剪力鉸對地鐵列車-劣化浮置板軌道振動的影響

蔣吉清，張佳斌，董北北，魏綱，廖娟

(1.浙大城市學院工程學院，浙江杭州，310015；2.浙江大學建筑工程學院，浙江杭州，310058)

地鐵在緩解城市交通壓力、方便市民出行等方面發(fā)揮了巨大的作用，但同時也產生了環(huán)境振動及噪聲等相關問題。目前國內常見的地鐵軌道主要包括軌枕埋入式整體軌道、彈性支承軌道、浮置板軌道等，其中鋼彈簧浮置板軌道因其優(yōu)良的減振降噪作用而被廣泛應用于國內外城市軌道交通的特殊減振區(qū)段，如德國柏林地鐵、北京地鐵13 號線、杭州地鐵1 號線等。目前，針對地鐵浮置板軌道的研究主要集中在結構完好狀態(tài)下的車軌振動性能及其隔振效果[1-5]、板端剪力鉸約束作用[6-7]等方面。然而，由于浮置板混凝土質量不良、頂升安裝施工技術不當、長期運營荷載作用等因素的影響，地鐵浮置板道床可能出現(xiàn)裂紋損傷[8]，進而導致內部鋼筋銹蝕，影響浮置板的整體受力性能。對于軌道板開裂及損傷問題，已有不少學者進行了研究。林紅松等[9]引入損傷函數(shù)模擬道床裂紋，探討了道床裂紋對雙塊式無砟軌道動力特性的影響，發(fā)現(xiàn)道床裂紋對道床及下部結構的動應力影響顯著；朱勝陽等[10]基于損傷塑性模型和線彈性模型，研究了道床板損傷時軌道-路基結構的動力特性；方樹薇[11]對北京地鐵各類無砟軌道結構損傷情況進行調查，建立了含道床裂紋的車軌耦合模型，并針對不同的分析工況選取了相應的求解模式；陳小平等[12]建立了考慮軌道板損傷的軌道-橋梁縱向相互作用力模型，通過有限元法分析了軌道板開裂對系統(tǒng)縱向力的影響。本文作者通過引入浮置板道床抗彎剛度折減系數(shù)，建立并求解地鐵列車-劣化浮置板軌道-襯砌-土體耦合動力分析模型，研究地鐵浮置板道床剛度劣化、板端剪力鉸約束、車速等因素對于地鐵列車-浮置板軌道系統(tǒng)振動性能的影響，以期為地鐵安全運營和后期維護提供參考。

1 車軌模型

1.1 列車模型

本文采用懸掛質量模擬地鐵列車，如圖1(a)所示。車體、轉向架、輪對均視為剛體，輪對與轉向架、車體與轉向架之間分別通過一系、二系彈簧-阻尼懸掛裝置連接。車體和2 個轉向架同時考慮豎向平動與點頭運動，4 個輪對僅考慮豎向平動，共計10個自由度。

1.2 軌道模型

地鐵離散型鋼彈簧浮置板軌道系統(tǒng)的簡化模型如圖1(c)所示。其中，地鐵鋼軌采用兩端簡支的有限長Euler 梁模型進行模擬[13-14]，浮置板采用兩端自由的Timoshenko 梁模型，襯砌采用Timoshenko 簡支梁模型，隧道下方土體采用均布彈簧阻尼單元進行模擬。鋼軌與浮置板之間的扣件、浮置板下方的鋼彈簧等支承元件均采用離散彈簧阻尼單元模型，其中扣件間隔Lrs為0.625 m，鋼彈簧間隔Lst為1.25 m。相鄰浮置板之間通過剪力鉸連接[15]，以增強軌道的整體剛度。剪力鉸采用彎剪彈簧阻尼單元模型[16]，如圖1(b)所示。

圖1 浮置板軌道車軌系統(tǒng)及剪力鉸模型Fig.1 Model of vehicle-track system and dowel joint of floating slab track

2 動力平衡方程

2.1 列車方程

根據(jù)結構動力學理論建立列車的動力平衡方程：

式中：Mv，Cv和Kv分別為列車的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；zv為列車位移向量；Fv為列車各部分所受外力，主要包括自重和輪軌接觸力；上標“˙”和“˙˙”分別表示位移關于時間的一階和二階導數(shù)。

