量子網絡編碼研究進展

尚 濤，劉 然，劉建偉，陳秀波，徐 剛

(1.北京航空航天大學 網絡空間安全學院,北京 100083;2.北京郵電大學 網絡與交換技術國家重點實驗室信息安全研究中心,北京 100876；3.北方工業大學 信息學院,北京 100144)

0 引言

量子通信始于1981年美國物理學家Richard Phillips Feynman提出的傳輸量子信息的設想。1982年，法國物理學家Alain Aspect通過實驗證實了微觀粒子存在“量子糾纏”現象。1993年，來自4個國家的6位科學家聯名發表了名為《Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and EPR Channels》的論文[1]，首次提出了量子隱形傳態協議，實現了傳輸量子信息的設想，為量子通信研究開辟了全新的領域。量子糾纏和量子隱形傳態也成為量子通信的基石，激發了眾多量子通信技術的產生。

雖然量子通信有諸多優點，但是其所消耗的資源也是非常昂貴的。在現階段，量子糾纏的建立和傳輸都對實驗條件有著極高的要求。一對糾纏的量子比特，只能用來傳輸一量子比特的信息，而且傳輸結束后糾纏隨即消失，因此如何提高量子通信的傳輸效率是一個主要研究方向。很多因素影響量子通信傳輸效率，例如：儀器的缺陷會造成實際的量子態和理論不一致，導致傳輸效率降低[2]；信道噪音會影響糾纏的質量，甚至破壞粒子對之間的糾纏[3]；量子通信網絡的某些瓶頸節點也會造成通信阻塞，影響傳輸效率。因此需要先進技術助力量子通信，提升整個通信網絡的傳輸效率。

量子網絡編碼(Quantum Network Coding)是一種提高整個量子通信網絡傳輸效率的技術。量子網絡編碼與經典網絡編碼的基本思想大致相同，但是與經典網絡編碼相比，量子信息的特殊物理性質使量子網絡編碼具有很多新特點。例如，量子信息理論中著名的量子不可克隆定理，使得量子網絡中廣播和多播不可能被無損地實現。在通信網絡節點上，若想實現未知量子態的復制，就必須犧牲保真度。由于薛定諤方程是典型的可逆方程，在量子力學中的任何操作均是可逆的，所以對于一些不可逆的邏輯運算(例如“與”和“或”)，在量子力學里均沒有與之對應的操作。如果缺乏這些基本的邏輯運算，量子信息處理就會受到很大的限制。

為了進一步促進量子網絡編碼的研究與發展，本文介紹了網絡編碼的基本原理，總結了量子網絡編碼的發展和研究現狀，分析了量子網絡編碼的研究趨勢和發展方向。

1 量子網絡編碼特點

網絡編碼(Network Coding)是在2000年由Rudolf Ahlswede、蔡寧等人[4]提出的一個全新概念，通過中繼節點對接收到的信息進行編碼來達到提高多播網絡容量。其中，編碼是指從輸入到輸出的映射。

在傳統的路由網絡中，信息在信道傳輸過程中被當成貨物來處理。在中間節點處，節點只對信息進行復制和向后發送的操作，不對信息進行編碼處理等操作。當網絡節點增加時， 通信協議會導致某些瓶頸節點和瓶頸鏈路的出現。也就是說，如果同時有多個信息到達某一節點，若該節點不能將所有信息同時發送出去，部分信息就必須被延遲發送，這樣就會導致信息傳送等待，使得網絡的吞吐量受到限制。然而，網絡編碼恰恰可以解決這一問題。通過在網絡中間節點對收到的信息進行編碼、壓縮以及轉發至下游節點，之后在目標節點進行解碼，網絡編碼能夠充分利用信道資源，提高網絡通信的效率。此外，通過合理設計中間節點的編碼方式，還能進一步提高通信網絡的魯棒性和安全性，降低網絡的復雜度。

