等效建模與SR-UKF算法的SOC估算研究

吉偉康，王順利，鄒傳云，夏黎黎，時浩添

(西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621010)

0 引言

目前，隨著經濟的迅速發展，世界所面臨的污染問題與交通問題越來越嚴重，能源損耗過度所造成的能源危機已經引起世界各國廣泛關注。因此，各個國家都致力于新型能源的開發與研究，以滿足巨大的能源需求，緩解環境污染問題[1]。在眾多新能源項目研究成果中，鋰電池以其能量密度高、壽命長、體積小、無污染、無記憶效應、輸出功率大等優點，得到業界的廣泛關注與研究，并且在新能源領域得到了諸多應用，已成為新能源開發領域的重點項目，發展前景廣闊[2]。在鋰電池技術蓬勃發展的同時，其荷電狀態(state of charge,SOC)與健康狀態(state of health,SOH)成為了鋰電研究的重點與難點。準確的鋰電池荷電狀態估計，對充分發揮鋰電池性能與實現對鋰電池實時狀態檢測與安全控制具有重要意義[3]。因動力鋰電池具有強烈的非線性，故其SOC無法通過傳感器或其他測量手段直接獲取，必須通過測量電池電壓、工作電流、電池內阻等物理量并采用一定的數學方法估計得到[4]。這使得鋰電池的荷電狀態估計需要依賴于針對鋰電池特性建立的等效模型。不僅如此，由于鋰電池在復雜工況下所表現出的強烈非線性特性，僅僅依靠等效模型很難準確地對鋰電池特性進行表征[5]。將由無跡卡爾曼濾波算法改進后的平方根無跡卡爾曼算法運用于鋰電池SOC估算，建立準確的等效電路模型，可提高算法估算效果。試驗結果表明，相較于傳統無跡卡爾曼算法，平方根無跡卡爾曼算法在SOC估算方面具有更高的精確性[6]。

1 理論分析

1.1 等效電路建模

在進行鋰電池SOC估算時，建立電池等效模型來模擬電池工作狀態與工作特點十分重要。SOC的估算精度很大程度上取決于等效模型對電池動態特性的表征程度。考慮到方法、環境、工程應用等多方面因素，在幾種常用等效模型中選擇等效電路模型中的Thevenin模型作為鋰電池仿真模型。Thevenin模型由內阻模型并聯一個RC回路所構成，具有原理簡單、參數少等優點，并且模型中的RC回路能夠較好地模擬電池充放電過程中的極化效應，表征電池內部化學反應[7]。Thevenin模型是常用的等效電路模型之一，其電路圖如圖1所示。

圖1 Thevenin等效電路圖Fig.1 Thevenin equivalent circuit model

圖1中：UOC為開路電壓；UL為電路端電壓；Ro為歐姆內阻；RP為極化電阻；CP為極化電容。

采用Ro反映鋰電池放電以及放電結束瞬間電池端電壓變化，RP和CP的并聯電路表征電池充放電過程中的極化效應[8]。由圖1的電路模型可得電路方程：

(1)

對應圖1，以電池放電時的電流方向為正、充電時電流方向為負，用UP(0)表示電池極化過程的初始電壓，并根據τ=RPCP，可建立如式(2)所示的Thevenin等效電路模型時域關系方程。

(2)

1.2 模型參數辨識

為建立能夠模擬電池工作狀態的等效電路模型，選用三元鋰電池進行模型參數辨識。電池的額定容量為70 A，經過三次完整充放電試驗測得電池的實際容量為68.2 A。在溫度為25 ℃條件下，對電池進行混合動力充放電(hybrid pulse power characterization,HPPC)試驗。通過電路關系方程式以及構建的參數方程對模型中的各個參數進行辨識，并結合試驗數據與仿真辨識結果對模型精確度進行驗證。

為獲取模型參數辨識所需的電壓、電流等數據，對三元鋰電池進行HPPC試驗,分析在特定溫度條件下下電池的工作過程以求取所需參數。HPPC試驗一次充放電循環的電壓與電流變化曲線如圖2所示。

在圖2(a)所示的電壓變化曲線中，造成電池放電以及放電結束瞬間電壓突變的原因是電池歐姆內阻的分壓作用，分別對應U1～U2以及U3～U4段；造成電壓緩慢下降與緩慢回升的原因是電池的極化效應，分別對應U2～U3以及U4～U5段。利用式(1)中等效電路端電壓與參數之間的關系，可建立參數方程：

