拾級而上，自主探究，讓學生建構自己的數學

賴啟茂

[摘? 要] 文章就“去分母解一元一次方程”中的教學內容進行全新的設計，引導學生從最簡單易懂的兩個問題情境切入，在原有知識經驗基礎上，完全自主探究發現用“去分母”的方法解含分數系數的一元一次方程.

[關鍵詞] 去分母;解方程;一元一次方程;自主探究;類比

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出“課堂教學的有效性首先取決于學生對知識生成過程的體驗”.

學生體驗知識的生成過程，如果是自己積極主動地探究和發現知識，并自覺地納入自己的認知結構中，就能建構屬于學生自己理解的數學，數學素養也能得到真正意義上的提升，這樣的數學課堂才是有效的. 本文以筆者在“去分母解一元一次方程”教學設計中進行的一些嘗試為例，與同仁們探討.

教學內容和內容分析

（一）教學內容

“去分母解一元一次方程”是人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》七年級上冊第三章第三節的內容.

（二）教學內容分析

1. 課標要求

課標總要求是：能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，能解一元一次方程.

本節課的要求是：理解并掌握用去分母解含分數系數的一元一次方程的方法.

2. 教材分析

知識層面：學生已經學習了有理數運算、整式及其加減、一元一次方程等知識，而去分母解一元一次方程是在學生已經學習了移項、去括號解一元一次方程等知識之后遇到的一個新的問題，對它的學習和研究不僅是一元一次方程解法的拓展提升，同時也為今后學習解分式方程奠定基礎.

能力層面：學生在此前的學習過程中，已經初步掌握了有理數的運算和整式的加減運算，具備了一定的數式運算能力，同時積累了移項解一元一次方程、去括號解一元一次方程的轉化能力. 而對于含分數系數的一元一次方程，需要更高層次的轉化能力——去分母，包含了確定最簡公分母，運用等式性質去分母，添括號，把分數系數的一元一次方程轉化為整數系數的一元一次方程，涉及數、式綜合運算，通過去分母解一元一次方程的訓練，能提高學生的數式綜合運算能力.

思想層面：本節課“去分母解一元一次方程”，把含分數系數的一元一次方程化為整數系數的一元一次方程，最終轉化成x=a的形式，蘊含了轉化與化歸的數學思想. 另外，去分母時需整體添括號，也滲透了數學的整體思想，在根據情境中的數量關系列方程的實踐中讓學生進一步體會方程模型思想.

根據教材分析，確定本課時的教學重點：如何恰當地去分母.

3. 學情分析

學生在前面幾節課已經分別探究了通過移項和去括號來解一元一次方程，初步有了解一元一次方程需具備的轉化意識. 而這節課遇到的含分數系數的一元一次方程，在學生的活動經驗里，完全是個嶄新的問題（不像去括號，在學習上一章“整式的加減”時，已經對其有了感性認識和實踐經驗），要理解它則需要認識上的一次飛躍. 如何把含分數系數的一元一次方程化為整數系數的一元一次方程，特別是去分母時需整體添括號，防漏乘，對優生來說，這也是學習上極大的挑戰，更不用說其他學生了. 鑒于此，只有通過由淺入深的自主探究、合作交流，讓學生較自然地親身經歷知識和方法的形成過程，以激發學生分析問題、解決問題的興趣，讓學生在探究中提高數學學習能力.

根據學情，確定本課時的教學難點：防漏乘.

教學目標

（一）理解去分母的依據和作用，會用去分母的方法，把含分數系數的一元一次方程轉化為整數系數的一元一次方程.

（二）從實際問題中列出一元一次方程，會將實際問題轉化為數學問題.

（三）在列方程和解方程的實踐中，逐步體會到方程模型思想與化歸思想的作用.

教學策略

（一 ）根據七年級學生的心理和認知特點，本節課采用由淺入深，由易到難的方法，從最簡單的一元一次方程起步，變式為含分數系數的一元一次方程，分母的個數由一個變為兩個，再變為三個，循序漸進，讓學生拾級而上.

