考慮非共振影響的氣泡分布參數(shù)聲學(xué)反演方法

時(shí)潔，劉宇林，鄧安定，田鴻興

在醫(yī)用超聲生理組織成像、工業(yè)材料和設(shè)備無損評(píng)估、水聲參量陣等領(lǐng)域，含氣泡介質(zhì)都有著廣泛的應(yīng)用。其中，氣泡尺寸分布的聲學(xué)測量與反演是獲取氣泡群物理參數(shù)，進(jìn)而對(duì)應(yīng)用效果進(jìn)行定量化分析評(píng)估的重要環(huán)節(jié)。目前，氣泡群尺寸分布參數(shù)的聲學(xué)測量與反演方法按測量方式分為被動(dòng)測量法和主動(dòng)測量法。Leighton[1]提出被動(dòng)測量法，即通過測量海水中破碎波產(chǎn)生的氣泡向外輻射的聲壓信號(hào)，再通過時(shí)頻分析獲得氣泡半徑分布及對(duì)應(yīng)的氣泡數(shù)量。該方法受信噪比的影響較大，低信噪比時(shí)經(jīng)常無法檢測到信號(hào)，導(dǎo)致得到的分布結(jié)果不夠準(zhǔn)確。主動(dòng)測量法利用發(fā)射聲信號(hào)，經(jīng)過氣泡層后，接收到的聲學(xué)數(shù)據(jù)，再利用物理模型進(jìn)行反演，進(jìn)而得到氣泡的分布情況。其中測量方法主要是基于氣泡共振響應(yīng)獲取相關(guān)參數(shù)，如Terril[2-3]和Matthieu Cavaro[4]通過測量聲速進(jìn)而反演氣泡參數(shù)，Medwin等[5-9]提出的脈沖回聲法和連續(xù)波法，Vagle等[10]提出的回聲測深方法結(jié)合聲逆散射方法等。此外還有基于衰減量反演氣泡分布的經(jīng)典方法，如Clay和Medwin[11-12]共同提出的共振估計(jì)理論，其假設(shè)外部激勵(lì)僅受與其發(fā)生頻率共振的半徑的氣泡的影響，不考慮液體的粘滯和熱傳導(dǎo)并認(rèn)為阻尼系數(shù)為一個(gè)常數(shù)，進(jìn)而化簡了聲衰減的積分公式。Commander[13-14]提出的有限元法化簡了聲衰減積分公式。Caruthers[15]提出的迭代法對(duì)共振估計(jì)法進(jìn)行模擬和修正等。在氣泡振動(dòng)與聲學(xué)特性的理論研究方面，Minnaert[16]忽略了氣泡表面張力和介質(zhì)中粘滯阻力的影響，最早推導(dǎo)出氣泡的共振頻率公式。國內(nèi)的錢祖文等[17-18]對(duì)人工產(chǎn)生的氣幕及海洋中的氣泡進(jìn)行了大量研究，運(yùn)用聲學(xué)測量手段對(duì)氣泡幕和尾跡氣泡群的尺寸分布和氣體體積分?jǐn)?shù)進(jìn)行了反演，并建立了相關(guān)的參數(shù)模型。綜合已有的研究方法可以看出，用聲學(xué)方法研究氣泡分布主要依托于含氣泡介質(zhì)中氣泡群的聲學(xué)參數(shù)，即聲散射特性，如氣泡對(duì)聲速頻散、聲衰減、聲散射截面[19]等的影響特性。將氣泡對(duì)水介質(zhì)物理特性影響的規(guī)律加以修正，即可用來粗略地反演含氣泡海水介質(zhì)中相關(guān)的氣泡參數(shù)。線性方法基于共振估計(jì)法，計(jì)算線性散射截面或衰減截面進(jìn)而反演氣泡相關(guān)參數(shù)[20-21]，對(duì)共振態(tài)氣泡較為敏感，而對(duì)非共振態(tài)氣泡分析的精度不高，常會(huì)出現(xiàn)頻率模糊問題，使分析結(jié)果出現(xiàn)偏差甚至錯(cuò)誤。非共振氣泡對(duì)聲散射特性的影響程度、進(jìn)而對(duì)氣泡尺寸分布反演結(jié)果的影響程度，是本文討論的重點(diǎn)。

