不同邊界條件下管翅式換熱器流動與傳熱性能的POD分析

王燁，孫振東，王瑞君，魯紅鈺，常悅

（1 蘭州交通大學環境與市政工程學院，甘肅蘭州730070； 2 鐵道車輛熱工教育部重點實驗室，甘肅蘭州730070）

引 言

對換熱器流動傳熱規律的研究中，通常有實驗和數值計算兩種方法[1-4]。傳統的數值方法計算量大、耗時長，難以適應實際研發的需要。本征正交分解(POD)低階模型作為一種快速算法，近年來得到了廣泛關注，也越來越多地被用于各種工程計算中，如翼型優化設計[5]、湍流減阻流動[6]、油氣儲運[7-10]、氣體流動[11-13]、黏彈性問題[14]、拋物形方程的降階[15]、原油加熱管道熱模擬[16-18]、海上風力發電塔風速模擬研究[19]、動態系統模型模擬[20-22]、速度場與風壓場預測[23-27]等。在工業工程中，對于同一個系統的流動與傳熱過程，在不同的操作條件下會對應不同的邊界條件。對不同邊界條件下的流動與傳熱機理分析，必然存在最適宜的計算方法。扁管管翅式換熱器結構參數多、流動與傳熱過程復雜，POD技術是否能準確捕捉到等壁溫及等熱流邊界條件下的速度場及溫度場詳細信息，邊界條件的改變對POD 計算結果的影響程度如何，均是值得探索的問題。另外，在數值設計中為了盡可能地使邊界條件設置與工程實際接近，可以根據POD 對物理場的計算結果與有限容積法（FVM）結果間相對偏差獲得最小值時的邊界條件作為合理的邊界條件來設置。因此，本文將POD 技術用于分析扁管管翅式換熱器在等壁溫和等熱流兩種邊界條件下改變翅片間距、橫向管間距和空氣側Reynolds數時速度場與溫度場特征，并考核其計算精度和計算速度能否達到工程計算要求。

1 物理和數學模型

1.1 物理模型及計算區域

研究對象為扁管管翅式換熱器，圖1(a)為板芯結構示意圖。扁管錯排布置，扁管內為熱水，冷空氣均勻分布并且平行于管外翅片表面進入流道。如圖1(b)所示，扁管尺寸：a=2.5 mm，b=18.5 mm，縱向管間距S2=55.0 mm。計算中，橫向管間距S1取36.0、37.6、40、46 和44 mm，翅片間距Tp取4.0、5.0 和6.0 mm。扁管及翅片的材料均為銅，熱導率為λ=398 W/(m·K)。考慮所研究管翅式換熱器板芯結構周期性和排列對稱性的特點，選取3 個管排的最小換熱單元為計算區域[圖1(b)中實線部分]，如圖1(c)所示。

1.2 控制方程

本文計算中，對于流體屬性、流態等假設見文獻[28]。本文控制方程如下：

連續性方程

動量方程

能量方程

1.3 邊界條件

對氣流通道內計算區域設置邊界條件。空氣入口速度根據給定Reynolds 數Rea確定，入口溫度Tin=40℃，出口流速設為局部單向化條件，出口斷面溫度按絕熱條件處理。所有氣固交界面均為速度無滑移條件[29]。等壁溫條件時，翅片和水管壁均為88℃；等熱流條件時，翅片的熱通量為20000 W/m2，水管壁的熱通量為21000 W/m2。空氣通道及翅片在y=0及y=S1/2斷面上均為絕熱邊界條件。

2 POD低階模型的構建

2.1 樣本選擇

POD 樣本來源一般有實驗數據或數值模擬結果，本文樣本來自FVM 計算結果。本研究設置了兩種邊界條件：等壁溫邊界條件和等熱流邊界條件，對應每種邊界條件的溫度場和速度場，選取單參數(Rea)、雙參數(Rea，Tp)以及三參數(Rea，Tp，S1)同時變化并分別形成6個樣本庫。樣本庫中具體參數取值如表1 所示。表中A={400, 500, 600, 700, 800, 900,1000, 1100, 1200, 1300, 1400, 1500, 1600, 1700,1800}，B={4.0,5.0,6.0}，C={36,37.6,40,42.4,44}。

表1 樣本參數Table 1 Sample parameters

2.2 基函數的提取

將2.1 節所得樣本導入MATLAB 程序，得到能代表基函數特性的特征值。為了確保所選基函數個數能完全反映物理場信息，需要以此特征值為基礎計算累積能量貢獻率，從而得到使該值占總能量99.99%以上的基函數最小個數[28]。等壁溫條件和等熱流條件計算過程相同，具體過程為：根據表1中不同樣本矩陣的樣本個數，單、雙、三參數變化的3個樣本矩陣分別得到15、45 和225 個基函數。根據累積能量貢獻率大小選取的基函數組數如表2所示。