（二）根據主體性教學原則和發現教學法，本節課的教學采用主要由學生自主探究的方式展開，讓學生自己去類比、探究、發現，因為只有學生發現的才是學生自己的數學.

教學過程

（一）新知學習

1. 回顧舊知

教師提出下列問題，引導學生回顧舊知識.

問題1：昨天學的是具有什么特征的一元一次方程的解法？（含括號）

問題2：對于含括號的一元一次方程，解方程時我們是怎樣處理的？（去括號）

問題3：去括號有什么作用呢？體現了解方程的什么思想？

問題4：請同學們完成表1.

【設計意圖】

問題1中“具有什么特征的一元一次方程”，通過心理暗示，讓學生養成善于觀察的習慣，從教學中的點點滴滴影響學生觀察能力的提升.

問題4讓學生先填空后解方程. 通常，教師們讓學生解方程時，學生能做對，就認為達成了教學目標. 僅憑如此，應試是沒問題的，但是從學科教學“培養學生數學素養”的立意來看，是遠遠不夠的.？搖這里讓學生完成表格，每一步都先寫依據（算理）、明確注意事項（即可能出現的失誤），再進行解方程的運算，著力培養學生的理性思維，使學生養成先觀察思考，后動手運算的良好解題習慣. 長此以往，學生就能形成一個睿智的、嚴謹的數學頭腦，這正是數學教學的目標所在.

2. 引出新知

問題情境：

情境1：李明同學買了兩支鉛筆花去1元錢，問：一支鉛筆多少錢？

情境2：張華同學買一支圓珠筆的錢的一半是1元，問一支圓珠筆多少錢？

請同學們分別設未知數，列出方程.

幾乎所有同學都能列出：①2x=1， ②■x=1或■=1.

教師引導學生觀察：方程①②有什么不同？

學生行為：學生先自主觀察、再同桌交流，后全班交流.

得出結論：方程①中未知數的系數是整數，方程②中未知數的系數是分數.

教師對比引出新知：此前我們學習的是整數系數的一元一次方程，今天就來學習分數系數的一元一次方程.

【設計意圖】

這里用學生身邊的兩個簡單的情境對比引出新知，一是使學生體會到數學來源于生活，二是教學活動面向所有學生，問題簡單，學生參與面廣，讓學生輕松地從舊知過渡到新知. 雖然列的方程簡單，但是問題“方程①②有什么不同”頗具思考性，學生剛剛還沉浸在列出方程的喜悅中，馬上又進入思考狀態，鍛煉學生的觀察能力和概括能力.

需要說明的是，數學課本中采用了英國倫敦博物館收藏的2300多年前的紙草書問題引出分數系數的一元一次方程. “紙草書問題”列出的方程■x+■x+■x+x=33繁雜，大部分學生一見那么長的、沒見過的方程就有畏懼感，不利于后續學習的展開. 并且本節課的重點是讓學生學會用去分母解分數系數方程，用“紙草書問題”列出的方程去探究“去分母”，顯然起點太高，要理清楚比較費時，不符合七年級學生的認知特點，所以筆者改用兩個簡單的生活情境，起步低，學生容易進入學習探究狀態.

3. 自主探究

教師導語：同學們已經學會了方程①2x=1的解法，那么方程②■=1作為最簡單的分數系數方程又該如何解呢？然后下列其他的方程又該如何解呢？請同學們獨自探究. （此環節特別強調：獨立思考，不得交流）

解方程：①2x=1;②■=1;③■=1;④■=1;⑤■=■;⑥■=■+1;⑦■-■=1.

【設計意圖】

給出一串由易到難、循序漸進的方程，讓學生探究解法，使學生覺得既簡單，又有挑戰，有拾級而上之感，激起學生數學探究的欲望. 因為起步容易，方向明確，所以學生一邊體驗成功的愉悅，一邊又格外小心. 因為有很多細節的處理沒經歷過，需要學生不斷地嘗試和琢磨，借此培養學生分析問題和解決問題的能力，更重要的是通過探究，提升學生數學學習能力.

