從2020年一道函數隱零點模考題說起

安徽 李昭平

函數的隱零點問題在近幾年的高考和模考中頻頻出現，成為試卷中一道亮麗的風景線.本文對2020年一道最新函數隱零點模考題進行思考和研究，揭示“一分為二”解題思想.并通過類比推廣應用，深化解題思想方法，錘煉數學思維，提高復習效率.

1.題目

(2020年漳州高三適應性測試題)已知函數f(x)=lnx+ax+1有兩個零點，則實數a的取值范圍是________.

2.分析

本題函數f(x)中含有參數a，f(x)=0存在兩個正實根，但無法求出，我們稱這種函數具有隱零點.顯然,此題若直接對f(x)求導，利用導數研究其圖象與x軸正半軸有兩個交點，又會涉及求f′(x)=0的根和對參數a的討論，比較復雜. 這讓我們聯想到：能否直接將方程lnx+ax+1=0 “一分為二”成兩個函數，利用函數y=lnx和y=-ax-1的圖象的交點個數來處理呢？基于這種想法，得到下述解答.

3. 解答

函數f(x)=lnx+ax+1的定義域是(0,+∞)，

令g(x)=lnx，h(x)=-ax-1. 函數f(x)=lnx+ax+1有兩個零點，即函數g(x)和函數h(x)的圖象有且僅有兩個公共點.

當a≥0時，兩函數的圖象只有一個公共點，不合題意,

當a<0時，由于直線h(x)=-ax-1經過定點(0,-1),而曲線g(x)在點(1，0)處的切線方程是y=x-1，也經過點(0,-1).因此直線y=x-1是直線h(x)=-ax-1的極限位置.

于是當-a<1，即-1

故實數a的取值范圍是(-1,0).

4.結論

由上述解答，得到以下結論：設f(x)=g(x)-h(x),求f(x)的零點?f(x)=0的實數根?g(x)與h(x)圖象交點的橫坐標. 其中y=g(x)和y=h(x)是定曲線(含直線)或動曲線(含直線).對于含有參數的函數f(x)，或其導函數f′(x)，或f′(x)的導函數f′′(x)的零點問題，或不等式問題, 利用“一分為二”的思想將復合型函數方程f(x)=0，f′(x)=0，f′′(x)=0或不等式f(x)>0，f(x)<0,分成兩條曲線y=g(x)和y=h(x)來處理，往往能化繁為簡、化難為易, 融直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養為一體.下面結合典例介紹應用.

5. 應用

5.1 處理函數f(x)的隱零點問題

( )

即xlnx=-a(x-1).

令g(x)=xlnx,h(x)=-a(x-1)，

直線h(x)=-a(x-1)過定點(1,0),用導數知識可以畫出定曲線g(x).

當a≥0時，兩函數的圖象在x∈[1,e]上只有一個公共點，不合題意.

點評：本題考查f(x)的隱零點，“一分為二”成兩個函數g(x)=xlnx(定曲線)和h(x)=-a(x-1)(動直線)，則問題立即轉化為定曲線與動直線的位置關系，利用數形結合、動靜變化、極限位置，快速實現解題目標.注意對參數a的分類討論和不等式g(e)≥h(e)中能取到等號.

5.2 處理函數f′(x)的隱零點問題

【例2】(2020年青島市高三段考題)設a∈R,函數f(x)=ex-aln(x-1), 其中e為自然對數的底數. 試判斷f(x)極值點的個數.

當a<0時，兩函數的圖象沒有公共點，即函數f′(x)沒有零點，此時f(x)沒有極值點.

當a=0時，f(x)=ex，顯然沒有極值點.

當a>0時，如圖，兩函數的圖象只有一個公共點，設其橫坐標是x0.

顯然，當x

當x>x0時，g(x)>h(x),f′(x)>0.

此時f(x)只有唯一極小值點.

5.3 處理函數f″(x)的隱零點問題

5.4處理不等式的證明問題

因此f(x)在(1,+∞)上單調遞增，f(x)>f(1)=0.

再令g(x)=x-ex-1,則g′(x)=1-ex-1<0,g(x)在(1,+∞)上單調遞減，g(x)

5.5處理不等式的整數解問題

【例5】(2020年皖江聯盟聯考題)已知函數f(x)=(2x+1)ex+1+ax(a∈R，e是自然對數的底數). 若有且僅有3個負整數x1,x2,x3，使得f(x1)≤0,f(x2)≤0,f(x3)≤0,則a的最小值是________.

顯然，當a≥0時滿足f(x)≤0的負整數x有無數個，因此a<0.

點評：本題是一次函數與指數函數的復合型函數，將不等式f(x)≤0“一分為二”成兩個函數y=g(x)(定曲線)和y=h(x)(動直線)，則不等式的整數解問題立即轉化為定曲線與動直線的位置關系，再列出相應的不等式組求解即可，要特別注意在何處取等號 .

5.6處理曲線的切線問題

則“過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“定曲線y=g(x)與動直線y=-t有3個不同的交點”．