表2 基函數組數的選取Table 2 Selection of the number of basis functions

2.3 譜系數計算

本文在等壁溫和等熱流兩種邊界條件下，單參數（Rea）變化時采用線性插值、Newton 插值、拉格朗日插值三種方法計算溫度場和速度場，并與FVM 計算結果進行比對，發現三種插值法計算精度幾乎沒有差別，但線性插值法速度最快，本文選擇線性插值法獲得單參數變化時的譜系數；雙參數（Rea及Tp）變化和三參數（Rea、Tp及S1）變化時均采用線性插值法計算譜系數并重構溫度場和速度場，綜合分析計算精度和計算耗時，分析比較各參數變化時的溫度場和速度場，獲得精度最高的插值方法。與POD 有關的基礎理論及公式見文獻[30]。

2.4 POD低階模型計算精度考核

為了驗證本文FVM 數值方法和所編程序的正確性，將Tp=5 mm、S1=40 mm、Rea=400～1800 時FVM 所得結果與文獻[31]的實驗結果進行對比，如圖2 所示。可以看出，空氣側平均Nusselt 數與實驗結果間的相對誤差隨Rea增大呈下降趨勢，等熱流條件下的相對誤差最大值為23.5%，相對誤差平均值為15.5%，等壁溫條件下的最大相對誤差為12.1%，平均誤差為10.4%。可認為FVM 的計算結果是可信的。文獻[31]的實驗擬合公式見式（4）、式（5）。

圖2 數值結果與實驗結果對比Fig.2 Comparison of numerical results with experimental results

為了檢驗網格數量對數值結果是否有影響，在Tp=5 mm，S1=40 mm，Rea=1150 條件下，選取3 套網格對氣流通道內進行數值試驗，得到了翅片上表面翼展方向平均Nusselt 數----Nu 沿主流方向的變化趨勢，如圖3所示。可以看出，3套網格所得結果吻合得很好，可以認為是網格獨立的，故本文選取空氣側網格為274×36×20。

為了檢驗不同變量所構建POD 低階模型能否準確捕捉到速度場及溫度場的局部信息，采用POD線性插值法重構出z=Tp/2 截面的溫度場和速度場，并與FVM 結果進行比對，如圖4 和圖5 所示。兩種邊界條件下單參數變化選取的工況均為Tp=5 mm，S1=40 mm，Rea=1150，雙參數變化選取的工況均為Tp=5.5 mm，S1=40 mm，Rea=1550；等熱流邊界條件下三參數變化選取的工況為Tp=4.5 mm，S1=41.2 mm，Rea=1550，等壁溫邊界條件下三參數變化選取的工況為Tp=5.5 mm，S1=41.2 mm，Rea=1550。圖中實線為POD 結果，虛線為FVM 結果。可以看出，無論對于溫度場還是速度場，不同變量POD 低階模型所得結果均與FVM 所得結果吻合得很好，說明本文數值方法用于分析扁管管翅式換熱器的流動與傳熱過程是可靠的。

3 結果分析

根據所提取的基函數和譜系數，可重構等熱流及等壁溫邊界條件下不同參數變化的溫度場和速度場。

圖3 網格獨立性驗證Fig.3 Grid independence verification

圖4 POD方法與FVM所得溫度場對比Fig.4 Temperature field comparison of POD and FVM

圖5 POD方法與FVM所得速度場對比Fig.5 Velocity field comparison of POD and FVM

3.1 單參數變化溫度場和速度場重構

在Tp=5.0 mm，S1=40 mm 且Rea變化情況下重構溫度場的部分結果如圖6所示。兩種邊界條件得到了較為一致的結果：隨著Reynolds數的增大，空氣入口處的低溫區沿主流方向逐漸延伸，氣體通道內溫度整體下降，說明隨著空氣流速增大，空氣與翅片以及管壁之間的換熱反而越不充分。對速度場重構的部分結果如圖7 所示。可以看出，沿主流方向流速逐漸增大，管子前端以及靠近管壁處速度梯度較大，管子尾部回流特征明顯。

3.2 雙參數變化溫度場和速度場重構

在Tp和Rea同時變化情況下得到z= Tp/2 截面溫度場如圖8 所示，由圖可知，等熱流條件下，當S1和Rea均變大時，沿主流方向低溫區域越大，氣流通道內溫度整體水平降低，溫度梯度減小，這是因為翅片間距增大導致熱邊界層厚度增大，使得空氣與翅片和管壁之間的熱阻增大，不利于熱交換。等壁溫條件下這一變化更顯著。兩種邊界條件下Tp和Rea同時變化對速度場的影響規律接近，如圖9所示。

