一道浙江立體幾何高考試題的探究與教學(xué)啟示

浙江 李安毓

2019年是浙江新高考改革后文理合卷的第三年，整套試卷在對(duì)文理合卷后的數(shù)學(xué)高考要求與特點(diǎn)維持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)了穩(wěn)中有進(jìn)的命題思路.今年高考結(jié)束后，筆者接到通知，有幸參加了浙江高考網(wǎng)上評(píng)卷工作.通過本次高考閱卷，使筆者對(duì)考生的答題情況、得分情況，以及學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)中存在的問題有了全面的了解和掌握.現(xiàn)與廣大同仁分享本次閱卷的經(jīng)歷和感悟，以期能有力地指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)教學(xué)，從而提升高考復(fù)習(xí)時(shí)效.下面就以2019年浙江高考第19題為例，談?wù)勗擃}的試題剖析、解法探究以及今后浙江數(shù)學(xué)高考立體幾何題型的備考策略.

1.試題賞析

【原題】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°,A1A=A1C=AC，E,F分別是AC,A1B1的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：EF⊥BC；

(Ⅱ)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

2.試題剖析

該試題以三棱柱為載體，考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系中的線面垂直的判定、直線與平面所成角等立體幾何模塊中的核心知識(shí)點(diǎn).同時(shí)檢測(cè)考生直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).它作為高考數(shù)學(xué)中的第二道解答題，相對(duì)而言屬于大部分學(xué)生都容易拿分的中檔題.試題緊扣教材，語(yǔ)言簡(jiǎn)練注重“雙基”，起點(diǎn)低入口寬，具有明顯的“浙江風(fēng)格”.與2018年高考浙江卷立體幾何大題相比，熟悉的背景、相似的問題、常規(guī)的方法，命題風(fēng)格可謂一脈相承.相信很多考生對(duì)兩小題的設(shè)問方式倍感“親切”，無(wú)非是把去年19題中的組合體改為斜三棱柱，把第(Ⅰ)問中的證明“線面垂直”改為了“線線垂直”，第(Ⅱ)問仍是 “線面角問題”，只是改為 “求線面角余弦值”.總之，浙江立體幾何大題繼承了近幾年來(lái)的浙江傳統(tǒng)和特色，整體趨于平穩(wěn)，屬于意料之中的題型.特別是第19題第(Ⅱ)問,文理合卷后連續(xù)三年考查了“線面角”問題，同時(shí)此問題的求解也凸顯了多種通性通法，如幾何法、空間向量法(坐標(biāo)法)和等體積法.就難度而言，2018年立體幾何題的去零平均分為11分左右，難度系數(shù)為0.73，2019年此題的去零平均分為10.6分，難度系數(shù)為0.7，相比之下兩年試題難度基本持平.

3.解法探究及考生答題情況分析

本著公平公正的原則，負(fù)責(zé)本題的評(píng)卷小組長(zhǎng)們經(jīng)過認(rèn)真研討、嚴(yán)密論證，再三商榷后確定了幾種不同的解題方案與相應(yīng)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).并把兩小問的分值分配為第(Ⅰ)問6分、第(Ⅱ)問9分，滿分15分.

3.1 第(Ⅰ)問證法探究

每年的浙江數(shù)學(xué)高考試題都普遍具有豐富的背景和內(nèi)涵，其立意深遠(yuǎn)、入口通道眾多，從不同的視角切入，同樣的精彩紛呈，而每一種解題思路的背后無(wú)不閃耀著數(shù)學(xué)思想的光輝.以下筆者分別給出2019高考浙江卷第19題兩小問的幾種不同視角的解法.

證法1(線面垂直法)：連接A1E，因?yàn)锳A1=A1C,E為AC中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC且交線為AC，故A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥BC.又由題知AB⊥BC且AB∥A1F,故BC⊥A1F，因此BC⊥平面A1EF,從而EF⊥BC.

評(píng)注：此證法主要運(yùn)用線面垂直的判定定理來(lái)證線線垂直，屬于較為常規(guī)的通性通法.考生雖容易下手，但從閱卷的情況來(lái)看，在證明A1E⊥平面ABC的過程中，相當(dāng)一部分考生只得到了一個(gè)線線垂直就推導(dǎo)出線面垂直，屬于判定定理知識(shí)掌握不到位而導(dǎo)致的錯(cuò)誤，故而只能得2分.此外，在證第一個(gè)垂直關(guān)系A(chǔ)1E⊥BC時(shí)，需利用面面垂直性質(zhì)定理來(lái)證，但很多考生因?yàn)槊婷娲怪毙再|(zhì)不會(huì)用而缺少一個(gè)線線垂直條件造成失分，充分說明很多考生立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)還不夠扎實(shí)，或是空間感知能力較差不能靈活把握空間圖形整體結(jié)構(gòu)以至于證不出第二個(gè)垂直關(guān)系.