以經典的蝶形網絡為例，可以展示網絡編碼的優勢。在圖1所示的蝶形網絡拓撲結構中，源節點每條鏈路的容量均為1。假設源節點S1和S2要向目的節點t1和t2發送消息X和Y，如果采用傳統的路由轉發，那么在中間節點S0處，一次只能選擇發送一條消息X或Y給下游中間節點t0。網絡必須進行兩次傳輸，目的節點t1和t2才能收到全部消息X和Y。網絡編碼通過在中間節點對消息進行壓縮/處理，能夠解決S0成為瓶頸的問題。如圖1所示，S0接收到兩條消息X和Y后，將它們進行異或運算，編碼成X?Y之后發送給t0。在t1和t2處，分別對接收到的兩條消息再次進行異或運算，就能解碼得到X或Y。結果網絡只需通過一次傳輸，目的節點就能接收到兩條消息。

圖1 網絡編碼示意圖Fig.1 Diagram of network coding

網絡編碼的理論意義在于“提出了信息是什么”這一問題。它突破了經典信息論中商品流(Commodity Flow)不能再被壓縮的結論，指出網絡信息流(Network Information Flow)可以被處理/壓縮，從而可進一步提升網絡通信性能。所以文獻[5]指出，網絡編碼處于經典信息論中通信復雜度的靈魂深處。

經典網絡編碼允許中間節點對接收到的數據進行編碼，最大化整個通信工作的效率。與經典網絡編碼不同，量子物理特性使量子網絡編碼具有新的特點。例如，量子信息理論中的量子不可克隆定理(Quantum Non-Cloning Theorem)，保證了量子網絡編碼的安全性。因此，量子網絡編碼成為量子通信領域的研究熱點。以第一個量子網絡編碼方案XQQ(Crossing Two Qubits)為例，展示量子網絡編碼的優勢。XQQ方案實現了兩個量子比特交叉通過蝶形網絡的瓶頸鏈路，證明了在兩條線路上保真度嚴格小于1，最終得出結論：網絡編碼是可行的，但需要以犧牲保真度為代價。如圖2所示，使用量子操作來模擬經典網絡編碼中的復制操作與編碼操作，其中復制操作為UC(Universal Cloning)操作，編碼操作為GR(Group Operation)操作和TTR(Tretra Measurement)操作。但XQQ方案也具有局限性，其中UC操作只能近似地復制量子態，犧牲了所傳輸量子態的保真度，且僅適用于蝶形網絡。

圖2 XQQ協議Fig.2 Protocol of XQQ

2 量子網絡編碼的發展歷程

在量子網絡編碼研究領域被開創之前，量子通信理論已經存在很多重要的定理。其中最重要的是量子不可克隆定理，它限制了對一個未知量子態的復制。在量子通信領域，廣播和多播的性能受到很大的限制，進而量子網絡編碼區別于經典網絡編碼實現高性能廣播的能力，因此，研究人員將目光放在量子網絡編碼中的k-pair問題。在這類問題中，有k個源節點和k個目的節點。每個源節點對應一個目的節點，一共形成k個收發對。源節點和目的節點之間由復雜的網絡相連，網絡中存在交叉、瓶頸節點等情況。研究目標是充分利用網絡的結構，使得k個源節點發出的信息能夠同時被k個目的節點獲取。到目前為止，大多數的量子網絡編碼方案都是針對k-pair問題而提出。只有Iwama等人[6]嘗試了實現量子信息的多播和廣播，但是付出的代價是損失了通信的保真度。現階段，沒有方案能很好地復原有缺損的量子信息。

2006年，Hayashi等人[7]提出了第一個量子網絡編碼方案XQQ，實現了兩個量子比特在全量子信道蝶形網絡中的交叉傳輸。由于受到量子不可克隆定理等量子特性的制約，該方案無法實現無損的量子傳輸，即保真度小于1。量子網絡編碼領域的先行者們所面臨的首要問題是探討量子網絡編碼是否可行，通過XQQ方案，他們得出結論：網絡編碼是可行的，但需要以犧牲保真度作為代價。事實上，XQQ只是蝶形網絡的特例，對于一般的網絡結構，并沒有給出討論結果。