圖2 HPPC試驗數據變化曲線Fig.2 Data change curves of HPPC experiment

(3)

三個參數a、b、c為曲線擬合目標系數，與模型參數具有如下關系：

(4)

根據式(4)所示的辨識系數與模型參數之間的關系，再通過曲線擬合得到的具體辨識系數，就可以得到在不同SOC值下各個模型參數的具體數值。

3.3 平方根無跡卡爾曼迭代計算

目前，常用的電池荷電狀態估算方法有以下幾種：開路電壓法、安時積分法以及卡爾曼濾波法。①開路電壓法無法實現對電池SOC的實時在線估計。②安時積分法雖然能夠滿足實時SOC估計的要求，但由于其計算過程容易產生較大的累積誤差，故不適用于精度較高的SOC估算場合。③卡爾曼濾波(Kalman filter，KF)算法，以其能夠實時估算SOC值并且具有較高估算精度等優點，成為目前SOC估計的研究熱點[9]。KF算法是由時域內的狀態空間理論創立的濾波理論，算法的核心思想是對動態系統的狀態進行小均方意義上的最優估計，利用“預測估計預測”的算法體系提高系統估算精度。然而，KF算法只適用于線性系統，在鋰電池工作過程中，大部分呈現出非線性特性，必須首先運用卡爾曼波算法將非線性系統進行線性化處理。這個過程會引入誤差[10-11]。

平方根無跡卡爾曼濾波算法(square root unscented Kalman filter，SR-UKF)是基于無跡卡爾曼算法(unscented Kalman filter，UKF)改進的算法，它與無跡卡爾曼算法一樣，摒棄了對非線性函數進行線性化的做法，直接對非線性系統進行處理[12]。它與無跡卡爾曼算法最大的區別在于：SR-UKF算法用狀態變量的誤差協方差的平方根來代替狀態變量的誤差協方差，直接將協方差的平方根值進行傳遞，避免在每一步中都進行再分解。該方法能夠保證狀態變量協方差矩陣的半正定性和數值的穩定性，從而克服濾波發散。相對于UKF而言，SR-UKF在鋰電池SOC估算中具有更高的精確性和抗干擾性[13]。SR-UKF算法示意圖如圖3所示。

圖3 SR-UKF算法示意圖Fig.3 Flowchart of SR-UKF algorithm

平方根無跡卡爾曼算法使用了三種強大的線性代數技術，分別是QR分解、Cholesky因子更新和高效最小二乘法。平方根無跡卡爾曼算法的具體算法流程主要包括四個部分，分別是初始化、Sigma點采集、時間更新和狀態更新[14]。

(1)初始化。

確定狀態變量初始值和誤差協方差的初始值P0，S0是協方差P0的cholesky分解因子，初始值確定如式(5)所示。

(5)

(2)Sigma點采集。

(6)

(3)時間更新。

在得到(k-1)時刻的狀態變量及輸入變量的值的基礎上，通過狀態方程對狀態變量進行一步預測。

(7)

(8)

(9)

(10)

根據式(7)狀態變量的一步預測結果，由觀測方程得出觀測變量的一步預測值如下所示。Syk表示k時刻觀測變量的誤差協方差的平方根更新值。

(11)

(12)

(13)

(14)

(4)狀態更新。

狀態變量與觀測變量的互協方差將直接影響卡爾曼增益的大小，而卡爾曼增益的準確度將影響SOC的估計效果。互協方差與卡爾曼增益的計算式如式(15)與式(16)所示。其中，yk為k時刻的試驗測量值。

(15)

(16)

(17)

在SR-UKF算法中，通過Cholesky因數分解，計算狀態變量協方差矩陣的平方根來初始化濾波器。然而，在隨后的迭代中，傳播和更新的Cholesky因子直接形成了Sigma點。Cholesky因子的時間更新Sxk是采用包含加權傳播的Sigma點加上過程噪聲協方差的矩陣平方根的復合矩陣的QR分解來計算的，隨后進行的Cholesky更新是必不可少的。這兩步替換了狀態變量協方差中Px,k|k-1的時間更新，克服了UKF算法穩定性差的缺陷，同時保證了協方差矩陣的半正定性[15-16]。

