經(jīng)歷概念形成過程 發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維

黃杰

摘? 要：數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中鍛煉出來的一種思考問題和解決實(shí)際問題的能力，而數(shù)學(xué)這種能力的形成是要經(jīng)歷問題的提出、思考解決的辦法，然后將過程進(jìn)行合理整合，最后進(jìn)行轉(zhuǎn)化為抽象事物的過程。因此發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。

關(guān)鍵詞：概念形成;數(shù)學(xué);抽象思維

學(xué)生能夠?qū)σ粋€(gè)知識(shí)體系從未知到掌握的過程就是對這個(gè)知識(shí)體系的概念內(nèi)化的過程，從概念到整體構(gòu)建到知識(shí)拓展，一步步發(fā)展就是數(shù)學(xué)思維的形成，從實(shí)物到圖形再到符號，既是一個(gè)問題被表達(dá)解決的過程，同時(shí)也是客觀現(xiàn)實(shí)被解決的過程。

一、經(jīng)歷實(shí)物表征過程，發(fā)展感性認(rèn)知

數(shù)學(xué)來源于生活，生活更是數(shù)學(xué)的大課堂，很多數(shù)學(xué)問題都是從日常可見的事物中被發(fā)現(xiàn)、被提出的，從結(jié)繩計(jì)數(shù)到后續(xù)數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展及應(yīng)用，都離不開生活。

生活中的實(shí)物有小到一堆蘋果如何平均分配的問題，也有一個(gè)企業(yè)的預(yù)算價(jià)格，等等，有數(shù)學(xué)問題的出現(xiàn)，必然有其對應(yīng)的解決之道。因此，教師在日常的教學(xué)過程中，教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的問題并加以解決。為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的，吸引學(xué)生的注意力，教師對情境的創(chuàng)設(shè)相當(dāng)重要，因?yàn)榍榫硜碓从谏睢＿@里以乘除法運(yùn)算的內(nèi)容為例。

師：（情境創(chuàng)設(shè)）現(xiàn)在我們有一道數(shù)學(xué)題需要小演員扮演不同的角色，有哪位同學(xué)愿意展現(xiàn)一下自己的能力呢？請舉起你的小手，好嗎？哪位同學(xué)扮演小紅、哪位扮演小亮，還有哪些同學(xué)分別扮演12個(gè)又大又圓的紅蘋果？

生：我想當(dāng)小紅，我想當(dāng)小亮……

師：分配完了小演員的角色，我們來看看題目是什么。小明有12個(gè)又大又圓的紅蘋果，媽媽告訴小明有了好東西要和大家共同分享，所以小明決定將這12個(gè)紅蘋果與自己的小伙伴小紅、小亮和小軍共同分享，使得每個(gè)人的蘋果數(shù)量相等，小明思考了很久不知道如何分配，你能幫幫小明嗎？

生：先給每個(gè)人都發(fā)一個(gè)蘋果，發(fā)給了小紅、小明、小亮和小軍共4個(gè)人，所以第一次一共發(fā)了4個(gè)，還剩下12-4=8個(gè)蘋果;因?yàn)檫€有剩余的蘋果，所以接著發(fā)第二次，還是每個(gè)人都發(fā)一個(gè)蘋果，第二次發(fā)完之后還剩下4個(gè)蘋果，接著再發(fā)一次蘋果，發(fā)現(xiàn)最后一個(gè)人發(fā)完后，蘋果也就分完了，而且每個(gè)人的蘋果的數(shù)量相等，都是3個(gè)，說明這道題的答案是每個(gè)人分3個(gè)蘋果就好了。

師：謝謝第一位同學(xué)的答案，有了初步平均分配的意識(shí)，知道每次給4個(gè)人同時(shí)都只發(fā)一個(gè)蘋果直到發(fā)完為止。還有別的同學(xué)回答嗎？