評(píng)注：此證法關(guān)鍵是利用“直接法”把BC，EF平移到同一個(gè)三角形中,再運(yùn)用勾股定理來(lái)證線線垂直.從閱卷統(tǒng)計(jì)來(lái)看，大約有10%的考生采用此方法.雖然不少考生能想到此思路，但大都在計(jì)算邊長(zhǎng)時(shí)出錯(cuò)或存在困難，還有部分考生只計(jì)算出兩條邊長(zhǎng)，馬上反過來(lái)運(yùn)用勾股定理求得第三邊，于是就說三邊滿足勾股定理，因此EF⊥BC.此思路明顯犯了邏輯錯(cuò)誤，即在未完全計(jì)算出三邊邊長(zhǎng)時(shí)就默認(rèn)該三角形是直角三角形了，屬于邏輯推理順序顛倒，導(dǎo)致失分.

5)成果數(shù)據(jù)導(dǎo)出。將服務(wù)器中更新好的1∶250 000 DLG數(shù)據(jù)庫(kù)導(dǎo)出為FILE GEODATABASE格式，并按目錄組織結(jié)構(gòu)整理成果數(shù)據(jù)[1]。

評(píng)注：該證法的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩空間向量的數(shù)量積為零來(lái)證得線線垂直.從評(píng)卷情況來(lái)看，兩小問凡是運(yùn)用空間向量坐標(biāo)法都最容易得分，但該解法對(duì)考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有著較高的要求.評(píng)卷中遇到的重點(diǎn)問題是：在建立空間坐標(biāo)系時(shí)，相當(dāng)一部分考生由于審題不清，誤把斜三棱柱當(dāng)成直三棱柱，并把側(cè)棱或其平行線當(dāng)成z軸導(dǎo)致建系錯(cuò)誤；還有的考生則是建系雖正確，但卻把某一個(gè)點(diǎn)或向量的坐標(biāo)算錯(cuò)，從而造成失分.

3.2 第(Ⅱ)問解法探究

評(píng)注：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科之本，也是一切數(shù)學(xué)原理規(guī)律、定理性質(zhì)之源.幾何法思路的關(guān)鍵就是運(yùn)用“線面角”的概念作垂線得射影從而得到線面角，進(jìn)而運(yùn)用余弦定理求得線面角的余弦值.由于此解法需要考生具備扎實(shí)的幾何功底，如靈活添加多條輔助線，通常大部分學(xué)生都比較畏懼，所以采用幾何法的考生只有極少部分.但凡是用了此法的幾何功底過硬的考生，基本都能算對(duì).另外，從浙江高考命題規(guī)律來(lái)看，第一問的結(jié)論往往是為第二問服務(wù)的，本題也不例外.事實(shí)上，第(Ⅰ)問證明的EF⊥BC是為第(Ⅱ)問求線面角做鋪墊、埋伏筆的，因此試題也體現(xiàn)了命題人在命制解答題時(shí)對(duì)兩小問層層遞進(jìn)的設(shè)計(jì)思路.然而很多考生卻忽略了第一小問的作用和價(jià)值，未能很好地利用第一問去解決第二問.究其原因是考生對(duì)面面垂直的性質(zhì)以及線面角概念的理解和運(yùn)用不夠熟練和靈活，故而暴露出這兩個(gè)立體幾何的核心知識(shí)點(diǎn)是許多考生高考復(fù)習(xí)盲區(qū)的問題.

4.教學(xué)啟示及備考策略

4.1注重答題策略的培養(yǎng)

在平時(shí)的高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，尤其應(yīng)重視對(duì)學(xué)生解答題的答題策略進(jìn)行針對(duì)性地指導(dǎo)和點(diǎn)撥，比如讓學(xué)生明白正規(guī)考試(包括模考、高考)中，解答題的首要評(píng)卷原則是分步驟采點(diǎn)評(píng)分，即寫對(duì)一個(gè)得分點(diǎn)步驟，就能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).縱觀近幾年的浙江高考，命題者與評(píng)卷小組越來(lái)越關(guān)注考生數(shù)學(xué)思維過程的展現(xiàn)，只要考生正確理解相關(guān)概念、公式定理，推理嚴(yán)密、計(jì)算準(zhǔn)確，無(wú)論用哪一種方法都是等值的，都能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).同時(shí)，在高考立體幾何復(fù)習(xí)中應(yīng)對(duì)學(xué)生特別強(qiáng)調(diào)，在答題過程中重視證明語(yǔ)言表達(dá)的邏輯性與規(guī)范性，語(yǔ)言連貫、思路清晰很重要.因?yàn)樽舟E清楚、卷面整潔、解題思路清晰、推理過程簡(jiǎn)潔，閱卷教師更容易區(qū)分和辨別得分點(diǎn)，考生也就越容易獲得盡可能多的分?jǐn)?shù).

4.2重視邏輯推理能力的培養(yǎng)

立體幾何試題本身對(duì)邏輯推理能力有著較高要求，特別是第(Ⅰ)小問的證明題需要考生具備良好的邏輯推理能力，同時(shí)還需注意語(yǔ)言表述的條理性與嚴(yán)謹(jǐn)性.然而在本次高考閱卷中，發(fā)現(xiàn)很多考生在第(Ⅰ)問證明“線線垂直”時(shí)，因?yàn)橥评聿坏轿弧⒄撟C不嚴(yán)密而導(dǎo)致丟分.因此在平時(shí)高三教學(xué)中，應(yīng)重視對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng).同時(shí)閱卷中也注意到越是推理能力好的考生，其證明過程的書寫與表達(dá)越簡(jiǎn)潔明了，從而也就越容易得滿分.

4.3關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)