是均勻布點,選取近似的邊界配點數N=437,計算點數均為1 681個.當m=3時,圖3給出了當x=1時傳統圓錐形徑向基函數配點法所得到的誤差剖面圖,圖3中結果表明在區域邊界{(x,y)|x=1,y∈(-1,1)}附近誤差較大,而其他點處的誤差相對較小,所有計算點處的平均相對誤差為Perr=1.53×10-5.

圖4給出了當x=1時基于切比雪夫配點法所得到的誤差剖面圖,圖4中結果表明：在區域邊界{(x,y)|x=1,y∈(-1,1)}附近所有計算點處的平均相對誤差為Perr=3.06×10-6，由此可見，用傳統方法所得誤差約為使用新方法(基于切比雪夫配點法)所得誤差的5倍.

圖3 傳統圓錐型徑向基函數法所得到的誤差圖

圖4 基于切比雪夫配點法所得到的誤差圖

上述算例表明傳統的圓錐型徑向基函數方法在有些邊界節點附近數值模擬精度較低,然而基于切比雪夫節點的圓錐型徑向基函數法在邊界處的誤差有明顯減小,并且它可以改進整體區域上的計算結果的精度.

4 結論

將切比雪夫節點和徑向基函數結合用于數值模擬偏微分方程邊值問題可以得到令人滿意的結果.與傳統的圓錐型徑向基函數方法相比,基于切比雪夫節點的徑向基函數法的優越性在于:計算結果精度高；在邊界處的誤差有明顯減小.盡管本研究僅考慮將切比雪夫節點與圓錐型徑向基函數相結合的方法,但該方法可以非常容易推廣到其他同類問題之上.本研究表明,基于切比雪夫節點的徑向基函數法,對數值模擬偏微分方程邊值問題具有較好的效果.本研究的方法可以推廣到實際問題的數值模擬中[9-10].