2006年，Iwama等人[6]在XQQ的基礎上，將量子網絡編碼的范圍擴展到允許非線性操作的一類圖上，并且這類圖都存在經典網絡編碼解決方案，這類圖被稱為D3圖。通過量子操作模擬經典網絡編碼方案，實現量子網絡編碼。對于一般類型的圖，在進行量子網絡編碼時，最大的問題是不同粒子在經過節點時會與其他粒子形成糾纏，并且這些糾纏在形成之后就很難被去除。在經過一個復雜的網絡傳遞之后，粒子之間的糾纏會變得異常復雜，導致保真度幾乎為零。為了解決這個問題，他們提出了一種不產生糾纏的克隆方法EFC(Entanglement-Free Cloning)，保證量子比特在經過節點時不會與其他量子比特產生糾纏。文中提出基于一般圖的量子網絡編碼是經典網絡編碼方案的量子版本。該方案可以實現保真度大于1/2的量子通信，但仍不能實現無損的量子通信。

2007年，Hayashi[8]將量子糾纏引入到量子網絡編碼中，探討信號源之間共享糾纏對能否對量子網絡編碼的性能產生影響，提出了一個無損的量子網絡編碼方案，實現了保真度為1的無損量子態傳輸。借助兩個源節點之間共享的糾纏對，將兩個量子比特完美地交叉穿過了蝶形網絡的瓶頸節點。該方案使用的糾纏對需要處于最大糾纏態，在實際操作中最大糾纏態很難長時間存在，更經受不住節點之間的傳輸。為了彌補這一缺點，2010年，馬松雅等人[9]在Hayashi的研究成果上，提出一個基于共享非最大糾纏態的量子網絡編碼方案。由于非最大糾纏態比最大糾纏態穩定，所以該方案魯棒性更強。

2009年，Kobayashi 等人[10]將經典通信引入量子網絡編碼中，通過模擬經典線性網絡編碼方案，實現了保真度為1的無損量子態傳輸。此后，更多類型的通信資源被引入量子網絡編碼中，用來實現無損的量子通信。2010年，繼續探索經典通信在量子網絡編碼中的應用，提出了另一種實現無損量子態傳輸的量子網絡編碼[11]。2011年，通過量子操作模擬經典的非線性網絡編碼方案，借助經典通信實現了無損量子態傳輸[12]。文獻[10-12]分別討論了3種不同類型的經典網絡編碼，并給出了相應的量子版本。雖然表面上Kobayashi等人提出的方案沒有利用量子特性，但在文獻[13]中證明了其提出的量子網絡編碼方案可以看成一種量子計算方法；進而表明對于任意一種通信網絡結構，只要其k-pair問題存在經典網絡編碼方案，再配上合適的量子操作，就一定能夠實現該網絡結構的量子網絡編碼。

2012年，Satoh等人[14]利用量子中繼器設計了一種新型的量子網絡編碼方案。主要思想是通過控制糾纏的形成，在源節點和目的節點之間建立量子糾纏，進而實現量子隱形傳態，實現量子信息的無損傳輸。在該方案中，網絡相鄰節點共享一糾纏對，利用本地量子操作和經典通信實現糾纏交換，最后使得源節點和目的節點共享一對糾纏粒子，再利用量子隱形傳態實現量子態的交叉傳輸。

2014年，Nishimura[15]對量子網絡編碼的研究現狀進行了總結分析，討論了使用糾纏資源與經典通信的情況下量子網絡編碼方案的性質。

2014年，尚濤等人[16]將控制方和可控隱形傳態引入量子網絡編碼方案中，提出了兩個分別基于XQQ和預共享糾纏的可控量子網絡編碼方案。該方案在經典量子網絡編碼方案的基礎上，增加了控制方，使得接收方只有在得到控制方允許的情況下，才能成功地對接收到的消息進行解碼，提高了網絡傳輸的安全性。為了抵御影響編碼特性的污染攻擊，2016年他們結合量子同態簽名，提出了抗污染攻擊的量子網絡編碼方案[17]，提高了量子網絡編碼的安全性。