生：既然有4個(gè)人需要平均分配，那么就以4個(gè)蘋果為一堆，總共可以分出來3堆，所以每個(gè)人可以拿3個(gè)蘋果：因?yàn)樯婕?個(gè)人一組，12個(gè)蘋果能分出3堆，每堆蘋果有4個(gè)，所以4個(gè)人每個(gè)人都從其中一堆拿出一個(gè)蘋果。

師：謝謝兩位同學(xué)的答案。他們的答案都是正確的，我們再想想還有別的方法嗎？比如乘除法呢？

生：因?yàn)?×4=12，4×3=12，故而應(yīng)用到除法計(jì)算中，“12÷4”代表著計(jì)算12中有幾個(gè)數(shù)字4。

師：這位同學(xué)已經(jīng)很接近我想表達(dá)的內(nèi)容了。

生：大家在三年級乘法表中已經(jīng)學(xué)習(xí)到了乘法口訣，三四十二，也就是三個(gè)四相加的和是十二或者四個(gè)三相加的和是十二，所以12個(gè)蘋果分給4個(gè)人就用12÷4=3，每個(gè)人分到3個(gè)蘋果。

師：大家給這位同學(xué)掌聲鼓勵(lì)，回答得很完美。回到除法這個(gè)概念被提出的原因上來，除法運(yùn)算的目的就是一個(gè)簡化思維的過程，將一個(gè)一個(gè)分蘋果的過程，每人一次分一個(gè)，分了幾次的過程簡化直接變成數(shù)字上的除法運(yùn)算。運(yùn)算出的數(shù)據(jù)就是實(shí)際上分配的次數(shù)。

借助上述的情境問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，其中蘋果就是一個(gè)實(shí)物的代表，學(xué)生經(jīng)過實(shí)物作為表征的過程，逐漸培養(yǎng)數(shù)學(xué)認(rèn)知和數(shù)學(xué)感覺。

二、經(jīng)歷圖形表征過程，形成表象思維

圖形表征在通常意義上是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)并不一定要借助于事物的原有的固定形狀，而是能夠脫離于固定形狀去運(yùn)用另外的方式、圖形等進(jìn)行數(shù)學(xué)內(nèi)容的表達(dá)。

從生活實(shí)物的理解到借助圖形表達(dá)，逐步地脫離實(shí)際事物的束縛，從而內(nèi)化為數(shù)學(xué)問題的解決（摘自參考文獻(xiàn)2）。以百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容為例，百分?jǐn)?shù)對于低年級的學(xué)生的學(xué)習(xí)來講，本身就是有一個(gè)很難理解的過程，所以在學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的內(nèi)容理解百分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，就可以借助圖形表達(dá)來進(jìn)行學(xué)習(xí)。

師：同學(xué)們，假如老師有一個(gè)很大的燒餅，夠一家三口吃，這個(gè)燒餅需要平均分給爸爸、媽媽和琪琪三個(gè)人，琪琪應(yīng)該怎么分呢？

生：如果平均分配的話，那么就是一個(gè)燒餅平均分成三份，所以按照分?jǐn)?shù)的表達(dá)方式和意義就是■，也就是每個(gè)人能吃到燒餅的■，媽媽和琪琪兩個(gè)人一共能吃到■的燒餅。

師：這位同學(xué)說得很對，但是燒餅?zāi)懿荒苡脠D形來代替呢？

生：可以用圓來代表燒餅。

師：這個(gè)想法很棒，誰能動(dòng)動(dòng)腦筋想一下如何用圓來計(jì)算？

生：圓周的角度是360度，所以將360度平均分成三份，每個(gè)人吃的燒餅的■用圓的比例來表示就是120度，■用圓來表示就是240度。

師：同學(xué)的回答很正確，如果以上面燒餅的分配問題進(jìn)行變形，有人愿意挑戰(zhàn)嗎？

生：愿意。

師：題目是爸爸一個(gè)人能吃一個(gè)燒餅的一半，媽媽比爸爸吃得少，媽媽只吃了爸爸的一半，琪琪吃了媽媽的一半，請問每個(gè)人分別吃了多少燒餅？

生：這是涉及分?jǐn)?shù)的計(jì)算，爸爸吃的燒餅占了整個(gè)燒餅的■，也就是圓的■，用180度的圓表示;媽媽吃了爸爸的一半就是半圓的一半，用90度的圓表示;同理，琪琪吃的燒餅是媽媽的一半，也就是90度的圓的一半，用45度的圓表示。