本文的輪軌關系采用線彈性接觸理論，輪軌接觸力Fw表示為

式中：zr為鋼軌豎向位移；Kwr為輪軌接觸剛度；zw,i為第i個輪對的豎向位移；xw,i(t)為t時刻第i個輪對所在的位置。ε(x)函數(shù)用于判斷輪對是否位于鋼軌之上，當脫離鋼軌時，ε(x)取為0，反之為1。

2.2 軌道方程

鋼軌采用兩端簡支的Euler 梁進行模擬，其動力控制方程如下：

式中：Er為鋼軌彈性模量；Ir為鋼軌截面慣性矩；ρr為鋼軌密度；Ar為鋼軌截面面積；Fr(x,t)為鋼軌所受外力；ns為計算長度內的浮置板數(shù)量；nrs為單塊浮置板上的扣件數(shù)；δ(x-xw,i)為Dirac 函數(shù)，x為鋼軌坐標，xw,i為第i組輪對的位置；為第i塊浮置板上第j個扣件對鋼軌的作用力；為第i塊浮置板上第j個扣件的位置。

浮置板采用兩端自由的Timoshenko 梁進行模擬，相應的動力方程為

式中：zs和φs分別為浮置板豎向位移和轉角位移；Fs(x,t)和ms(x,t)分別為浮置板所承受的豎向外力及分布彎矩；κ，As和Gs分別為浮置板剪切系數(shù)、橫截面面積和剪切模量；ρs，Es和Is分別為浮置板的密度、彈性模量和截面慣性矩。

地鐵隧道的襯砌結構視為兩端簡支的Timoshenko 梁，襯砌的動力平衡方程參照浮置板動力方程。

考慮板端剪力鉸對浮置板的約束作用，此時，浮置板板端將承受剪力鉸所產生的集中力F和集中彎矩M的作用，以第i塊浮置板為例，其板端荷載的具體表達式為：

式中：ls為單塊浮置板的長度；Kt和Ct分別為剪力鉸的抗剪剛度和抗剪阻尼系數(shù)；Km和Cm分別為剪力鉸抗彎剛度和抗彎阻尼系數(shù)。

2.3 車軌耦合系統(tǒng)動力平衡方程

聯(lián)立列車與鋼軌、浮置板、襯砌的動力平衡方程[17]，可得到車軌耦合整體動力方程如下：

式中：MG，CG和KG分別為耦合系統(tǒng)總體質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；FG為耦合系統(tǒng)總體外力向量；zG為耦合系統(tǒng)總體位移向量。

3 車軌整體振動求解

考慮振型的正交特性，對梁的振動微分方程進行模態(tài)分解[18]。

鋼軌豎向位移zr的表達式可設為

式中：qr,k(t) 為第k階鋼軌廣義振型坐標；zr,k(x)為第k階鋼軌主振型函數(shù)；mr為鋼軌振型計算數(shù)量。兩端簡支的Euler 梁自振模態(tài)及自振頻率分別為zr,k(x)=sin(kπx/lr) 和其中l(wèi)r為鋼軌長度。

浮置板的豎向位移zs(x,t) 及轉角位移φs(x,t)可表示為：

式中：qs,k(t)為第k階浮置板廣義振型坐標；zs,k(x)和φs,k(x)為第k階浮置板位移主振型函數(shù)和轉角模態(tài)；Ns為浮置板振型的計算數(shù)量。

兩端自由的Timoshenko 梁前2 階振動模態(tài)反映剛體的豎向平動和剛體轉動，表達式如下：

式中：ωs,1和ωs,2分別為第1和第2階浮置板自振頻率。

3階及以上振動模態(tài)可結合Timoshenko梁控制方程及邊界條件進行計算，經(jīng)推導可得：

式中：λ1k和λ2k為第k階浮置板振動波數(shù)；c1k，c2k，s1k，s2k，g1k和g2k均為第k階浮置板振動模態(tài)系數(shù)。

同樣，結合Timoshenko 梁方程和兩端簡支的邊界條件，可推導得到襯砌的豎向位移和轉角位移表達式。

將振型分解后的位移或轉角表達式代入車軌整體動力方程，形成常微分形式的車軌耦合振動矩陣，最后通過Newmark-β數(shù)值計算方法求解出車軌系統(tǒng)的振動響應。