學生探究情況的預測與分析：學生此前已學會用去括號、移項、合并同類項、系數化為1的方法解一元一次方程，面對新出現的分數系數方程怎么解，一般都會感到為難，因為沒學過去分母. 通常，教師們大都采用告訴式的教法，遇到分數系數方程，就用“去分母”的方法，把分數系數化為整數系數. 而這里，巧妙地通過引出兩方程：2x=1，■=1，自然地從整數系數方程過渡到分數系數方程，學生原本就有一些解一元一次方程的經驗，一般能類比2x=1的解法，兩邊同乘以2，輕松地解出x=2，潛意識里油然而生一種“去分母”的感覺（雖然此時，有的同學還叫不出這個步驟叫“去分母”）. 學生繼續類比，不難解出③■=1，④■=1，學生由此嘗到類比的喜悅，有助于鞏固和提升學生的類比能力. 此時，學生積累了兩邊同乘以分母解含一個分母的一元一次方程. 對于方程⑤■=■，學生一般都傾向于用剛才的經驗，但是，要考慮如何一下去掉兩個分母，這問題讓學生“跳一跳”才夠得著，可發展學生的數學思維能力. 方程⑥■=■+1與方程⑦■-■=1，進一步增加了難度， 這兩個方程雖然本質相同，但因形式不同而具體處理的細節有許多差異. 這里需要學生擁有較強的計算能力和兼顧全局的意識，滲透整體思想（整體添括號、局部添括號）. 學生在解方程⑥⑦時，可能出現漏乘、未及時添括號等問題，這些問題的出現正是學生在探究解分數系數方程時應有的試誤體驗. 正如小孩學走路，開始跌跌撞撞是正常的，后面才能走得正，走得實.

這個環節是整節課中學生活動的重頭戲，因為所有的教學都是為了學生學習能力的提升，學生的大腦是因為思考才得以發展的，哪怕走的是彎路，甚至歧途，也是學習經驗的積累，有益于后續學習的展開. 所以，這里要給足學生自主探究的時間，讓他們的大腦充分“煎熬”，才能“修成正果”.

4. 合作提升

學生行為：小組交流解方程②到方程⑦的自主探究過程，同伴互助，共同解決自主探究中出現的問題. 總結：（1）解含分數系數的一元一次方程的策略;（2）每一步的依據;（3）每個步驟容易出錯之處，怎樣克服的？然后請一個學習小組的組長上臺匯報，其余同學補充，教師適時指導.

【設計意圖】

在充分思考的情況下，學生思維現狀可能有兩種現象：一是學生已探究出結果，二是對探究的問題存在困惑. 對于前者，學生雖有了自己的結果，潛意識里會有一種與別人比試一下的沖動，想知道別人是怎樣處理的，誰的方法更好;對于后者，學生很渴望得到別人的幫助. 此時此刻讓學生合作交流，正當其時，既可分享成功的喜悅，又能進行同伴互助，釋疑解難，從中鍛煉學生的表達能力，還可以培養團隊精神. 通過交流、總結、補充，每一位學生獲得的知識、方法不斷完善，學習能力得以提升.

5. 引導發展

針對學生自主探究和合作交流的情況，教師進行如下的梳理、點化和拓展.

教師行為：

（1）對于方程②■x=1，兩邊同乘以2，變成x=2，展示了一種方程同解變形，即：分數系數方程，通過去分母，化為整數系數方程，是轉化與化歸的數學思想的實際體現.

（2）從用去分母解方程②■=1想到，也用去分母解方程③■=1，這在數學上叫類比，數學上很多新知識都可以從舊知識中類比得出.

（3）解方程③■=1，除了可用去分母外，還有沒有別的方法？引導學生得到拆項法，讓學生對比兩種方法，得出用“去分母”更簡捷.

（4）對于方程⑤■=■，出現兩個分母了，怎樣才能同時去掉兩個分母，又使得計算盡可能更簡單？去分母后，如果分子是多項式應及時添括號，如果不添，會怎樣？

（5）對于方程⑥■=■+1，很多學生去分母后得到3（x+1）=2（1-x）+1，右邊的1漏乘6了，怎樣來避免漏乘現象？讓學生說說自己漏乘的心路歷程，與學生一同商量得出：方程的一邊有兩項或兩項以上時，去分母前要先整體添括號，再乘以最簡公分母，即6×■=■+1×6，然后運用分配律，就不至于漏乘. 引導學生重視算理，積累經驗，避免漏乘，突破難點.

