邏輯公式間的Jaccard 距離及其應用*

于 鵬

陜西科技大學 文理學院，西安 710021

1 引言

數(shù)理邏輯是研究推理的一門學科，它是現(xiàn)代數(shù)學的邏輯基礎，也是人工智能與理論計算機的邏輯基礎。在數(shù)理邏輯的研究中一直存在著兩種研究方法——語構方法與語義方法。語構方法注重形式化推理，語義方法注重賦值計算。兩者之間似乎存在著一種無形的隔離墻[1]。那么是否存在著一種有別于語構與語義的研究方法呢？文獻[2-8]給出了肯定的回答。文獻[2]在經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)中利用均勻概率的思想引入了公式真度的概念，建立了計量邏輯學，給出了一種有別于語構語義的研究方法。隨后文獻[3-4]在Lukasiewicz 與R0多值邏輯系統(tǒng)中給出了相應命題邏輯系統(tǒng)的量化模型；文獻[5]則將計量化方法引入到了多值模態(tài)邏輯中，建立了模態(tài)邏輯系統(tǒng)中的量化模型；文獻[6]采用公理化方法給出了一類一階謂詞邏輯公式的公理化真度，將計量邏輯學引入到了一階謂詞邏輯中；文獻[7-8]建立了概率計量邏輯學。這些研究成果的取得，為豐富非經(jīng)典數(shù)理邏輯的研究做出了貢獻[9-16]。

雖然計量邏輯學已經(jīng)取得了豐碩的研究成果，但也存在如下問題：計量邏輯學中通過計算公式（φ→ψ）∧（ψ→φ）的真度來定義公式的相似度及偽距離的方法對于邏輯系統(tǒng)L、?n、?*n、?uk 與L*是適用的。但對于更為廣泛的MTL（monoidal triangular norm based logic）邏輯系統(tǒng)卻不再適用，這是因為對于一些左連續(xù)的t-模，構成偽距離的三角不等式不再成立。例如在[0，1]2上定義?算子如下：當時，a?b=0，當時，，可以驗證?是左連續(xù)t-模，但不是強正則左連續(xù)t-模，通過?算子及其伴隨的蘊涵算子，無法通過計量邏輯學的方法定義公式間的距離[17]。為了克服上述困難，文獻[17-18]通過限制蘊涵算子是強正則蘊涵算子的方法，在MTL 邏輯中給出了一類特殊的MTL邏輯系統(tǒng)的真度理論，并稱之為強MTL 邏輯系統(tǒng)（strong monoidal triangular norm based logic，SMTL），但這種改進不能從根本上克服上述不足。為了在更廣泛的范圍內(nèi)建立并應用程度化推理方法，本文提出了一種基于Jaccard 相似系數(shù)的量化方法，這種方法不依賴于蘊涵算子的選取，可以直接通過賦值建立相應的邏輯度量空間，并研究其性質。通過推廣本文方法，可以有效拓展計量邏輯的應用范圍，為更好地研究理論計算機的邏輯基礎提供助力。

2 公式間的Jaccard 距離

3 Jaccard 距離在刻畫公式集結構中的應用

4 結束語

本文利用向量間的Jaccard 相似度與Jaccard 距離在經(jīng)典邏輯系統(tǒng)中建立了以公式距離為核心概念的量化模型。討論了邏輯度量空間中一些特殊集合的相容性問題，為探討公式集F（S）的結構做出了嘗試，得到了諸如矛盾式是（F（S），ρJ）中唯一的孤立點，并且每一個球形領域不相容等結論。本文研究結果的取得，為利用向量間的相似性度量來研究邏輯系統(tǒng)的性質提供了新的路徑。那么在更為復雜的n值邏輯是否可以展開類似的討論是后繼的一個工作。