(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程孤波的格子Boltzmann模擬

王慧敏

摘要：本文使用格子Boltzmann方法對（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波進行數值模擬研究。構建了（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的格子Boltzmann模型，并進行了數值實驗。數值結果表明，格子Boltzmann方法是求解（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的有效工具。

關鍵詞：（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程;格子Boltzmann方法;數值模擬

1 引言

修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程出現于修正KdV方程，是等離子體物理、非線性光學、流體力學等物理分支分析物理現象非線性傳播的重要模型[1]。近年來，學者們關于非線性偏微分方程孤波解的構造進行了許多研究，也使用改進的擴展直接代數法對修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波進行了精確求解。然而精確解的求解往往很困難，因此方程的數值研究就十分必要了。本文擬對（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波解進行數值模擬，使用的方法是近三十年發展起來的一種全新的數值方法——格子Boltzmann方法.本文考慮的（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程形式如下：

（1）

2 基于格子Boltzmann模型恢復宏觀方程

設為時刻t時位置X處粒子的分布函數，為相應的平衡態分布函數.在粒子“質量”局部守恒的假設下，分布函數 滿足格子Boltzmann方程

（2）

結合Taylor展開，Chapman-Enskog展開以及多尺度展開等技術，可以得到不同時間尺度的系列偏微分方程[2].

為了恢復出宏觀方程，需要選擇合適的平衡態分布函數的矩形式。首先定義宏觀量如下：

;（3）

根據平衡態分布函數的守恒條件，可知

;（4）

設平衡態分布函數的矩：

（5）

（6）

選擇3維6bit格子，由（4）-（6）計算可得平衡態分布函數的表達式.再由系列方程可以得出方程（1）的近似方程，其中E2是二階誤差。

（7）

通過誤差分析，可得

（8）

3 數值算例

下面利用構建的格子Boltzmann模型對（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的孤波進行模擬。

初始條件為：

（9）

其中，.

邊界條件為：

（10）

其中，，，是邊界點。

本例中計算區域為，各參數取值為格子數.數值結果如圖所示。圖1給出了t=0.5時的（3+1）維孤波解的情形，圖2呈現了t=0.5時用平面x=0去切（3+1）維孤波解得到的二維孤波。圖3給出了LBM解和精確解[1]在t=0.5時的對比圖，y=0，z=0，圖4給出了此時的誤差曲線圖?？梢园l現，LBM解與精確解基本取得了一致，數值結果可以接受。

4 結論

本文考慮了（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的格子Boltzmann模擬問題，構建了一個格子Boltzmann模型。通過為平衡態分布函數選擇合適的矩形式，宏觀方程得到恢復。對模型進行誤差分析，結合算例對該方程描述的3維孤波進行了數值模擬。結果表明，LBM可以用來計算（3+1）維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程，這對進一步探討類似的偏微分方程及更復雜的孤波現象具有潛在意義。在未來工作中，我們可以考慮提高模型精度。

參考文獻

[1]Lu DC， Seadawy AR， Arshad M， Wang J. New solitary wave and their solutions of （3+1）- dimensional nonlinear extended Zakharov-Kuznetsov and modified KdV-Zakharov-Kuznetsov equations and their applications applications[J]， Results in Physics，2017， 7：899-909.

[2] Wang HM. Numerical simulation for the solitary wave of Zakharov–Kuznetsov equation based on lattice Boltzmann method[J]， Applied Mathematical Modelling， 2017，45：1–13.

基金項目

吉林省教育廳項目（批準號：JJKH20190723KJ）;吉林省科技廳項目（批準號：20180101344JC）。