一種不確定性機器人的變結構控制

周景雷

(菏澤學院機電工程系,山東菏澤 274015)

一種不確定性機器人的變結構控制

周景雷

(菏澤學院機電工程系,山東菏澤 274015)

考慮機器人的不確定項,首先利用反饋控制技術,把基于拉格朗日方程的多關節機器人動力學模型轉化成一線性狀態方程1然后基于此狀態方程,運用變結構控制思想,并結合李雅普諾夫函數設計出一種新的機器人魯棒控制器,這種控制器能夠保證機器人機械臂的跟蹤誤差漸近收斂到零點.無論是理論推導還是實驗仿真都說明了所設計的控制器有著很好的魯棒性和有效性.

機器人; 不確定性; 變結構控制; 李雅普諾夫函數

1 引 言

變結構控制是由前蘇聯學者Emelyanov在上世紀50年代提出的一種具有很強魯棒性的控制策略,后經Utkin[1]和Itkis等人進一步發展研究而日趨成熟1這種控制策略與常規控制的根本區別在于控制的不連續性,即一種使系統“結構”隨時間變化的開關特性1該控制特性可以迫使系統在一定特性下沿規定的狀態軌跡作小幅度、高頻率的上下運動,即所謂的“滑動模態”或“滑模”運動1這種滑動模態是可以設計的,且與系統的參數及擾動無關1這樣,處于滑模運動的系統就具有很好的魯棒性.

由于它對模型的要求比較低,對外界擾動及參數的不確定性具有良好的魯棒性,所以近年來,變結構控制思想被廣泛應用于工程領域,機器人控制系統就是一個很熱門的領域1馬賽[2]將變結構和觀測器結合起來保證了機器人跟蹤軌跡的指數收斂;華森[3]考慮了機器人控制系統的死區這一特殊非線性;吳勃[4]和張文輝[5]利用了神經網絡控制,他們也都取得了不錯的成績.但是,觀測器和神經網絡的利用雖然能夠給機器人控制系統的穩定帶來一些積極因素,但是也勢必增加理論和實際控制器設計的困難1所以,我們設計出了一種簡單的一般性的變結構控制器,該控制器不但簡單易于設計,就穩定性問題也很好地得到了滿足.

2 變結構控制的基本原理[6-7]

變結構控制的基本問題如下1設有一控制系統

我們需要確定切換函數向量

其具有的維數一般等于控制的維數,并且尋求變結構控制

這里變結構體現在u+(x)≠u-(x),使得:切換面si(x)=0以外的相軌跡于有限時間內進入切換面;切換面是滑動模態區;滑動運動漸近穩定,動態品質良好1事實上這些都容易滿足,關鍵是要保證滑動模態的存在,其存在的條件就是

3 機器人系統描述

基于拉格朗日方程的n關節機器人動力學模型在文獻[8-9]中多有研究,其可由下面二階非線性向量微分方程來描述

式中,M(q)∈Rn×n為機器人的慣性矩陣;q,?q,¨q∈Rn為關節位移、速度和加速度;h(q,?q)為離心力、哥氏力及重力的耦合向量;τ為廣義關節力矩向量;f為外界不確定項,包含外界干擾和建模誤差等1該機器人模型有如下性質(有界性):M(q)為對稱正定矩陣,且對于所有的q都是有界的,即存在正數λmΦλM滿足不等式λmΦ‖M(q)‖ΦλM1我們通常希望不確定性是有界的,所以要假設f有界.

假設 對于不確定項f,其每一個元素都是有界的,即存在一正向量ρ滿足

對于方程(1),我們選擇如下廣義控制力矩

這里,Kv,Kp為正定增益陣,分別可視為微分和比例增益,為了簡便,我們在文章中設它們都為對角陣;e=q -qd為關節位移誤差,qd為關節期望位移,它們都是二階可導的;u為外界所加的反饋控制輸入,下面就是設計u使得機器人系統滿足漸近穩定性目的.

