構造圓解決數學問題例析

福建 童其林

《普通高中數學課程標準(實驗)》的總目標中提出“提高提出問題、分析和解決問題(包括實際應用問題)的能力”，《普通高中數學課程標準(2017年版)》新增加了“發現問題的能力”，并且整體上升到問題解決“四能”的層面，這是目標上的一個變化，也給高中數學教學帶來了新挑戰.例如發現問題是指發現什么問題呢？是發現變化中的不變量，還是發現幾何問題可用代數的方法解決，等等.下面筆者針對一些數學問題中通過發現隱性圓可以快速求解問題，或突破解題瓶頸的方法和大家進行分享.

一、向量問題中構造圓

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點評：向量是有方向的量，有明顯的幾何意義.構造適合已知條件的直線、三角形、圓等，是快速求解的一個方法.

二、解析幾何中構造圓

例2過點(0,2)作直線x+my-4=0的垂線，垂足為Q，則Q到直線x+2y-14=0的距離最小值為

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A.0 B.2

解法一：設P(0,2),R(4,0),

直線l方程為x+2y-14=0，

則直線PR的方程為x+2y-4=0，且直線PR∥l,

過點Q作QM⊥PR于點M，延長MQ交l于點N,

設d=|QN|=|MN|-|QM|，

解法二：點Q在以PR為直徑的圓上(除去圓與x軸的交點)，

點評：解法1利用均值不等式求解，解法2發現點Q在以PR為直徑的圓上(除去圓與x軸的交點)，從而快速找到解題思路.

例3已知實數a,b,c成等差數列，點P(-3,0)在動直線ax+by+c=0(a,b不同時為0)上的射影點為M,若點N的坐標為(2,3)，則線段MN的最大值是________.

解析：因為a，b，c成等差數列，所以2b=a+c，方程ax+by+c=0可以變形為2ax+2by+2c=0,則有2ax+(a+c)y+2c=0,整理為a(2x+y)+c(y+2)=0.

因此直線ax+by+c=0恒過定點Q(1,-2).

點評：注意直角三角形的外接圓以斜邊的中點為圓心，這是隱性圓的一個特征.

例4在平面直角坐標系中，已知點A(4，0)，B(-6，0)，點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為________.

解析：構造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點即為所求的點C．注意點C有兩個．

設線段BA的中點為E，∵點A(4，0)，B(-6，0)，∴AB=10，E(-1，0)．

以點P為圓心，PA(或PB)長為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點C，

過點P作PF⊥y軸于點F，則OF=PE=5，PF=1，

所以OC=OF+CF=5+7=12，

所以點C坐標為(0，12).

(2)如圖所示，在第三象限可以參照(1)進行同樣操作，同理求得y軸負半軸上的點C坐標為(0，-12)．

綜上所述，點C坐標為(0，12)或(0，-12)，

故答案為(0，12)或(0，-12)．

例5如圖，等邊三角形ABC的邊長為a，兩頂點A，B分別在x軸，y軸上移動，求第三個頂點C到原點距離的最大值和最小值.

解析：由于A，B兩點均在運動，用常規方法解答比較繁難.不如來個“動靜互換”，即把線段AB看作定線段，原點O作為動點，當O點運動時，由于要始終保持OA⊥OB，故動點O的軌跡是以AB為直徑的圓，這樣就把求動點C到定點O距離的最值問題轉化為求定點C到動點O的距離最值問題.于是本題轉化為平面幾何中求圓外一點到圓上各點的距離最值問題，這種問題的解法非常直觀，非常簡捷.

點評：解決兩個點或多個點變化的問題，首先可以讓某個點固定，找出其中的另一個點變化的規律，這就是我們常說的“動靜互換”思想，需要想象能力.

在漲跌循環的市場規律下，今年一個意外的干擾因素是非洲豬瘟疫情，對于禽類市場的提振較為明顯。尤其進入10月份后，疫情發展較快，禁運令對于生豬市場影響進一步顯現，禽類市場開始進入震蕩上行的趨勢，蛋雞養殖盈利較可觀。卓創資訊市場分析王愛麗認為，從雞苗銷量看，后期新開產蛋雞的數量也偏少，一直到年底都是這樣。十二月、一月整體供應都偏緊張，所以雞蛋價格會維持在高位，行情偏好。

三、三角形問題中構造圓

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由AB2=BC2+AC2得∠C=90°.由對稱性知BC與B′C′交點在AD上，如圖.

AC=CE+AE=27，故對角線AC的最大值為27.

點評：本題涉及較多的平面幾何知識和解三角形知識，要注意點的軌跡在求幾何最值問題中的應用，即在求解平面幾何問題時要有軌跡意識.計算CE還有如下方法.

①建系法：如果以D為原點，DB所在直線為x軸，DC所在的直線為y軸建立直角坐標系，則C(0,9),E(8，-6)，得CE=17.計算量比前面的方法小一些.

=17.

即AD=20sin(θ+∠BAD)=12sinθ+16cosθ.

在△ACD中，由余弦定理得，

解法二體現了解三角形的基本解法——引入參數θ，將求距離最值問題轉化為求三角函數的最值問題，需要一定的三角變換能力，有不小的運算量.相比之下還是解法1發現隱圓求解更簡單.

實際上，出現隱圓的情況不只以上三種情形，在函數問題中，在復數問題中，在平面幾何及立體幾何問題中，都可能有隱性圓的情況.