（6）對于方程⑦■-■=1，有不少學生去分母后得到3（x+1）-2（1-x）=1，與學生一起分析對錯，并說明原因，該采用什么對策來克服類似現象（每一步都要注意依據）？

（7）對于方程⑦■-■=1，兩邊同時乘以6得以去分母解方程后，如果方程變為：⑧ ■-■=1，⑨ ■-■=1，⑩ ■-■=1，■■-■=1，兩邊分別同時乘以什么才能去分母呢？引導學生思考（不寫過程，口答即可）.

完成后，思考：為什么老師讓學生做這樣的變式訓練？

【設計意圖】

學生在自主探究中遇到的困惑，通過合作交流，基本能消除，但限于學生的知識基礎、活動經驗以及認知能力，其認知可能只停留于解決了問題的層面，很難達到理性的高度，這時需要教師的點化藝術發揮作用.

以上教師行為中，（1）引導學生用動態的眼光去觀察運算過程中式子的變化，在實例中去體會轉化與化歸的數學思想. （2）進一步通過具體的情境，讓學生加深對數學類比思想的體驗，逐步形成數學學習中的類比能力. （3）讓學生思考■=1的多種解法，培養學生發散思維能力，防止學生思維固化. （4）（5）（6）主要強調，去分母要兼顧方程左、右兩邊，也要兼顧兩邊的每一項，滲透整體數學思想，培養學生思維的嚴謹性，提升思維品質. （7）強調本節課的重點是去分母，而去分母的重點是找準最簡公分母，變式訓練旨在突出重點問題重點訓練. （7）中的方程⑦⑧⑨，最簡公分母均是兩個分母的乘積所得，此時學生容易形成思維定式，所以方程⑩■的出現，幫助學生破除定式思維.

本環節完成時，引導學生回顧反思變式訓練過程，培養學生數學學習的元認知能力.

6. 強化拓展

解方程（只寫出“去分母”一步即可）：①3x+■=3-■;②■-■=3■;③■=■-■;④■-2=■-■;⑤■x+■（426-x）=426×■;⑥■=5.

學生獨立完成，3位學生上臺板演，然后讓其他學生糾錯，教師點評.

【設計意圖】

數學是算出來的. 學生有了去分母解方程的知識，怎樣把知識轉化為技能乃至形成能力，需要一定量的練習來達成. 為了把時間用在刀刃上，要求學生只寫去分母這一步，既是重點問題重點訓練，又避免了去括號、移項等簡單動作的機械重復，以免學生心生厭煩的情緒. 同時，給出的六個方程，不是簡單地重復“昨天的故事”，每題都有新意，“依樣畫葫蘆”是行不通的. 分母從兩個到三個，數字從整數到分數，分母由小到大，甚至出現分母是小數的情況，這些新問題，都需要學生認真思考，尋找新對策，培養學生分析問題和解決問題的能力，逐步形成求變求新的學習能力.

（二）成效評價

課堂結束前5分鐘，學生完成表2（根據基礎選擇A，B，C中的一題寫出過程即可）.

【設計意圖】

這張學生學習成效評價表中，“知識水平”部分是了解學生對所學知識的意義建構情況. “能力達成”部分是檢測學生對去分母解一元一次方程的掌握程度，要求學生解方程之前先填寫每一步的依據和注意事項，進一步培養學生的理性思維，養成先思考、后動手的習慣，避免生搬硬套. “課堂表現”部分是學生的自我評價，其中滲透良好學習習慣的培養，同時也能提高學生數學學習的元認知能力. 給出的方程有A，B，C三個，滿足不同層次的學生，讓所有的學生都能參與，讓不同層次的學生都能在原有基礎上有所發展.