2 試驗結果分析

在對鋰電池進行合理建模并對平方根無跡卡爾曼算法進行SOC估算應用的基礎上，為了驗證等效電路模型的準確性以及算法對SOC估算的精確性，在各種工況條件下對模型估算精度、估算收斂性以及模型仿真對真實試驗數據跟蹤性進行研究，得出相關結論。

2.1 參數辨識效果分析

對于等效模型的參數辨識，根據前文中的參數辨識理論基礎，選用70 Ah三元鋰電池，在25 ℃的恒溫條件下對進行脈沖放電測試試驗。通過試驗測得的電壓電流數據，計算得出的不同SOC狀態下的模型參數，如表1所示。

表1 不同 SOC 狀態下的模型參數Tab.1 Model parameters under different SOC states

根據表1求出的Ro、Rp、Cp、Uoc模型參數值，分別與對應的SOC值進行曲線擬合，設定合適的擬合階數，得到各個模型參數與SOC的關系曲線。將相應曲線表達函數分別導入MATLAB/Simulink的仿真模塊，利用安時積分法得到的SOC對Thevenin模型進行仿真，將電池的開路電壓作為數據輸出，與HPPC試驗所得的真實電壓相比較，并且計算出模型估算誤差。電壓對比及誤差分布如圖4所示。

圖4 電壓對比及誤差分布圖Fig.4 Comparison and error distribution of voltage

通過數據對比得出，HPPC測試條件下模型表征最大電壓絕對誤差約為42 mV，平均絕對誤差約為22 mV，模型最大辨識誤差約為1.1%，平均辨識精度在99.3%以上。通過試驗與仿真，驗證了Thevenin模型的表征精確性與可行性。

2.2 恒流放電工況效果驗證

為了驗證平方根無跡卡爾曼算法的實用性與精度，在25 ℃的溫度條件下，對額定容量為70 Ah的三元鋰電池進行恒流放電，得到電池的真實SOC變化數據；在MATLAB/Simulink中運用模型和算法對電池的SOC值進行預測，得到仿真SOC預測數據；將真實值與預測值進行比較，并計算誤差。SOC對比及誤差分布如圖5所示。

圖5 SOC對比及誤差分布圖Fig.5 Comparison and error distribution of SOC

在放電初期，算法預測值與真實SOC值具有較大誤差。這是由于電池自身的非線性所造成的，在短時間內預測值迅速跟蹤到真實值，說明平方根無跡卡爾曼算法具有良好的收斂效果。當算法收斂后，SOC的估算誤差穩定在0.58%以內，驗證了SR-UKF算法在恒流放電工況下對SOC的估算具有較高精度。

2.3 DST工況效果驗證

動態應力測試(dynamic stress test,DST)工況是美國聯邦城市運行工況簡化后的一種復雜工況，對驗證算法的SOC估算效果具有重要作用。為進一步檢驗SR-UKF算法的SOC估算精度，在25 ℃的溫度條件下，對額定容量為70 A的三元鋰電池進行DST工況測試，運用模型與算法對鋰電池SOC值進行估算，并將UKF算法與SR-UKF算法在相同條件下的估算結果相比較，DST工況算法SOC估算結果對比如圖6所示。

圖6 DST工況算法SOC估算結果對比圖Fig.6 Comparison of SOC estimation results of DST algorithm

試驗結果表明，在DST工況下，SR-UKF算法對鋰電池SOC值的估算具有較高的精確性，估算誤差穩定在0.55%以內。相較于UKF算法，SR-UKF 算法不但具有減少計算量的優點，并且在放電初期和末期對鋰電池非線性特性的處理更加有效，具有更高的SOC估算精度。試驗驗證了算法的改進價值，對鋰電池荷電狀態的估算研究具有一定意義。

3 結論

為了對鋰電池SOC進行準確估算，利用等效電路模型對鋰電池特性進行表征，模擬其工作狀態。通過HPPC試驗得到電池充放電狀態中的電流、電壓數據，根據定義求出鋰電池SOC值，運用曲線擬合法建立SOC與等效模型中各參數之間的函數關系，在MATLAB/Simulink中進行仿真。對比電壓估算曲線與真實電壓曲線，得到模型辨識精度在1.1%以內。利用恒流放電工況測試和DST對SR-UKF算法的SOC估算精確度進行驗證，預測誤差分別在0.58%和0.55%以內，相較于無跡卡爾曼濾波算法有較大精確度提升，驗證了算法的改進意義和精確性。本文研究對鋰電池SOC估算算法提供了改進思路，具有一定研究意義。