“說題”引領教師專業成長
——以2018年全國卷Ⅱ理科19題為例

貴州 袁小勇

相對于“說課”，“說題”還屬于一個新鮮的事物.“說課”已經形成了一個基本模式，但是“說題”怎么說，還是一個正在探索的問題.教師“說題”是一種類似于“說課”的教育教研展示和討論活動，是“說課”的延續和創新，是深層次備課后的展示.開展“說題”，其宗旨是促進教師對試題的研究，從而把握高考命題的趨勢與方向，用以指導課堂教學，提高課堂教學的針對性和有效性，同時，促進教師專業水平和自主學習能力的提升.作者認為，“說題”就是把命題立意、考綱要求、試題原型(在教材中的母題)、審題、分析、解答和試題變式的思維過程按一定規律及一定順序說出來.本文以2018年全國卷Ⅱ理科19題為例進行“說題”分析.

一、高考真題

設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

二、考點分析與考綱要求

本題選自2018年全國卷Ⅱ理科第19題，考查的知識點是直線的方程、圓的方程、拋物線的定義、拋物線的標準方程、拋物線的簡單幾何性質、直線與拋物線的位置關系、直線與圓的位置關系.思想方面考查了數形結合思想、方程思想、化歸與轉化思想；另外還涉及了抽象概括能力和運算求解能力，解析幾何與平面幾何的交匯應用，數學運算、數學抽象等核心素養的考查，屬中等偏上難度題目.

考點分析考綱要求直線的方程掌握確定直線的幾何要素,掌握直線方程的三種形式圓的方程掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程拋物線的定義掌握拋物線的定義拋物線的標準方程掌握拋物線的標準方程拋物線的簡單幾何性質掌握拋物線的幾何圖形及簡單幾何性質

續表

三、教材原型

人教A版數學選修2-1第二章圓錐曲線與方程中2.4.2拋物線的簡單幾何性質第69頁的例4.斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A,B兩點，求線段AB的長.

人教A版數學必修2第四章圓與方程中4.1.1圓的標準方程第120頁的例3.

已知圓心為C的圓經過點A(1,1)和點B(2,-2)，且圓心C在直線l:x-y+1=0上，求圓心為C的圓的標準方程.

本題源自于以上兩題的改編，本題第Ⅰ問將例4中的條件和結論交換，第Ⅱ問將例3中圓心C在直線l:x-y+1=0上改為圓與拋物線的準線相切.

四、真題分析

波利亞在《怎樣解題》中將解決問題時的思維過程分成四個階段——理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧，從而描繪出解題理論的一個總體輪廓，也組成了一個完整的解題教學系統，既體現常識性，又體現由常識上升為理論.所以解答問題時，需要經歷兩個關鍵過程，一是審題，二是解題.在審題時關鍵要抓住兩個“什么”，即“有什么”和“是什么”的問題.對于本題，能找到哪些顯現的已知條件？已知條件中又隱含著哪些本質關系？所以繪制以下審題思維導圖：

解題思維導圖：

解法展示：

(Ⅱ)第二問同解法1.

五、真題變式

心理學研究表明，人的認識總是由淺入深，由表及里，由具體到抽象，由簡單到復雜，因此，我們對一個題進行變式，就是對這個題更深入的研究，從而不斷提升教師的專業素養.本題我們可以從以下幾方面進行變式:(1)改變拋物線方程的形式;(2)若直線AB不過焦點，經過另一定點，求直線AB的方程；(3)改變設問的方式，如第一問可以變為求△AOB的面積；第二問可以變為證明以AF為直徑的圓與y軸相切或證明以AB為直徑的圓與準線相切；(4)將第二問作變式，過A，B兩點作拋物線的切線，兩切線交于一點P，證明點P的軌跡為一條直線.

六、反思總結

經過對題目的變式，我們發現對于著名的阿基米德三角形(拋物線的弦與過弦的兩端點的兩條切線所圍成的三角形，這個三角形常被稱為阿基米德三角形.)，當弦AB經過點F時，即為拋物線焦點弦的問題.