4 浮置板劣化模型和相關工況

由于施工技術不當、長期運營荷載作用等因素的影響，地鐵浮置板道床可能出現(xiàn)裂紋損傷并造成整體抗彎性能劣化。為此，本文引入劣化系數(shù)α表示折減后的浮置板抗彎剛度，即EαIα=(1-α)EsIs。當α為0 時，浮置板處于完好狀態(tài)；當α為1時，代表完全劣化的情況。將EαIα代替浮置板方程中的EsIs，可得到劣化浮置板的自振頻率及振動模態(tài)，并進一步求解得到浮置板劣化情況下的車軌動力響應。

本文假定軌道跨中處的浮置板出現(xiàn)劣化情況(即第7塊浮置板，150≤x≤175 m)，如圖2中的陰影部分所示。

5 數(shù)值結果及分析

以地鐵B型車輛為例，參考鋼彈簧浮置板軌道的參數(shù)取值范圍，確定車軌模型的計算參數(shù)，如表1所示。

5.1 剪力鉸的作用

圖2 浮置板劣化工況Fig.2 Deterioration of floating slab

為研究板端剪力鉸在浮置板抗彎剛度劣化情況下的約束作用，分別對無剪力鉸和有剪力鉸2種工況下列車-劣化浮置板軌道-襯砌-土體整體振動進行對比分析。浮置板抗彎剛度劣化系數(shù)取為α=0.5，列車車速取為v=54 km/h。

車體及首個輪對加速度響應如圖3(a)～(b)所示。由圖3可見：在有剪力鉸的情況下，車體加速度幅值和輪對加速度幅值相比無剪力鉸情況都顯著減小。其中，無鉸狀態(tài)下車體加速度幅值為0.011 m/s2，有鉸狀態(tài)下車體加速度幅值為0.007 m/s2，比無鉸狀態(tài)減小了36.6%；輪對加速度幅值較無鉸狀態(tài)下減小了71.2%。由此可見，在浮置板劣化情況下，剪力鉸對車體豎向加速度和輪對加速度均有顯著的減弱作用。

圖4(a)和圖4(b)所示為列車輪下鋼軌位移和輪下浮置板位移的時程曲線。從圖4可以觀察到：輪下鋼軌位移和輪下浮置板位移在劣化區(qū)域(150≤x≤175 m)響應顯著增大；此外，在無剪力鉸情況下，由于浮置板板端位置處的剛度不連續(xù)，鋼軌位移和浮置板位移在板端處會發(fā)生突跳現(xiàn)象，產生顯著的板端位移差[7]，并且可能進一步加劇浮置板的損傷；而剪力鉸對板端突跳現(xiàn)象有良好的抑制效果，使位移變化相對平緩。具體而言，鋼軌位移幅值相較無剪力鉸狀態(tài)減小了11.7%，而浮置板位移幅值則減小了18.7%。

表1 車軌模型參數(shù)表Table 1 Parameters for train-track model

圖3 車體及輪對加速度Fig.3 Acceleration of the carriage and wheelset

劣化浮置板左端的首個扣件和首個鋼彈簧的反力曲線分別如圖5(a)和圖5(b)所示。可見有剪力鉸情況下鋼彈簧反力幅值減小了20.2%，扣件反力幅值減小了23.1%，且扣件拉力(負值部分)大幅減小，能有效避免扣件在大幅度交變荷載循環(huán)作用下的松弛失效及疲勞破壞。

5.2 浮置板抗彎剛度劣化程度的影響

為深入研究浮置板抗彎剛度劣化程度對地鐵車軌振動的影響，計算不同剛度劣化系數(shù)(α=0～0.9)情況下列車-軌道系統(tǒng)的振動響應，見圖6。

如圖6(a)所示，車體豎向加速度幅值隨著劣化系數(shù)的增大而增大，有剪力鉸情況下從0.006 m/s2增至0.009 m/s2，無剪力鉸時則從0.011 m/s2增至0.012 m/s2，增幅分別為46.6%和10.5%?？傮w而言，板端剪力鉸對抗彎剛度劣化情況下的車體加速度有一定的減緩作用，但隨劣化系數(shù)增大，其作用效果逐漸減小。