本文綜合研究和分析非共振氣泡對(duì)含氣泡介質(zhì)中的聲頻散、聲衰減和聲散射等聲學(xué)特性的影響，指出僅考慮共振氣泡影響是傳統(tǒng)氣泡分布參數(shù)線性聲學(xué)反演方法的誤差來源；建立氣泡群聲散射數(shù)理模型，利用B樣條差值求解不適定的逆散射問題方程，獲得了比共振反演方法更準(zhǔn)確的氣泡分布參數(shù)反演結(jié)果，抑制了經(jīng)典線性反演方法中的偽峰問題。

1 非共振氣泡對(duì)含氣泡介質(zhì)中聲散射特性的影響

根據(jù)Kargl[20]的研究，含氣泡介質(zhì)中的等效波數(shù)km滿足:

(1)

式中：c為聲速;ω為聲激勵(lì)角頻率；α為衰減。且根據(jù)Medwin的經(jīng)典散射理論：

(2)

式中：σe為氣泡的衰減截面；σs為散射截面；δ為阻尼系數(shù)；k為含氣泡介質(zhì)中的等效波數(shù)；a為氣泡半徑。從式(2)可以看出，通過研究非共振氣泡與氣泡群的等效波數(shù)和散射截面的關(guān)系，能夠分析非共振氣泡對(duì)氣泡群聲散射特性的影響。

1.1 非共振氣泡對(duì)聲頻散、聲衰減及等效波數(shù)的影響

Van Wijingaarden最先提出了以混合介質(zhì)為基礎(chǔ)的模型理論，導(dǎo)出了混合介質(zhì)的線性聲波動(dòng)方程。Commander和Prosperetti在Van Wijingaarden混合介質(zhì)模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了一個(gè)等效波數(shù)的最低階近似表達(dá)式，并討論了混合介質(zhì)內(nèi)的聲速和聲衰減等聲特性。在不考慮多重散射的情況下，假設(shè)聲波在含氣泡海水介質(zhì)中線性傳播，氣泡在聲波激勵(lì)下作周期振蕩，得到的介質(zhì)的等效波數(shù)km為：

(3)

式中ω為角頻率，共振頻率和阻尼表達(dá)式為：

(4)

(5)

阻尼b包括粘滯阻尼bv、熱阻尼bt和再輻射ba。其中參數(shù)解釋和推導(dǎo)過程見參考文獻(xiàn)[22]，此處不再贅述。根據(jù)等效波數(shù)可以得到特定分布下的聲速和衰減參數(shù)。

1.2 非共振氣泡對(duì)氣泡的聲散射截面的影響

氣泡散射模型的研究主要分為3個(gè)體系，分別為Wildt體系、Devin體系以及非線性體系。這3種體系的假設(shè)條件和推導(dǎo)依據(jù)有所差異，因此對(duì)非共振氣泡的影響逐一進(jìn)行討論。

1.2.1 Wildt理論

Wildt通過精確地表示入射波pi(幅度為A的平面波)和散射波ps(幅度為B/r的球面波)，再通過散射功率4πr2|ps|2/(2ρliqc)與入射強(qiáng)度|pi|2/(2ρliqc)的比值，其中r為聲壓與氣泡中心的距離，ρliq為水的密度，得到散射截面與散射波的歸一化振幅|B/A|的關(guān)系式為：

(6)

式中：ωres為氣泡共振頻率，滿足如下表達(dá)式：

(7)

式中：γ為比熱比；R0為氣泡平衡半徑；RLaplace為拉普拉斯半徑；Γ是復(fù)多變指數(shù)。

1.2.2 Devin理論

(8)

且:

(9)

其中：

(10)

式中：ε0是無量綱氣泡半徑，定義為ε0≡ε(ω0)=ω0R0/c;X為擴(kuò)散比系數(shù)。

1.2.3 非線性理論

Church在以上2種理論的基礎(chǔ)上，考慮了氣泡的高階振動(dòng)，且僅考慮粘滯阻尼系數(shù)δvis，通過對(duì)非線性方程Rayleigh-Plesset進(jìn)行線性化，得到簡化的自由氣泡的散射截面表達(dá)式：