將廣義控制力矩帶入方程(1),通過化簡可得

根據M(q)的性質和對不確定項f所做的假設,我們很容易得出d是有界的,即存在一正向量d0滿足下列不等式

4 控制器設計

顯然上一小節式(3)中的矩陣A是一正定矩陣[10],于是總存在一個正定解矩陣P對于任一正定矩陣Q滿足

為了下面的需要,在這里我們要定義一個輔助變量^x和一個切換函數向量S,它們分別為

這里P就是式(4)的解矩陣,并且根據正定矩陣的分解我們總可以將其分解為P=LDDLT,L為一下三角矩陣、D為一對角陣,并且它們也都為正定矩陣.

定理 對于系統(3),當選擇如下控制律u時,對所有滿足假設的不確定項,我們稱系統(3)是漸近穩定的.

5 實驗仿真

最后我們以兩關節機器人機械臂為例來說明我們所設計控制器的有效性和魯棒性,其中的參數選擇和仿真圖形見文獻[11],限于篇幅在這里我們只給出仿真圖形,見下圖.圖中,e表示跟蹤誤差,de表示誤差的導數,左圖表示關節1的誤差曲線,右圖表示關節2的誤差曲線1從仿真圖可以看出經過很短的時間,就使得跟蹤誤差及其導數趨向于零了.

6 結 論

本文依據變結構控制思想,結合控制論中常用的李雅普諾夫函數,設計出了一種機器人機械臂的控制器,該控制器理論簡單易于設計,無論從理論方面還是實驗方面都證明了文中所設計的控制器是可行的、有效的.

[1]UTKIN V I.Control systems of variable structure[M].New Y ork:Wiley,1976.

[2]馬賽,小圣鴻.機器人控制中的變結構觀測器[J].艦船電子工程,2009,29(2):158-162.

[3]華森,張天平,朱秋琴,等.帶有未知死區的機器人自適應滑模控制[J].中南大學學報,2009,40(S1):102 -107.

[4]吳勃,許文芳,陳虹麗.神經滑模控制在機器人軌跡跟蹤中的應用[J].電機與控制學報,2009,13(S1):99 -104.

[5]張文輝,齊乃明,尹洪亮.不確定機器人的神經網絡軌跡控制[J].自動化與儀表,2010,(5):22-25.

[6]高為炳.變結構控制基礎[M].北京:科學出版社, 1989.

[7]姚瓊薈,黃繼起,吳漢松.變結構控制系統[M].重慶:重慶大學出版社,1997.

[8]SPONG M W,VIDYSAG AR M.Robot dynamics and control [M].New Y ork:,wiley,1993.

[9]LEWIS F L,ABDALLAH,DAWSON D M.Control of robot manipulators[M].New Y ork:Macmillan,1993.

[10]周景雷,張維海.一種機器人軌跡的魯棒跟蹤控制[J].控制工程,2007,14(3):336-339.

[11]ZHOU J L,ZHANG W H.Robust control for robot with friction based on linear state equation.Proceedings of the 6th International Conference on Intelligent Systems Design and Applications,2006,vol(2):243-248.

Abstract:Considering uncertainties for robot,first,the multi-joint robot dynamics model based on the Lagrange equation is transformed into a linear state equation via feedback control technique.And then,corresponding to the linear state equation,by making use of the variable structure control and the Lyapunov function,an new controller is designed.This controller ensure the robotic tracking errors convergent to be zero.All the theoretical derivation and the simulation results show the robustness and effectiveness of the proposed controller.

Key words:robot; uncertain; variable structure control; Lyapunov function

Variable Structure Control for Uncertain Robot

ZHOU Jing-lei

(Department of Machine and Electronic,Heze,Shandong 274015)

TP24

A

1671-9743(2011)02-0057-03

2011-02-12

山東省自然科學基金(ZR2009GZ001).

周景雷(1981-),男,山東曹縣人,菏澤學院教師,碩士,主要研究機器人控制,魯棒H ∞控制等.