立體幾何中活動經驗的類型及動手操作策略

福建 吳志鵬 陳玉蘭

數學基本活動經驗是指活動中經歷了觀察、操作、實驗、思考等過程，形成一種有助于解決相似問題的思路或技能。“動手操作”是數學基本活動之一，學生通過“動手操作”，積累相應的數學活動經驗，操作是技能由陌生到成熟再到靈活運用的重要途徑，由于活動經驗具有內隱性，只有通過列舉與描述，使之外顯才能發揮經驗的價值，才有助于指導學生的學習.在立體幾何的學習中特別是解決某些與位置相關的幾何問題時，活動經驗有著不可替代的作用和價值，在學習和考試的過程中，如能根據活動經驗類型，通過觀察、操作、實驗，建立直觀模型并獲得有價值的結論，對于正確判斷點、線、面的位置關系、相關距離的最值及其運動時所形成的軌跡等問題都有著很好的示范作用，同時也能減少由于空間想象偏差而造成的失誤以及減少作圖所花費的時間.本文通過對幾類常見的立體幾何問題進行掃描，引導學生利用一些簡單的考試工具及用品，動手操作實驗，快速獲取正確的結論.

一、“搭建模型”研究“點、線、面位置關系”的活動經驗

【例1】已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是

( )

A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行

B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行

C.若α，β不平行，則在α內不存在與β平行的直線

D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面

【解析】解決點、線、面這三個元素的位置關系，特別是元素比較多時，作相應的直觀圖較為復雜，考試時借助考試工具如用筆芯、鉛筆等替代直線，用試卷、桌面等替代平面，這樣就能輕而易舉地搭建出題目所給元素的位置模型來驗證位置關系的正確與否.對于解決此類選擇題通常采用排除法，即構建與結論相對的位置關系，判斷由條件是否也能獲得這種位置關系，如能，則結論錯誤，否則結論正確，即舉反例說明選項的錯誤.如例1的A選項，用試卷和桌面構建兩個相交平面，再驗證是否能找到一個平面與這兩個平面垂直，結論是能夠找到，故A不正確；B選項，用兩根鉛筆構建兩條異面直線，此時易構建出與桌面平行的模型，故B不正確；C選項，α與β相交，在α平面中構建與α，β交線平行的直線，即可得直線與β平行，故C不正確；D選項，構建兩根筆與桌面垂直的模型，則兩筆一定平行.故其逆否命題“若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面”是真命題，所以D選項正確，故選D.

變式：設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，

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A.若l⊥β，則α⊥βB.若α⊥β，則l⊥m

C.若l∥β，則α∥βD.若α∥β，則l∥m

【答案】A.

【評析】此類試題在高考中較為常見，由于四個選項所構成的空間位置比較多種，作空間圖形顯然更花費時間也更容易出現直觀想象的偏差，因此在考試過程中我們可以利用手中的工具，如筆、直尺、三角板、試卷、桌面及教室等構建相應的空間模型，這樣進行位置關系的判斷比在紙上作圖更直觀，更高效.

二、“折疊與展開”研究“變與不變”的活動經驗

【例2】下圖是棱長為1的正方體平面展開圖，則在這個正方體中，以下結論錯誤的是

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B.AB與BF所成的角為60°

D.EF與MC是異面直線

【解析】為考查空間中角和線段的位置變化情況，命題者經常會將圖形展開或折疊，讓學生通過折疊還原成空間圖形或展開成平面圖形再來判斷.折疊后與展開圖的哪些面是對應的？哪些角是對應的？又有哪些頂點是對應的？這些都要求學生要有較強的空間想象能力，給空間想象能力弱的學生則帶來很大的挑戰，想讓他們解決此類問題其實也不難，關鍵是要弄清哪些量是變的，哪些量是不變的，如果能借助簡單工具動手操作，如用小刀將方塊橡皮擦切成可立的長方體薄片替代正方體的各個面，分別按展開圖放置，再折起還原成正方體就能輕而易舉地找到展開圖與原圖形對應的點和發生變化的點.觀察折起的圖形，此時問題的難度得到了有效的降低，易選D.

變式：一個正方體的平面展開圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示.在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N.

請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；

【答案】F在點B上方的頂點處，G在點C上方的頂點處，H在點D上方的頂點處.

變式：如圖，已知O為圓錐的頂點，MN為圓錐底面的直徑，一只蝸牛從M點出發，繞圓錐側面爬行到N點時，所爬過的最短路線的痕跡(虛線)在側面展開圖中的位置是

( )

A

B

C

D

答案：C.

【評析】對于研究“變與不變”的問題，我們只需利用簡易工具如橡皮擦、軟塑料的量角器、試卷(不是答題卡)等依樣構建數學模型，再通過折疊或展開，尋找前后相應點的位置，這樣可快速對展開圖進行還原，或將立體幾何圖形進行展開，這樣看圖就更直觀、清晰，減少因對應關系偏差而出現的失誤，觀察所需要的元素在折疊與展開過程經歷“變或不變”，更好地助力相關幾何問題的解決.

三、“運動旋轉”研究“過程變化”的活動經驗

( )

【評析】三角板作為我們作圖時常用的工具，其三個角分別為30°,45°,60°的特殊角，邊角關系特殊性彰顯其具有豐富的內涵，經常作為命題者命題的來源，在三角函數、立體幾何、平面幾何以及解析幾何中均有出現，由邊角的這一特殊關系聯想到三角板，并利用這個工具動手操作、研究△BAC繞著斜邊BC旋轉，在這個過程中觀察點A與點D的距離變化情況，并獲得距離取值的范圍.

【例5】如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是

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A.直線 B.拋物線

C.橢圓 D.雙曲線的一支

【解析】由題可知∠PAB=30°，當P點在平面α上運動時，可尋得一個含有30°角的三角板進行替代，將斜邊固定，另一直角邊繞斜邊旋轉形成一個圓錐，并想象用一個平面去截圓錐所得的圖形是什么？易知當平面與圓錐的高垂直時，所得截面為與底面平行的圓，否則為橢圓.本題用一個與圓錐高成60°角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓，故選C.

【評析】對于旋轉問題，一般表現為某個圖形圍繞著某個點或某條直線進行旋轉，有時可以借助數學作圖工具，動手實驗操作，觀察旋轉時的圖形變化情況以及所求目標在旋轉時的位置，通過動手實驗操作獲得直觀、感性認識，進而得出正確的結論，有效解決需要通過證明才能獲得結論的問題，實用而又高效.