例談高中數(shù)學解三角形中的核心素養(yǎng)

江蘇 張朋舉

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì).

所謂核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是通過學習而逐漸形成的正確價值觀念,是能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品質(zhì)和關鍵能力，是實現(xiàn)“立德樹人”目標的必要保障；而數(shù)學學科的核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是學生在數(shù)學學習和應用中逐步形成的具有數(shù)學基本特征的數(shù)學思維品質(zhì)與關鍵能力.它是高中數(shù)學課程的統(tǒng)領，是數(shù)學思想的核心.具體包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等6個方面的素養(yǎng).它們彼此相對獨立卻又相互交融，是引導學生在數(shù)學學習過程中思考問題的方式、解決問題的方法以及能力等，是培養(yǎng)優(yōu)秀人才的基礎.因此，數(shù)學核心素養(yǎng)的生成應和數(shù)學知識的獲取及應用結合起來.

三角形是最基本的幾何圖形.三角形中的數(shù)量關系在天文、地理、航海等領域中有著極其廣泛的應用.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》將“解三角形”安排在了主題三“幾何與代數(shù)”的“平面向量及其應用”中，更加凸顯了三角知識和數(shù)學核心素養(yǎng)之間的融合,使得運用三角知識解決實際問題成為發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的重要載體.通過對三角形邊角關系的探究，發(fā)現(xiàn)正弦定理和余弦定理，掌握并運用正弦定理和余弦定理解決一些與測量、幾何計算有關的實際問題，發(fā)展學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

1.判斷三角形的個數(shù)，發(fā)展直觀想象

直觀想象是指借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決問題的素養(yǎng).直觀想象是不同的思維方法或思維形式，是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，也是進行思路論證、數(shù)學推理、實現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎.其中想象是在直觀基礎上，是直觀的延伸.數(shù)形結合是解決三角形問題，研究三角形中邊角的數(shù)量關系的重要數(shù)學思想，在解三角形的教學中，通過數(shù)形結合，判斷三角形的個數(shù)，可以很好地落實對學生的數(shù)學直觀想象的培養(yǎng).

評析：在本例中，學生的最大困難就是想不到利用數(shù)形結合的思想解決問題.實質(zhì)上解決本題，我們先在圖中固定了∠A，射線AB，線段AC，然后把a=2想象成以C為圓心，半徑為2的圓.從而把問題理解成“射線AB與圓C有幾個交點”.最后借助數(shù)量關系a=2>CD，且a>b確定解的個數(shù).當然，借助數(shù)形結合，我們還可以得到一般性的結論：已知A，a，b，當a

2.有邏輯地思考問題，發(fā)展邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).學生掌握邏輯推理的基本形式就是學會有邏輯地思考問題.有邏輯的思考問題就是用一定的方法、順序與步驟，對已有的數(shù)學信息運用數(shù)學邏輯推理的思考方式建構數(shù)學思維的能力.可以說，邏輯是學生打開未知數(shù)學世界的鑰匙，是由知識通向能力的橋梁.推理則是指引學生如何去深入思考的燈塔，更是用學到的有限知識去迎接未來無限挑戰(zhàn)的利器.解三角形的許多題目可以很好的發(fā)展學生的邏輯推理能力，進而提升思維效率.

3.探究運算思路、方法，發(fā)展數(shù)學運算

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.它既是解決數(shù)學問題的基本手段，也是學生學習數(shù)學的一種基本能力，運算能力的培養(yǎng)與學生素養(yǎng)相輔相成.當前高中數(shù)學教學，學生練習量很大，但是效果卻欠佳，究其原因是學生的運算能力不足，因此，在解三角形的教學中，教師可通過長度、面積、取值范圍等計算題，讓學生探究合理的運算思路和運算方法，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

【例4】在△ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9，求AC邊上的中線長.

=4cos2B+4cosB-1，

4.測量三角實際問題，發(fā)展數(shù)學抽象

數(shù)學抽象是通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).抽象是數(shù)學的本質(zhì)特征，數(shù)學的研究源于對現(xiàn)實世界的抽象.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數(shù)學語言予以表征.會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，具體來講就是會對現(xiàn)實世界進行數(shù)學抽象和直觀想象.抽象是數(shù)學教學中經(jīng)常性、普遍性的思維活動，數(shù)學對象都是抽象思維的產(chǎn)物，抽象過程的關鍵是發(fā)現(xiàn).在解三角形這部分內(nèi)容中，探究正弦、余弦定理的發(fā)現(xiàn)就是一個數(shù)學抽象的過程，除此之外，解決一些關于測量的三角實際問題，也可以很好的發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

評析：數(shù)學抽象指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象.在本例中，舍去A，B，C三處的景致、海拔、經(jīng)度、緯度等非本質(zhì)屬性，得到純粹的三個點，舍掉步行、乘纜車、速度等表征，直接抽象出線段AC，AB的長，這都屬于數(shù)學抽象.