2015年，陳秀波等人[18]從多單播的角度設計了量子網絡編碼。雖然在經典通信支持下的量子網絡編碼能夠實現無損的量子信息傳輸，對于經典網絡解決方案的依賴導致存在瓶頸路徑的大規模網絡上會出現較高的通信復雜度和傳輸擁塞。他們發現某一類型的量子操作足夠支持在擴展蝶形網絡上多單播會話，提出了一個獨立于經典網絡解決方案的量子網絡編碼方案。2016年，考慮有向無環網絡的量子多單播問題，分析了量子多單播網絡的可解性，通過利用全局糾纏的二維和三維簇態，提出了實現多單播會話的最優協議[19]。

2015年，徐剛等人[20]受經典協作通信和網絡編碼技術啟發，通過在蝶形網絡上建立量子協作多播的合理模型，設計了僅與量子態初始系數相關的編碼操作，以部分成功概率為代價，實現了量子協作多播網絡編碼方案，并對經典多播具有良好的兼容性。同時，將該方案推廣到傳輸d維量子態的情形，適合較為復雜的量子網絡通信模型。

2015年，尚濤等人[21]提出了適應復雜拓撲結構拓展的量子網絡編碼方案。該方案基于量子中繼器，能夠實現遠距離量子通信。結合圖論的圖轉換方案，設計了一對多(單源多匯)、多對一(多源單匯)及多對多(多源多匯)D3圖網絡上的量子網絡編碼方案，實現了更具有一般意義的量子中繼器網絡編碼。為了解決量子中繼器的安全性問題，2016年，尚濤等人[22]引入可信的第三方實現預共享糾纏態分配與節點身份認證，提出了可控量子中繼器網絡編碼方案。在存在主動攻擊的情況下，該方案可以最大程度地避免粒子資源浪費。

為了發揮網絡編碼在廣播傳輸的優勢，2016年，尚濤等人[23]利用量子隱形傳態技術的混合信道特征，提出了機會式量子網絡編碼方案，解決量子信道不可監聽和機會監聽之間的矛盾，從而將經典機會網絡編碼COPE方案的機會性質引入量子網絡，提高量子網絡的吞吐量性能。另外，該方案采用量子信道認證技術保證信道的完備性，保證了方案的安全性。

2017年，尚濤等人[24]提出了基于連續變量的量子網絡編碼方案，提高了量子網絡編碼技術的可實施性。首先，他們提出了基于近似操作的連續變量量子網絡編碼方案。利用高斯克隆操作實現對量子態的近似復制，設計ADD/SUB操作實現對量子態的編解碼，實現了量子態在蝶形網絡中的交叉傳輸。其次，從提高量子網絡編碼方案保真度的角度，利用連續變量量子隱形傳態的完美傳輸特性，提出了基于隱形傳態的連續變量量子網絡編碼方案。

2017年，姜敏等人[25]使用GHz信道資源，設計了基于任意兩量子比特態的遠態制備的量子網絡編碼方案。在蝶形網絡中，每個源節點同時在合適的測量基下對它們自己的量子比特執行兩個恰當的投影測量。然后，它們的測量結果將被分發給中間節點。進而，中間節點執行編碼操作，發送編碼信息給目的節點。最后，根據收到的信息，兩個目的節點以成功概率1獲得目的量子態。

2018年，Wang等人[26]通過多自由度的擴展光子糾纏實現了近乎完美的量子k對傳輸，使得經典的不可解網絡成為量子可解網絡。

2018年，楊宇光等人[27]研究了基于量子游走結構的蝶形網絡的量子多單播通信問題，其中，多個任意的單量子比特態在多個源-目的對之間同時傳送。結合量子游走到蝶形網絡和倒冠網絡設計量子多單播通信方案，實現任意的單量子比特態能夠以概率1且保真度1來高效傳送。