師：同學(xué)們的表現(xiàn)很優(yōu)秀，能用圖形來解決問題了，但是誰能告訴我琪琪一家人中，每個(gè)人都吃了多少燒餅？嘗試用分?jǐn)?shù)計(jì)算。

生：一個(gè)燒餅用數(shù)學(xué)表達(dá)為單位1，爸爸吃了一半也就是■;媽媽吃的燒餅是爸爸的一半，即為■×■=■，■在圓中對應(yīng)的角度是90度;琪琪吃的燒餅是媽媽的一半，等價(jià)于■×■=■，燒餅的■也就是與圓的45度角相對應(yīng)。

師：同學(xué)們的解答過程雖然不盡相同，但是想法都是正確的。

圖形表征的過程其實(shí)也是一個(gè)類比轉(zhuǎn)化、知識(shí)遷移的過程，教師在教授學(xué)生運(yùn)用圖形表征解決問題的同時(shí)也是在有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察比較的過程，培養(yǎng)學(xué)生的表象思維能力。

三、經(jīng)歷符號表征過程，發(fā)展抽象思維

符號表征是建立在實(shí)際的實(shí)物基礎(chǔ)之上的，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)總是借助大量的文字來解釋或者借用圖形來描述會(huì)使得數(shù)學(xué)的過程顯得煩瑣。在計(jì)算過程中常常會(huì)用到某些定律，而定律的使用就可以借用符號表達(dá)。例如，數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)符號1、2、3、4、5、6等，這些數(shù)字也算是符號的一種;還有字母常量a、b、c等，這些字母符號會(huì)應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題的解決之中。我們以梯形面積的計(jì)算為例。

師：今天有一道題目，老師想與同學(xué)們分享一下，一條新挖的渠道，其橫截面是一個(gè)梯形的形狀，渠口寬2.8米，渠底寬1.4米，渠深1.2米，問這個(gè)渠道的橫截面積是多少平方米？

生：這道題目看起來比較難以讀懂，既有什么渠道的渠口又有渠底，還有渠深，這些名詞聽起來比較陌生和難以理解。

師：看來有同學(xué)閱讀題目遇到了一點(diǎn)小困難，有同學(xué)能夠精簡一下題目嗎？

生：這道題進(jìn)行簡化之后就是求一個(gè)梯形的面積，梯形的上底a=2.8米，梯形的下底b=1.4米，梯形的高度也就是渠道的深度h=1.2米。

師：感謝這位同學(xué)的回答，想要解答這道題，我們首先來回顧一下梯形面積的計(jì)算公式。

生：梯形面積的計(jì)算公式為“（上底+下底）×高÷2”，所以渠道的橫截面積為（2.8+1.4）×1.2÷2=2.52（平方米），因?yàn)轭}目中給的長度單位都是“米”，故而計(jì)算所得的面積單位是“平方米”，與題目中要求的單位一致，所以最終答案是2.52平方米。

抽象思維是以客觀存在的事物為事實(shí)依據(jù)，舍棄了部分可以忽略的特征，對概念進(jìn)行把握，本質(zhì)進(jìn)行發(fā)掘，從而在解決問題的過程中，先是理性看待和分析問題，然后選擇合理模式進(jìn)行概括。

綜上，從經(jīng)歷實(shí)物表征發(fā)展感性認(rèn)知能力、經(jīng)歷圖形表征形成表象思維到最后的符號表征發(fā)展抽象思維的能力，是一個(gè)循序漸進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣的過程。教學(xué)的內(nèi)容有了層次性、階段性和過程性的特點(diǎn)，學(xué)生的數(shù)感和思維能力才能得到更好的發(fā)展。