圖6(b)和圖6(c)所示分別為輪下鋼軌位移幅值和輪下浮置板位移幅值隨剛度劣化系數(shù)的變化曲線，可見二者均隨劣化程度的增加而增大，但鋼軌位移受浮置板劣化系數(shù)的影響較小，在無剪力鉸狀態(tài)下鋼軌位移幅值的改變量僅為8.8%。

此外，經(jīng)計算表明，浮置板劣化系數(shù)對浮置板鋼彈簧力以及襯砌的各類動力響應影響較小。

圖4 輪下鋼軌及浮置板位移Fig.4 Displacement of rail and floating slab under wheel

圖5 劣化板左端首個扣件反力和鋼彈簧反力Fig.5 Reaction forces of the first fastener and steel spring at the left end of deteriorated slab

圖6(d)所示為劣化浮置板板中的加速度幅值隨劣化程度的變化曲線?？梢?，板中加速度幅值對劣化程度非常敏感，在有剪力鉸和無剪力鉸狀況下分別增加了2.9 倍和1.8 倍，可將其作為觀察浮置板抗彎剛度劣化的敏感指標。

5.3 列車速度對車軌振動的影響

列車車速對于地鐵車軌耦合系統(tǒng)的動力性能有較大影響[19-20]。根據(jù)40～80 km/h 的常見地鐵列車速度，分別選取10，15 和20 m/s 等3 種情況進行計算分析，抗彎剛度劣化系數(shù)取為α=0.5。

圖6 劣化浮置板車軌系統(tǒng)隨劣化系數(shù)的振動響應Fig.6 Dynamic responses of the deteriorated slab train-track system with deterioration coefficient

圖7 車體和首個輪對加速度隨車速變化時程曲線Fig.7 Time-history curves of carriage and the first wheelset acceleration under different train speeds

如圖7(a)和圖7(b)所示，當列車速度由10 m/s增大到20 m/s 時，車體豎向加速度增幅達到了37.5%，而列車首個輪對的加速度增幅則達到了2.9 倍。可見，在浮置板剛度劣化情況下，提高列車速度會大幅加劇車體振動，從而降低乘客的舒適度。

不同列車速度下軌中加速度、劣化浮置板(第7 塊板)板中加速度及襯砌中心點加速度的時程曲線分別如圖8(a)～(c)所示，可見隨著車速的提高，三者均顯著增大，其中，當列車速度由10 m/s增加到20 m/s時，軌中加速度幅值絕對值由0.144 m/s2增至0.584 m/s2，增加了3.1倍；劣化板板中加速度幅值絕對值增加了3.8 倍；襯砌中心點加速度增幅最大，增加了5.2倍。

總結來看，列車速度對浮置板抗彎剛度劣化情況下的車軌加速度響應有顯著影響，但計算表明，車速變化對于鋼彈簧力、鋼軌位移等響應的影響并不明顯。

圖8 軌道系統(tǒng)加速度隨車速變化時程曲線Fig.8 Time-history curves of the track system with train speed

6 結論

1)浮置板板端設置剪力鉸能提高離散型浮置板軌道的整體剛度，緩解浮置板道床性能劣化對車軌振動的不利影響，降低浮置板劣化區(qū)段的車體豎向加速度、輪對加速度、輪下鋼軌位移、輪下浮置板位移、扣件力等各項車軌振動響應，對于保障乘客舒適度及地鐵長期安全運營具有積極作用。

2)隨著浮置板抗彎剛度劣化系數(shù)的增大，車體豎向加速度、鋼軌位移、浮置板位移、浮置板板中加速度等動力響應均隨之增大，其中浮置板板中加速度的增幅最為顯著，可將其作為振動測試的敏感指標。

3)在浮置板剛度劣化情況下，列車-浮置板軌道系統(tǒng)的各項加速度幅值均隨列車車速的增大而顯著增大，但列車速度對扣件力、鋼彈簧力、鋼軌位移及浮置板位移等動力響應沒有顯著影響。