2019年，尚濤等人[28]提出了一種抗污染攻擊的連續變量量子網絡編碼方案，結合連續變量量子同態簽名，驗證不同數據源的身份。只要量子簽名通過驗證，目標節點就可以解碼自己的量子狀態，獲得正確的信息。安全性分析證明了方案的安全性。該方案是構建安全量子網絡的基本模型，需要進一步研究更高的安全性。為了支持通用網絡結構的可重復簽名驗證，2019年，尚濤等人[29]通過引入串行驗證模型和并行驗證模型，提出了一種具有可重復驗證的量子同態簽名方案。其中，串行驗證模型將密鑰分配和貝爾測量相結合，解決了簽名驗證問題。并行驗證模型通過在邏輯上將EPR對中的一個粒子作為量子簽名，在物理上制備新的EPR對來解決簽名重復的問題。方案分析表明，中間驗證和終端驗證都能在同一操作下成功地驗證簽名，消耗的資源較少，且經過驗證的糾纏態簽名可以重復使用。

從量子關聯作為通信資源的角度，采用量子失諧作為量子關聯的度量進行糾纏分配，2019年，尚濤等人[30]提出了一種基于糾纏分配的量子網絡編碼方案，充分發揮量子失諧的特性，利用基于分離態的糾纏分配，在整個糾纏建立過程中不涉及任何的量子糾纏，只在結束時在源節點和目的節點之間產生糾纏粒子對。該方案降低了糾纏分配的量子資源消耗，提高了通信網絡的魯棒性和吞吐量。在整個網絡編碼的實現過程中不涉及信息的傳輸，只通過傳輸量子來構建最大糾纏對，在信息發送方和接收方之間形成量子隱形傳態通道。最后，利用這樣的通道，發送方和接收方可以安全地傳輸信息。

2019年，Wang等人[31]提出了一種用于多量子位遠程量子態制備的量子網絡編碼方案，提高了多量子位態的遠程制備網絡的吞吐量和通信效率。

2020年，劉然等人[32]設計了一個基于遠程量子態制備的量子網絡編碼方案，利用糾纏分配在兩對源節點與目標節點之間建立共享資源狀態，并在經典信道的輔助下，在蝶形網絡的目標節點處，遠程制備為已知狀態。與已有方案相比，該方案利用量子資源效率更高，表明了量子失諧是遠程量子態制備的必要資源。

2020年，Wu等人[33]提出了基于蝶形網絡模型的連續變量量子網絡編碼方案。該方案不僅有利于量子網絡的實現，而且能有效地降低量子網絡的通信成本。從吞吐量和保真度角度來看，該方案的吞吐量高于離散變量量子網絡編碼方案和經典信息網絡編碼方案，保真度上限為4/9。以簡單攔截攻擊和光譜攻擊為例，該方案通過有效抵抗第三方的竊聽攻擊，實現了量子信息和經典信息的安全傳輸。

另外，也有研究人員將已有的量子網絡編碼方案應用到其他量子信息處理技術中，提出了很多新的方案。例如，通過量子網絡編碼實現了強魯棒性的糾纏分配[34]、量子密鑰分配[35]和分布式量子計算[36]。

3 量子網絡編碼關鍵技術的突破

在經典網絡編碼方案中，對消息的復制和編碼操作(如異或操作)是十分簡單的。而在量子網絡編碼方案中，由于量子不可克隆定理導致無法對未知量子態進行精確的復制，代表性的XQQ方案使用UC克隆來近似地完成量子態的復制。其中UC克隆屬于概率性量子克隆技術，即對量子系統進行酉變換之后，引入量子測量，以一定概率精確克隆一組線性獨立的量子態。由于UC克隆的保真度小于1，在網絡各節點多次執行 UC 克隆導致量子態的誤差增大，因此僅能保證XQQ方案的保真度嚴格大于1/2且小于1。由此可見，概率性量子克隆技術不是完美的確定性克隆技術，對概率性量子克隆技術的研究有利于提高量子信息傳輸的保真度。