（三）課后作業（人教版七上教科書）

A. 課本第98頁第3題（1）（2）;

B. 課本第98頁第3題（1）（2）（3）（4）;

C. 課本第98頁第3題，第99頁第9題.

【設計意圖】

分層布置作業，讓不同層次的學生獲得不同的體驗.

教學反思

（一）設置恰當起點，便于學生快速進入自主探究狀態

千里之行，始于足下. 學生在自主探究時，從哪里切入，學生思維的邏輯起點是什么？這些都需教師精心設計. 有了恰當的起點，學生才能較快進入探究狀態. 筆者以解方程①2x=1，②■=1作為學生自主探究的起點，多數學生都能想到“解方程②■=1時，兩邊同乘以2”，實際就是“去分母”. 這樣的“去分母”不是教師硬塞給學生的，而是學生在原有知識和經驗基礎上，自然生成的一種想法. 反過來，如果一開始給出方程⑦■-■=1，要讓學生自己悟出去分母的方法，對大多數學生而言，思維跨度太大，只有靠老師的生拉硬拽，學生機械地記住步驟，緊接著大量練習，導致數學思維的教學淪為一種技能的機械操練，不利于學生理解數學. 由此可見，起點設置妥否，直接影響學生自主探究的走向及質量.

（二）善用類比，是學生自主探究的方法

波利亞說：“類比是獲得發現的偉大源泉. ”教師在數學教學中應盡可能放手，讓學生從已有知識和經驗出發，借助類比的思想方法，自主探究發現新知識. 曲折起伏的探究過程能使學生感受數學的魅力，學生良好的學習情感倍增，探究興致愈發濃厚. 學生從解方程①②中自然生成“去分母”的方法后，馬上讓學生探究方程③～⑦，在探究這一方程題組的解法中，學生能發現這些問題內在的邏輯關聯，在變化中抓住不變的核心特征，即都是含分數系數的方程，因此類比方程②■=1找到解決辦法. 在此類數學活動中，學生能深刻感悟類比是數學探究的好方法，而且每一次的類比，不是照搬照套，而是螺旋式上升，學生的類比能力逐漸增強，類比思想日益鞏固.

（三）自主探究中應著力學生理性思維的培養

理性思維是一種建立在證據或邏輯推理基礎上的思維方式. 七年級學生有了一定的數學知識和活動經驗，但由于其相應年齡的心理特點，在數學學習中往往表現出思維不夠嚴謹，凡事“想當然”或跟著感覺走，導致的結果是思考問題顧此失彼. 尤其是自主探究中，沒有了老師的示范引領，可能漏洞百出. 因此，教師在學生自主探究的各個環節應著力理性思維的滲透，確保學生的自主探究能朝正確的方向邁進.

本節課在開始和結尾都讓學生填表，表中引導學生先思考解方程時每一步的依據（算理）及注意事項（可能出現的失誤），然后再動手演算，旨在養成學生理性思考的習慣. 長此以往，學生在自主探究時會形成自然的條件反射，先思考每一步的依據（算理）是什么，容易出現什么問題. 如此這般，學生的數學演算就不易出錯，學生嚴謹的理性思維日漸形成，這正是數學教學的目標所在.

（四）意義建構是學生自主探究的歸宿

美國華盛頓兒童博物館有一句醒目的格言——“我聽見了就忘記了，我看見了就記住了，我做過了就理解了. ”意思就是說，只有讓學生自己去觀察、思考、嘗試、討論、概括得到的新知識，才是學生知識領域真正意義上的建構.

此次教學，從解方程①2x=1，②■=1開始，放手讓學生自主探究，學生通過類比，萌生出用去分母解含分數系數的一元一次方程，整個探究過程拾級而上，學生依次遇到“兩個分母怎么才能去掉”“漏乘怎么處理”“去分母時如何添括號”等問題，需要學生獨自應對，不斷地試誤、糾錯、改進、完善. 這一過程完全是學生自己展開的一次“數學之旅”，活動中獲取的數學經驗成為學生生命中的一部分，教師只是適時適度地點化、提煉，像這樣學生自己發現的數學才是學生自己的數學. 因此，自主探究，最終能實現讓學生對所學知識進行意義建構的目的.