(11)

式中ω0為與入射聲頻率相關(guān)的函數(shù)：

(12)

式中Pgas算是氣泡內(nèi)部的聲壓。

1.2.4 非共振氣泡對(duì)散射截面的影響分析

1.3 非共振對(duì)聲散射特性影響的仿真與分析

通過綜合在不同氣泡分布下，是否考慮非共振氣泡影響下的聲速頻散、聲衰減和聲散射截面，就可得到非共振氣泡對(duì)聲學(xué)特性的響應(yīng)。

本文列舉4種假設(shè)分布的情況。4種分布的主峰都設(shè)在100 μm處，峰值處的氣泡數(shù)量為5.5×109。圖1(a)為單一分布(分布函數(shù)為δ函數(shù))，其余3種情況為高斯分布，標(biāo)準(zhǔn)差σ分別為0.15(圖2(a))、0.5(圖3(a))和1(圖4(a))。

圖1 單一分布下是否考慮非共振氣泡對(duì)聲特性影響對(duì)比Fig.1 Comparison of the effects of non-resonant bubbles on acoustic characteristics under delta distribution

在氣泡單一分布情況時(shí)(圖1)，不存在非共振氣泡，因此是否考慮非共振氣泡影響的聲速曲線和衰減曲線基本重合(圖1(b)、1(c))。圖2中，在激勵(lì)為100 μm氣泡的共振頻率時(shí)，非共振氣泡比單一分布時(shí)增加，聲速曲線(圖2(b))發(fā)生畸變。衰減曲線(圖2(c))普遍升高，峰值向大于共振頻率方向偏移。對(duì)于圖3和圖4的情況，隨著非共振氣泡進(jìn)一步增多，聲速曲線(圖3(b)、4(b))畸變更加明顯，聲衰減曲線(圖3(c)和4(c))與考慮共振氣泡的聲衰減曲線差異越來越大。

圖2 高斯分布(σ=0.15)下是否考慮非共振氣泡對(duì)聲特性影響對(duì)比Fig.2 Comparison of the effects of non-resonant bubbles on acoustic characteristics under gauss distribution(σ=0.15)

圖3 高斯分布(σ=0.5)下是否考慮非共振氣泡對(duì)聲特性影響對(duì)比Fig.3 Comparison of the effects of non-resonant bubbles on acoustic characteristics under gauss distribution(σ=0.5)

聲速頻散和衰減的變化可以用來綜合反映非共振氣泡對(duì)等效波數(shù)的影響程度。可見隨著非共振氣泡比重的增大，對(duì)聲速頻散和衰減的影響越來越大。在實(shí)際的海洋環(huán)境中，氣泡的尺寸分布具有較寬的尺度分布范圍。這說明當(dāng)使用聲速和衰減對(duì)氣泡尺寸進(jìn)行反演時(shí)，如果忽略了非共振氣泡的影響一定會(huì)帶來較大的誤差。

在圖1(d)、2(d)、3(d)、4(d)中，呈現(xiàn)了考慮非共振氣泡后在3種體系下的散射截面對(duì)比，分別描述了前述的Wildt、Devin和非線性理論中是否考慮非共振氣泡的散射截面結(jié)果，實(shí)線代表忽略非共振的散射截面仿真結(jié)果，虛線代表考慮非共振的結(jié)果。由圖可見3種散射截面體系下的規(guī)律是基本一致的。當(dāng)氣泡群為單一分布，不存在非共振氣泡，因此圖1(d)中是否考慮非共振氣泡影響的總散射截面曲線形狀吻合位置接近。當(dāng)服從圖2(a)中的分布時(shí)，若激勵(lì)頻率為100 μm氣泡的共振頻率，非共振氣泡增多，散射截面曲線等效于將分布函數(shù)進(jìn)行不同的加權(quán)，僅考慮共振氣泡時(shí)加權(quán)較為均勻，體現(xiàn)為圖2(d)中3條實(shí)線基本重合。在考慮非共振氣泡(虛線)時(shí)，出現(xiàn)了一些的明顯峰值，且后者曲線的峰值向大于共振頻率方向偏移。對(duì)于圖3(d)和圖4(d)，隨著非共振氣泡進(jìn)一步增多(尺寸分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差變大)，是否考慮非共振氣泡對(duì)散射截的分析的影響差異則更加明顯，可以認(rèn)為非共振氣泡對(duì)散射截面的影響越來越大。

