“四能”驅(qū)動培育核心素養(yǎng)，從容助力應對新高考

山東 李化周

2019年的全國高考數(shù)學新課標卷Ⅰ引起了社會的廣泛關(guān)注，許多考生感覺不適應.2020年高考數(shù)學又進行了改革，增加了4道多選題，題量與思維量增大，對學生的應考能力提出了更高的要求.新的課程標準提出要提升學生素養(yǎng)，注重發(fā)展學生應用實踐能力與創(chuàng)新能力，而素養(yǎng)目標會逐漸落實于高考中.作為數(shù)學教師應精準把握高考的改革方向，在日常的教學中滲透數(shù)學思想，培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)，提升學生數(shù)學解題能力.在教學中數(shù)學教師應改變以往偏重直接傳授知識的方式，多創(chuàng)設(shè)學科情境，通過組織學科活動，引導學生主動去發(fā)現(xiàn)、去經(jīng)歷、去感悟.教師應更多地在學生無疑處生疑、無向處指向、無力時借力，讓學生站在課堂的正中央.如何幫助學生更從容地走過高考呢？經(jīng)過筆者所在學校高三數(shù)學組近一年的探索,發(fā)現(xiàn)在平時的數(shù)學教學中應注重學生四個方面能力的培養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析能力、模型構(gòu)建能力、數(shù)學運算能力、閱讀理解能力.

一、強化學生數(shù)據(jù)分析能力

數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應用的主要方法，過程主要包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進行推斷、獲得結(jié)論.學生的數(shù)據(jù)分析能力也是近幾年高考考查的重點.教學中要側(cè)重利用圖象、表格、頻率分布直方圖、條形圖、餅形圖、折線圖、莖葉圖等培養(yǎng)學生識表讀圖能力，培養(yǎng)學生對收集的數(shù)據(jù)進行再處理、再分析的能力.

【例1】相關(guān)變量x,y的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關(guān)分析.

A．0

C．-1

從圖象上，我們發(fā)現(xiàn)(10,26)這個數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)差別較大，可能在數(shù)據(jù)收集過程中出現(xiàn)了誤差，我們可以剔除掉(10,26)，再來研究規(guī)律.發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)呈現(xiàn)負相關(guān)特性，剔除問題數(shù)據(jù)后，相關(guān)性增強，即r2更接近-1，故選C.

發(fā)展學生數(shù)據(jù)分析能力，在教學中一是可以借助信息技術(shù)，提升學生數(shù)學理解能力.教師借助信息技術(shù)多創(chuàng)設(shè)學生感興趣的情境，激發(fā)學生探究興趣；二是開展豐富的實踐活動，引導學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理、分析和預測的過程.讓學生利用R軟件、Geogebra、excel表格、spass等工具分析數(shù)據(jù)，改變數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式，增強學生抽象理解能力同時也可以很好地鍛煉學生的分析能力，豐富學生處理數(shù)據(jù)的方法.

二、積極培養(yǎng)學生模型構(gòu)建能力

新課標強調(diào)數(shù)學融于生活，讓學生從生活中提出數(shù)學問題，應用數(shù)學知識解決生活中的問題.新教材設(shè)計了多個數(shù)學建模的環(huán)節(jié)，使數(shù)學建模落實于課堂.在試卷中主要以應用題的形式考查，學生需要從問題中識別出數(shù)學模型，然后利用數(shù)學的方法解決問題.

在數(shù)學教學中可以在以下方面培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力：一是引導學生關(guān)注生活，對生活中的現(xiàn)象進行分析，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)學問題，嘗試用數(shù)學方法解答.知識來源于生活，生活中蘊含著豐富的數(shù)學模型，要引導學生養(yǎng)成從生活中尋找問題的習慣；二是讓課堂開放，鼓勵學生在課堂上提出問題，在思考、合作、交流中找到問題的答案；三是鼓勵學生們通過觀察將生活和教材上的知識進行連接，學會相互聯(lián)系；四是教師要經(jīng)常滲透模型構(gòu)造的方法.常用的構(gòu)造方法有將實際問題轉(zhuǎn)化成方程問題、將實際問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題、將實際問題轉(zhuǎn)化成圖形問題、將實際問題轉(zhuǎn)化成三角問題、向量問題、不等式問題等.

三、培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力

運算能力是思維和技巧的結(jié)合，包括對數(shù)值的準確計算和估算, 對數(shù)學表達式的變形與轉(zhuǎn)化等，運算過程中要認清運算條件、明確運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等；也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算策略的能力，以及堅持到底的韌性.在運算教學中，教師應該多關(guān)注學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，使學生終身受用.

A. 165cm B. 175cm C. 185cm D. 190cm

按以往的經(jīng)驗，在試卷這個位置的題目學生應該非常輕松地可以完成,但很多學生在這個題就卡住了.據(jù)學生考完后反映，一部分學生讀不懂題意，有點懵；一部分學生沒有注意到關(guān)鍵詞“可能是”,這部分學生沒有嘗試估算而執(zhí)著于直接求得準確的答案; 還有相當一部分學生根據(jù)生活中的經(jīng)驗憑直覺選出了正確答案B.

四、大力培養(yǎng)學生閱讀理解能力

在新的高考形式下，學生文本理解能力、生活經(jīng)驗等對考生考場作答影響較大.在教學中，教師應多引導學生以數(shù)學的眼光觀察世界，多了解生活中的數(shù)學，了解數(shù)學歷史，體會數(shù)學精神，感悟數(shù)學思想.

【例5】(2019·全國卷Ⅰ理·21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0,p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

這個題目如果改動一下，單獨作為數(shù)列題進行考查：若數(shù)列{an}滿足：an=0.4an-1+0.5an+0.1an+1,且a1=0,a9=1,求證：{an+1-an}為等比數(shù)列，并求a5.

由an=0.4an-1+0.5an+0.1an+1很容易得到0.1(an+1-an)=0.4(an-an-1)，進而可以證得{an+1-an}為等比數(shù)列，并借助a1=0,a9=1求得a5的值.而題目中a,b,c的值學生并不難求出.學生感覺考場乏力有以下幾個因素：一是閱讀能力不足，不能在有限時間內(nèi)讀懂題意；二是生活經(jīng)驗匱乏，不能準確理解各字母含義，不能準確全面地分析可能會發(fā)生的各種情況；三是數(shù)學建模能力薄弱，不能從題中發(fā)現(xiàn)、抽象出數(shù)學模型；四是對多符號、多字母式子不能靜心分析每一個字母、符號代表的含義，失去了作答的信心.

【例6】窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分，常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境.如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為正八邊形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x軸，現(xiàn)用如下方法等可能地確定點M：PiPj(其中1≤i,j≤8，且i,j∈N*,i≠j)是正八邊形的頂點，M為線段PiPj的中點，則點M(異于點O)落在坐標軸上的概率為( )

這是一道融合了中國傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新題，字母較多，看似毫無頭緒，仔細觀察就可發(fā)現(xiàn)若點M在坐標軸上，則Pi與Pj必關(guān)于坐標軸對稱，即問題轉(zhuǎn)化成軸對稱問題.從8個點中任取兩個點共有28種取法，而Pi與Pj關(guān)于x軸對稱的有4對,Pi與Pj關(guān)于y軸對稱的也有4對，共8對，根據(jù)古典概型概率公式可以求得D選項正確.