與經典網絡編碼方案相比，量子網絡編碼方案在網絡各節點通過酉變換對量子比特編碼。如果充分發揮量子糾纏特性，可以降低量子網絡編碼方案對編碼操作的要求，將問題轉化為量子糾纏資源建立問題。

一個解決方法是通過糾纏分配來實現。EDSS協議是一種在兩個節點間構造最大量子糾纏的量子協議。該協議由Cubbit[37]于2003年提出，由Kay[38]于2012年討論并改進，由Fedrizzi等人[39]經過實驗驗證。EDSS協議在糾纏建立的過程中不涉及量子糾纏，在結束時在源節點和目的節點之間產生糾纏粒子對，以較強的魯棒性形成了兩個遠距離量子系統之間的糾纏。概率性量子克隆技術能夠以一定概率精確克隆符合一定條件的量子態。利用糾纏分配和概率性量子克隆兩個基本操作，可以實現基于糾纏分配的量子網絡編碼方案。基于糾纏分配的量子網絡編碼方案中不涉及信息的傳輸，只通過傳輸量子態來構建最大糾纏對，在信息發送方和接收方之間形成量子隱形傳態通道。利用此通道，發送方和接收方可以安全地傳輸信息。

另一個解決方法是通過遠程量子態傳輸來實現。1993年,Bennett[40]提出了量子隱形傳態，未知的量子態通過預共享的量子信道和一些經典信息從發送方傳送到空間距離遙遠的接收方。隨后，Pati[41]和Lo[42]提出了一種利用經典信息和共享糾纏資源遠程制備已知狀態的量子通信新方案，即遠程量子態制備(Remote State Preparation,RSP)。2012年，Dakic等人[43]明確指出量子失諧是比量子糾纏更一般的量子通信資源。利用量子失諧作為資源，他們實現了遠程量子態的制備。RSP協議是量子隱形傳態的一種變體，協議具有原始狀態的完整信息，發送方知道要傳輸給接收方的量子態，且對經典通信成本的要求較低。因此，利用可分離態的糾纏分配，實現蝶形網絡中源節點和目的節點之間的糾纏分配，并將遠程量子態制備應用于量子網絡編碼，實現量子網絡中的遠程量子態制備。基于遠程量子態制備的量子網絡編碼方案在接收方準備已知特定狀態比量子隱形傳態使用了更少的資源，降低了網絡編碼中對編碼操作的要求。

最新的研究表明：雖然量子糾纏在量子通信中處于核心地位，但超越量子糾纏的更一般的量子關聯(Quantum Correlation)才是量子通信和量子計算具有優異性能的關鍵性因素。量子關聯將成為量子研究領域關注的焦點。未來對量子網絡編碼的研究可以從以下方面進行：尋找利用量子關聯作為資源實現量子態無損傳輸的方法，分析量子通信系統的保真度，考慮量子網絡編碼的安全性問題，考慮量子網絡編碼在量子互聯網建設中的作用。

4 結束語

本文探究了提高量子通信網絡效率的關鍵技術——量子網絡編碼，總結了量子網絡編碼的發展過程。越來越多的證據表明量子糾纏不是造成量子技術性能提升的根本原因，采用量子失諧作為量子關聯的度量，成為量子研究領域關注的焦點。現有的量子網絡編碼方案使用的量子糾纏資源較多，卻很少討論量子糾纏的形成和分配。利用分離態量子實現的糾纏分配，實現點到點的糾纏，制造量子糾纏資源。將量子比特通過復雜的網絡結構，實現多個源節點和多個目的節點之間量子糾纏的同時產生，再充分發揮量子隱形傳態在實現信息傳輸方面的優勢。在未來量子互聯網的建設中，可以利用量子失諧和糾纏分配技術設計新型量子網絡編碼方案，無論在理論研究還是技術實現上都具有十分重要的意義。