由以上分析可知，非共振氣泡對(duì)等效波數(shù)和散射截面的影響是不能被忽略的，尤其是當(dāng)?shù)刃Р〝?shù)和散射截面作為反演的目標(biāo)函數(shù)時(shí)，對(duì)反演結(jié)果的準(zhǔn)確程度尤其重要。綜上說明傳統(tǒng)的共振估計(jì)法在物理原理上是有較大缺陷的，需要探求可充分考慮非共振氣泡對(duì)聲散射特性影響的反演方法。

圖4 高斯分布(σ=1)下是否考慮非共振氣泡對(duì)聲特性影響對(duì)比Fig.4 Comparison of the effects of non-resonant bubbles on acoustic characteristics under gauss distribution(σ=1)

2 考慮非共振氣泡影響的氣泡群尺寸分布反演

通過進(jìn)行非共振氣泡對(duì)聲散射特性的影響分析，并為了能基于聲學(xué)手段獲得準(zhǔn)確的氣泡尺寸分布，必須考慮非共振對(duì)散射強(qiáng)度和衰減的影響。這樣做的過程中就需要求解不適定的逆散射問題方程(核函數(shù)呈病態(tài)的第1類Fredholm積分方程):

(13)

式中：α(f)是單位體積氣泡群對(duì)不同入射頻率f引起的衰減；K(f,a)是核函數(shù)；N(a)是待求的單位體積的含氣泡水介質(zhì)中半徑為a的數(shù)量(即氣泡群尺寸分布函數(shù))。為方便數(shù)值形式求解，將方程(13)進(jìn)行離散化：

(14)

方程以矩陣形式可寫為：

(15)

式中：α是m×1 矢量；N是n×1矢量；K是m×n矩陣。將積分方程轉(zhuǎn)換為離散和時(shí)，為了得到精確的積分結(jié)果，積分步長通常較小，因此常遇到的條件是m

(16)

在離散形式下，可以寫為:

(17)

這是一個(gè)二次項(xiàng)，矩陣形式為:

S(N)=NTHN

(18)

式中H為:

(19)

為實(shí)現(xiàn)約束最小化s(N)，現(xiàn)尋找一種能夠同時(shí)滿足N=K-1α的解，其中K-1為K的廣義逆。利用拉格朗日算子λ，通過確定N(a)，來使總約束l最小化，其表達(dá)式為：

l=λNTHN+(α-KN)T(α-KN)

(20)

對(duì)N(a)的每一個(gè)元素進(jìn)行微分并令其等于零，可得到：

N=(KTK+λH)-1KTα

(21)

通過選擇合適的拉格朗日算子λ的值，能夠使得定義|α-KN|2的殘差小于預(yù)定值。在這種方法中，通過施加平滑約束來克服解的不唯一性。而將矩陣λH添加到KTK中會(huì)導(dǎo)致所得矩陣的特征值增加，從而避免了不穩(wěn)定性。

對(duì)于氣泡群的衰減截面，有定義式：

(22)

式中fa為半徑為a氣泡的共振頻率。而若只考慮共振氣泡對(duì)聲衰減的影響，則有：

(23)

式中δ0 r是共振半徑的阻尼系數(shù)。這樣可以得到2個(gè)有著不同核函數(shù)的第1類Fredholm方程。假設(shè)氣泡的分布分別服從冪指數(shù)分布和高斯分布(最常見的2種近似氣泡分布)，首先用高斯數(shù)值積分計(jì)算得到聲衰減作為目標(biāo)函數(shù)，再使用B樣條插值的方式進(jìn)行反演，就可解算出氣泡分布。反演的結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

