廣義線性指數混料模型的A—最優設計

陳博照 閆 湛

（1.廣東白云學院 教育與體育學院，廣東 廣州510080；2.廣州工商學院，廣東 廣州510000）

1 混料試驗設計

混料配比問題，是工農業生產及生物制藥等科學試驗中經常遇到的多因素試驗設計問題。實驗者要通過盡可能少的試驗次數得出各種配比成分的比例。如建筑房所用的混凝土，是將砂、碎石，以及若干種型號的水泥混合攪拌而成，人們要得到最好的黏合度與穩定性就必須經過重復的試驗。怎樣去設計這些試驗使得試驗成本低且精度高，從而得出一個適用于實際操作的回歸方程呢？這就是混料試驗設計的研究范疇。

混料問題中的可控變量，即每個因素對總體的影響都以它們在總量中所占的比例表現出來，也就是說研究的重點不在某些因素的量，而是這些因素的量在總量中所占的百分比[1]。假設：混料系統中共有q個因素， 第i個因素在總量中所占比例為xi，xi（i=1，2，…q），應滿足：

這就是混料試驗設計的基本約束條件。其中，將xi稱為第i個混料分量。

2 A-最優準則

通過對各分量分配比重，可以得到一個初步設計。但在進行實操試驗之前，必須先對這個設計進行相應的檢驗與評價，若草率的進行試驗會導致資源浪費、成本增加。評價一個設計的依據就是最優準則，最優準則是衡量一個設計優劣程度的基本標準。經過不斷地完善，現仍廣泛使用的準則有D-最優、A-最優、R-最優等。其中，A-最優準則要求所有未知參數估計值的方差之和達到最小，其統計意義在于通過對各參數估計的置信區間長度的平方和的約束，來衡量估計的優劣[2]。這個出發點可以使模型的總體方差得到有效的控制，避免了出現某參數估計效率低下的情況，對置信橢球體的平均軸長有很好的制約作用。可以說，一個設計若能達到A-最優準則的要求，那么它在實際應用中對試驗點的選取就能起到很好的引導作用。

3 廣義線性混料模型

在混料模型的研究歷程中，研究者從簡單的線性模型、多項式模型、可加模型到非線性模型；從同方差模型到復雜的異方差模型；從常見的單響應模型、兩響應模型到與實際聯系密切的多響應模型，一步步的對模型進行深化與探索。模型的多樣性、全面性已經讓實驗設計的適用范圍更廣泛[3]。在諸多模型中，q變量m階Scheffé中心多項式模型可以說是混料模型的鼻祖，與之對應的變量階單純形—格子設計是一種非常優美的最優設計，對這個模型在各種最優準則下的研究也已經相當成熟。在此，將在前人的研究基礎上提出一類廣義線性混料模型，并對它在A-準則下的最優設計進行研究，作為對已有模型的補充。

q變量一階廣義指數線性混料模型：

這種模型屬于q變量一階廣義線性模型中的一種，它在研究漂白劑、殺蟲劑、混合殺毒藥劑，甚至在化妝品的配方問題上都有很大的應用，下面將對廣義指數模型的最優設計進行探討。

4 一階廣義指數線性混料模型的A-最優設計

在q變量m階Scheffé中心多項式模型中，常數項β0可以通過混料模型分量之和為1的特性分解到一階項的系數中，常見的線性混料模型是不帶常數項的，然而廣義指數模型并不具備這種可分解的性質，因此對其最優設計的研究要困難得多。

對于2變量一階廣義指數線性混料模

固定模型的三個設計點， 分別為 （1，0），（0，1），先求解模型所對應的單純形的各類中心點上的A-最優配置，然后再證明所得到的設計是該模型的A-最優設計。

信息矩陣的逆的跡

通過對上式進行最小化處理，可得：r1≈0.2377，r2≈0.5246

此時，信息矩陣逆的跡的最小值min[ t rM-1（）]≈324.653。所以，純分量點上測度0.2377，二分量點上測度0.5246的配置就是設計點在三個中心點上的A-最優配置[5]。

接著，就得到的給定設計點的A-最優配置，往證設計：

就是模型（2）的A-最優設計。

其中，a=x2+2w2，b=（x+y+z）w，c=w2+y2+z2，d=w2+2yz，再結合r1與r2的最優配置比例，可以得出設計的A-最優方差函數表達式：

在上式中，x1，x2必須滿足混料基本條件x1+x2=1，故進一步通過消元求導可以得到當試驗點分別取時，方差函數dA（x；）都能取得最大值324.653。因此，對試驗區域內任一試驗點都有：dA（x；）≤324.653。

5 總結

變量一階廣義指數線性混料模型最優設計的提出與證明，為此類模型的在實際應用過程中試驗點的選取以及試驗點的投入權重提供了一個明確的方向，三個試驗點選在兩個純分量點上與二分量點上，測度分別為，與的試驗，能避免參數估計過程中劣性參數的出現，從而得到一個行之有效的混料模型，可用于對未知響應的預測以及總體數據的評估。