圖6 不同Rea時z=Tp/2截面溫度場(Tp=5.0 mm，S1=40 mm)Fig.6 Temperature field in z=Tp/2 section at different Rea

圖7 不同Rea時z=Tp/2截面速度場(Tp=5.0 mm，S1=40 mm)Fig.7 Velocity field in z=Tp/2 section at different Rea

圖8 雙參數變化時z=Tp/2截面溫度場(S1=40 mm)Fig.8 Temperature field in z=Tp/2 section for two variables

圖9 雙參數變化時z=Tp/2截面速度場(S1=40 mm)Fig.9 Velocity field in z=Tp/2 section for two variables

3.3 三參數變化溫度場和速度場重構

在Tp、S1和Rea同時變化得到的水平面上溫度場如圖10所示。兩種邊界條件下出現了類似的現象：同時增大Tp和S1時，第1 管排處低溫區域略有縮小，在第3 管排末尾處出現局部高溫區域，對照圖11 可知，在第3管排末尾處的速度為負值，說明在此位置處出現回流區，不利于水管壁向空氣的傳熱。圖11為重構的速度場結果。與雙變量重構結果類似，兩種邊界條件下三個參數同時變化對速度場的影響差異很小。

3.4 POD結果與FVM結果對比

3.4.1 計算精度比較 對于不同結構的換熱板芯，POD 低階模型的計算結果與FVM 計算結果進行比對，如圖12 和圖13 所示。由圖可知，兩種邊界條件下，單參數變化的溫度場及速度場均吻合得很好；對于雙參數及三參數變化情況下的溫度場結果，等熱流條件比等壁溫條件吻合得更好。邊界條件對速度場的影響均很微弱。

圖10 三參數變化時z=Tp/2截面溫度場Fig.10 Temperature field in z=Tp/2 section for three variables

圖11 三參數變化時z=Tp/2截面速度場Fig.11 Velocity field in z=Tp/2 section for three variables

圖12 POD方法與FVM所得溫度場對比(z=Tp/2)Fig.12 Comparison of temperature field between POD method and FVM

圖13 POD方法與FVM所得速度場對比(z=Tp/2)Fig.13 Comparison of velocity field between POD method and FVM

表3 POD與FVM結果相對偏差的平均值Table 3 Average value of relative deviation between POD and FVM results

表3 給出了各工況相對偏差的平均值。總體上，等壁溫條件時POD所得速度場與FVM間相對偏差最小；等熱流條件時POD所得溫度場與FVM間相對偏差最小。因此，如果工程問題中關注的是復雜結構中的熱傳遞規律，采用POD 進行數值分析時適合按照等熱流邊界條件設置，如果關注的是流動特征，則按照等壁溫邊界條件設置較合適。

3.4.2 計算耗時比較 前已述及，POD 方法重構的溫度場和速度場與FVM 方法計算得到的溫度場和速度場基本一致，而采用POD 方法計算時間比FVM要短得多。

表4 為FVM 算法與POD 方法對溫度場的計算耗時對比結果，可以看出，POD 比傳統數值方法最快能提高3093倍。

表4 不同計算方法耗時對比Table 4 Calculating time of different methods

4 結 論

在等熱流和等壁溫邊界條件下，以構建的POD低階模型分析了扁管管翅式換熱器中流動與傳熱過程，得到了以下主要結論。

（1）采用POD 方法重構溫度場時，在等壁溫條件下相對偏差平均值的最大值為0.557%；在等熱流條件下相對偏差平均值的最大值為0.308%。采用POD 方法重構速度場時，在等壁溫條件下相對偏差平均值的最大值為1.26%；在等熱流條件下相對偏差平均值的最大值為1.9%。因此，POD 低階模型在等熱流和等壁溫邊界條件下對扁管管翅式換熱器流動與傳熱計算均是可行的。

（2）對于等壁溫和等熱流邊界條件，無論用POD 方法重構溫度場還是速度場，均得到了符合原溫度場和速度場變化的重構物理場，表明POD 方法從已知樣本的譜系數出發獲得待求譜系數能大大簡化求解過程，而且保留了物理過程的真實信息。

（3）對于溫度場和速度場的計算過程中，通過增大樣本個數的方法比已有文獻報道大大提高了計算精度。POD 插值法的計算速度比傳統數值方法最快能提高3093倍。

符 號 說 明

cp——空氣的比定壓熱容，J/(kg·K)

Rea——空氣側Reynolds數

S1,S2——分別為橫向管間距、縱向管間距，mm

Tp——翅片間距，mm

ui,uk——空氣流動速度，m/s

λ——翅片熱導率，W/(m·K)

ρ——空氣密度，kg/m3