圖5 是否考慮非共振氣泡貢獻(xiàn)的反演結(jié)果Fig.5 The inversion results with or without the contribution of non-resonant bubbles considered

通過對(duì)常見氣泡分布進(jìn)行的數(shù)值仿真，可以看到，是否考慮非共振氣泡對(duì)尺寸分布的反演存在著影響，尤其是在大半徑處可能會(huì)出現(xiàn)本不存在的峰值起伏。在考慮非共振氣泡的影響后，這些“偽峰值”的情況就可以得到改善。

為方便對(duì)比2種反演效果，可分別選擇觀測2種反演結(jié)果與假設(shè)分布數(shù)量的最大峰值偏差、次大峰值偏差和第3峰值偏差進(jìn)行比較；而曲線整體的差異程度則是使用和基準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)來度量。計(jì)算得出的結(jié)果如表1。

表1 是否考慮非共振氣泡影響的反演結(jié)果比較Table 1 The inversion results with or without the contribution of non-resonant bubbles considered

由表可知，2種假設(shè)分布下，考慮了非共振影響的反演結(jié)果與假設(shè)分布都有著更大的相關(guān)系數(shù)。峰值偏差也更小。可以得出：在不考慮干擾的前提下，對(duì)于常見的氣泡分布(冪指數(shù)分布和高斯分布見圖6、7)，考慮非共振影響能夠得到更好的反演效果。

下面對(duì)該方法下的反演過程進(jìn)行誤差干擾分析。在同上假設(shè)氣泡尺寸分布為冪指數(shù)分布和高斯分布的條件下，給衰減量分別加入1%、3%、5%和10%倍原衰減量均值的高斯噪聲干擾。再經(jīng)過100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)后，得到的反演效果對(duì)比如下：對(duì)比發(fā)現(xiàn)，噪聲干擾的引入加劇了忽略非共振氣泡帶來的“偽峰值”，誤差影響較大。尤其在大半徑位置得到的反演結(jié)果已不具備參考價(jià)值。而考慮非共振的結(jié)果更接近假設(shè)的分布，抗干擾能力更好。

干擾條件下的反演效果如表2。從表中也可以看出，相關(guān)系數(shù)越接近1，說明反演效果越好。假設(shè)冪指數(shù)分布時(shí)，當(dāng)引入誤差干擾，忽略非共振的反演結(jié)果影響很大，而對(duì)考慮了非共振的反演結(jié)果幾乎沒有影響。這個(gè)結(jié)論在假設(shè)高斯分布時(shí)尤為顯著，在較大誤差5%、10%時(shí)，忽略非共振的反演結(jié)果與假設(shè)分布的相關(guān)系數(shù)僅有0.33甚至更小，反演幾乎失效，這在圖7(c)(d)中也可以看出。以上這些都說明了在考慮非共振影響時(shí)其擁有更好的抗干擾能力。

圖6 冪指數(shù)分布下反演結(jié)果誤差分析Fig.6 Error analysis of inversion results under power exponential distribution

圖7 高斯分布下反演結(jié)果誤差分析Fig.7 Error analysis of inversion results under gauss distribution

表2 加入誤差后反演與假設(shè)分布的相關(guān)系數(shù)比較Table 2 Comparison of correlation coefficients between inversion and hypothetical distribution after adding errors

3 結(jié)論

1)在是否考慮非共振氣泡兩種情況下，等效波數(shù)(聲速頻散、衰減)和散射衰減截面都有顯著的差異。非共振氣泡對(duì)聲散射特性的影響，導(dǎo)致在反演階段必然會(huì)產(chǎn)生較大誤差，為后續(xù)的討論提供了正向的理論依據(jù)；

2)以B樣條插值的方式對(duì)分布參數(shù)進(jìn)行了反演，是否考慮非共振時(shí)的反演效果有較大區(qū)別；

3)反演結(jié)果表明，考慮非共振氣泡時(shí)，反演結(jié)果能夠?qū)Α皞畏濉边M(jìn)行抑制，具有更好的準(zhǔn)確性和抵抗干擾的能力。因此為了保證反演效果，考慮非共振氣泡的影響是有必要的。